LIMITI LOGARITMICI E ASINTOTI OBLIQUI

Questo post è una risposta diretta ai quesiti presenti nel post "Limiti logaritmici" di Gianluigi Filippelli, sul blog Dropsea.
Gianluigi propone la seguente funzione di natura logaritmica:

e chiede di risolvere 2 esercizi in merito ad essa:

1) trovare n naturale tale che

 


esiste ed è finito.

2) mostrare che, per trovare l'asintoto obliquo si possono utilizzare indifferentemente il limite che definisce proprio gli asintoti obliqui, cioè il seguente:




e questo particolare limite:




dove f'(x) indica la derivata prima della funzione.

Proviamo allora a risolvere questi 2 interessanti esercizi, che ci danno occasione di sfruttare alcuni concetti di analisi matematica già descritti in questo blog.

RISOLUZIONE ESERCIZIO N.1

Andiamo a vedere che limite ci troviamo di fronte:





È facile constatare che sia il numeratore che il denominatore di tale frazione tendono ad infinito.
Pertanto, ci stiamo imbattendo in una forma indeterminata del tipo:




Che si può fare per ovviare allo spinoso problema?
Semplice: dobbiamo sfruttare il teorema del marchese de l'Hôpital, che abbiamo descritto nel post "De l'Hôpital e il quesito dell'esame di stato!" nel caso della forma indeterminata 0/0.
Ora abbiamo a che fare con una forma




ma la regola è sempre la stessa.
Andiamo dunque a derivare (presi singolarmente) numeratore e denominatore dell'espressione




Procediamo!

NUMERATORE:
 
Nel caso del numeratore dobbiamo sfruttare sia la nota regola della catena che la regola di Leibniz per la derivata del prodotto di 2 funzioni.
Partiamo dalla regola della catena, che sfrutteremo per derivare l'espressione



Applichiamola:

A = x +1          A' = 1
B = ln A           B' = 1/A

Quindi:




Ora andiamo ad applicare la regola di Leibniz (se non la ricordate, potete rivederla qui):

DENOMINATORE:

Questa parte è banale!
Bisogna soltanto scrivere esplicitamente una regola basilare del calcolo differenziale:




Possiamo dunque applicare il teorema di de l'Hôpital e calcolare il seguente limite:




ATTENZIONE: esso produce una nuova forma indeterminata del tipo




Che diavolo facciamo adesso?
Semplice: applichiamo ancora una volta il teorema del nostro caro marchese de l'Hôpital! ;)

NUMERATORE:

Semplice: la sua derivata l'abbiamo già trovata prima ed è equivalente a:

DENOMINATORE:

Dobbiamo applicare la medesima facile regola usata poco prima:




Bene, usiamo il teorema di de l'Hôpital.
Abbiamo quindi il seguente limite da calcolare:





ovvero:




Che fornisce il valore finito:




se e solo se n risulta diverso da 0 e 1.
Ergo, rispondendo alla domanda richiesta dall'esercizio, il limite:

esiste ed è finito per tutti i numeri naturali n, tranne 0 e 1.

RISOLUZIONE ESERCIZIO N.2

L'esercizio n.2 chiede di dimostrare che, in questo specifico caso, 2 limiti diversi portano effettivamente al rinvenimento dell'eventuale asintoto obliquo.
Di asintoti obliqui abbiamo parlato abbastanza approfonditamente qui, in mezzo a pseudosfere e sfere cornute!
Tornando al nostro esercizio, sappiamo già dal primo esercizio che



Consideriamo allora il limite:




che fornisce ovviamente infinito come risultato.
Dobbiamo dimostrare che questo risultato si presenti anche nel limite:




Ebbene, questo non è altro che il limite dell'esercizio precedente nel caso in cui il numero naturale n fosse stato 1.
Facciamo comunque, per completezza, tutti i passaggi.
Abbiamo il nostro limite





che porta alla solita forma indeterminata




Possiamo perciò applicare il teorema di de l'Hôpital.
Per quanto riguarda il numeratore, la nostra derivata è ancora una volta:



La derivata del denominatore è invece pari a 1.
Dunque, abbiamo:

Come volevasi dimostrare!
Ah, tutte queste elucubrazioni ci son servite, oltre che per risolvere gli esercizi, anche per capire che la nostra funzione f(x) non presenta alcun asintoto obliquo.
Spero che tutta questa matematica non vi abbia fatto rimanere in questo stato:

Per rimediare, vi propongo una coppia di meravigliosi brani eseguiti da Andrè Rieu: