CURVE CUBICHE: LA VERSIERA DI AGNESI E LA CISSOIDE DI DIOCLE

Dopo aver parlato della brachistocrona, incominciamo un'altra interessante avventura nel mondo delle curve matematiche.
Andremo a scoprire 2 particolari curve cubiche, simili fra loro: la versiera di Agnesi e la cissoide di Diocle.
La versiera di Agnesi è una particolare curva cubica piana attribuita alla matematica italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) nell'opera in 2 volumi, datata 1748, Istituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana.
Trattasi del primo manuale completo che prende in esame sia il calcolo differenziale che quello integrale, oltre ad essere il primo libro di matematica a noi pervenuto scritto da una donna e pure uno dei primi contributi concernenti la geometria analitica provenienti dall'Italia.
In una nota, il Consiglio dell'Accademia delle Scienze di Parigi riferisce:

"Fu necessaria molta abilità e furbizia per ridurre, come ha fatto l'autrice, a un metodo quasi uniforme queste scoperte sparse tra le parole dei matematici moderni e spesso presentate con metodi molto differenti tra loro. Ordine, chiarezza e precisione regnano in tutte le parti di quest'opera."
 
Nata a Milano il 16 maggio 1718, terza di 21 fratelli, bambina prodigio, Maria Agnesi a 13 anni parlava almeno 7 lingue (l'italiano, il tedesco, il francese, il latino, il greco, lo spagnolo e l'ebraico), al punto che venne soprannominata Oracolo settelingue.
Nel 1737, per non disubbidire ai voleri del padre (facoltoso commerciante di seta), i suoi studi si spostarono dall'ambito delle lingue a quello filosofico e matematico.
Nel frattempo casa Agnesi era diventata uno dei salotti più gettonati di Milano, ove erano soliti recarsi intellettuali italiani e da mezza europa.
Proprio questi introdussero la giovane agli Elementi di Euclide, alla Logica, alla Metafisica e alla Fisica Generale.
Addirittura, era diventata una tradizione la discussione da parte di Maria di svariate tesi filosofiche nel salotto di casa Agnesi, tutte (ben 191) pubblicate nel 1738 in una raccolta intitolata Propositiones Philosophicae.
Tuttavia, per buona parte della sua vita trascurò i rapporti sociali, scegliendo di dedicarsi completamente allo studio della matematica e della religione, al punto che arrivò a chiedere al padre il permesso di diventare suora!
Pieno di sgomento all'idea che la sua bambina più cara lo volesse abbandonare, egli la pregò di cambiare idea.
La ragazza acconsentì di restare con il padre, a patto di poter vivere in uno stato di relativa clausura e di poter recarsi in chiesa quando lo desiderava.
Nel 1740 incominciò un periodo di collaborazione con padre Ramiro Rampinelli, titolare della cattedra di matematica e fisica all'Università di Pavia e pioniere della matematica analitica.
Grazie al supporto di Rampinelli, l'Agnesi studiò il testo dell'abate Reyneau, Analisi dimostrata (1708) e venne incoraggiata nella preparazione della sua opera più importante, appunto le Istituzioni Analitiche.
La grandiosità di quell'opera spinse addirittura papa Benedetto XIV a proporgli la cattedra di matematica all'Università di Bologna.
Tuttavia, la matematica rifiutò e anzi, dopo la morte del padre (nel 1752), si dedicò completamente ad opere di carità.
Casa Agnesi divenne un rifugio per inferme e lei stessa diventò serva e infermiera.
Successivamente, nel 1771, grazie a una donazione del principe don Antonio Tolomeo Trivulzi venne fondato a Milano il Pio Albergo Trivulzio.
Per merito dell'invito del cardinale Giuseppe Pozzobonelli, nel 1783 Maria Gaetana si trasferì al Pio Albergo in qualità di Visitatrice e Direttrice delle Donne, specialmente inferme.
L'Agnesi era diventata a tutti gli effetti una teologa, al punto che lo stesso Pozzobonelli si rivolse a lei al fine di decidere sull'ortodossia di uno scritto relativo a politica e religione.
Lo stesso non si può dire delle opere scientifiche: era molto remissiva a dare giudizi sulle suddette, infatti quando l'Accademia di Torino le propose di esaminare i lavori di Lagrange inerenti al calcolo delle variazioni, la donna si sottrasse, adducendo le sue serie occupazioni.
Per ben 26 anni rimase al Trivulzio, impegnandosi nell'aiuto delle inferme, fino alla morte, avvenuta il 9 gennaio 1799.
Andiamo ora ad osservare la particolare curva che rese celebre l'Agnesi.
C'è da specificare che, in realtà, la versiera era già stata studiata da Fermat nel 1666 e da Guido Grandi nel 1703 in Quadratura circuli et hyperbolae.
Grandi l'aveva denominata curva con (seno) verso, ovvero contrario, nemico.
Nel 1801 John Colson, Lucasian Professor di Matematica all’Università di Cambridge, in una sua traduzione confuse l’originario significato del nome di derivazione latina della curva con quello di “avversaria" (dal francese aversier), "nemica” (versiera appunto), appellativo attribuito generalmente alle streghe.
Ecco perché ancora oggi la suddetta curva è nota come witch of Agnesi ("strega di Agnesi").
Per costruire la versiera, si parte da un cerchio di raggio a e centro C in un riferimento cartesiano Oxy.

IL PROBLEMA DELLA BRACHISTOCRONA

Uno dei problemi più celebri del calcolo delle variazioni è quello di determinare la curva congiungente 2 punti A e B assegnati (con il punto A posto a una quota superiore rispetto a B) e lungo la quale un punto materiale (possiamo anche immaginare un carrello) lasciato cadere (da fermo, sotto l'effetto di un campo gravitazionale e senza presenza di attrito) dal punto A raggiunga B nel minor tempo possibile.

Questo problema di determinare la suddetta curva (immaginabile come uno scivolo) viene chiamato problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, superlativo di brachýs, "breve", e chrónos, "tempo"), letteralmente "curva del tempo più corto".
Abbiamo già introdotto i rudimenti del calcolo delle variazioni qui.
Ricordiamo che trattasi di un campo dell'analisi matematica, il quale si occupa di trovare fra tutte le curve che soddisfano una determinata proprietà quella (o quelle) che minimizzano un certo criterio (ad esempio la lunghezza, il tempo o altre espressioni maggiormente complicate dipendenti dalla curva).
Il calcolo delle variazioni nacque proprio nel 1697 quando Johann Bernoulli (1667-1748) riuscì a risolvere il problema della brachistocrona, su cui si interrogava già Galileo nel 1638 nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai moti locali.
Tale branca venne sviluppata nell'arco di pochi decenni tanto che nel 1744 Eulero aveva già pubblicato il trattato Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes.
Successivamente, nel 1755, un giovane diciannovenne gli inviò un'epistola nella quale esponeva un metodo superiore al suo.
Si trattava di Joseph-Louis Lagrange, grande matematico (italiano) a cui abbiamo dedicato un post visualizzabile cliccando qui. 
Eulero, con un gesto tipico della sua personalità, rinviò la pubblicazione dei propri lavori in materia al fine di lasciare al giovane il primato di questo metodo, che battezzerà "calcolo delle variazioni".
Questi 2 straordinari matematici continuarono negli anni successivi ad occuparsene e a svilupparlo: Lagrange negli articoli pubblicati tra il 1758 e il 1761 negli "Atti" dell'Accademia delle Scienze di Torino, ed Eulero nella memoria datata 1766 dal titolo Elementa calculi variationum.
Ma veniamo al nocciolo della questione: come si risolve il problema?