RANGO!!!

Rango!!!

Rango cosa?
Molti staranno pensando allo straordinario film d'animazione con protagonista un camaleonte, con la voce di Johnny Depp, alla ricerca dell'acqua, Rango appunto!



Vi mostro ora questa immagine:

La seconda parte dell'immagine è ben riconoscibile: trattasi del camaleonte a cui ci siamo appena riferiti.
Ma che nesso c'è tra l'immagine collocata nella prima metà (una matrice) e il personaggio del film d'animazione?


Risposta secca: Rango!!!
Risposta esaustiva: anche una matrice A possiede una singolare proprietà che si chiama rango (o caratteristica)!
Di matrici abbiam parlato in ben 2 post (consiglio i lettori non esperti di visionarli prima di continuare a leggere il presente articolo):

- "Metodo di Gauss-Jordan e sue origini antiche";
- "Matrici: il concetto di determinante".

Adesso scopriamo che cos'è il rango di una matrice.
Premessa: non è un concetto complicato!
Prendiamo una qualsivoglia matrice; denominiamola R

e riduciamola a gradini mediante il metodo di Gauss-Jordan:






Anzi, possiamo pure sistemare la matrice in modo ancora migliore, lasciando i pivot assieme a tutti zeri nella colonna corrispondente:






Abbiamo completato l'eliminazione di Gauss-Jordan!
Arriviamo al punto: il rango di una matrice è il numero di pivot rimasti dopo aver attuato il metodo di Gauss-Jordan sulla matrice fornita o, equivalentemente, il numero di righe non nulle rimaste a seguito del procedimento.
Detto ciò, è facile constatare che il rango della matrice R è 2.
In forma compatta scriviamo rank R = 2.
Avrete adesso sicuramente capito che il rango della matrice A, cioè quella accostata all'immagine del simpatico camaleonte, è 4.
Un ultimo esempio: questa volta prendiamo una matrice quadrata 4 x 4, la chiamiamo B:










Procediamo con il metodo di Gauss-Jordan:

 
Andiamo avanti:

Terminato il procedimento, abbiamo ottenuto una matrice triangolare superiore (ossia con tutti elementi nulli al di sotto della diagonale principale) avente rango pari a 4.
Esiste un famoso teorema che coinvolge il rango e i sistemi di equazioni lineari: il teorema di Rouché-Capelli (in realtà questa denominazione non è universale; in altri paesi il teorema prende il nome anche da altri matematici, oltre Eugène Rouché e Alfredo Capelli: ci stiamo riferendo a Fontené, Kronecker e Frobenius).
Forniamo quindi l'enunciato del teorema:

"Sia Ax = b un sistema lineare in n incognite, dove:

• A = matrice dei coefficienti delle incognite;
• x = matrice colonna delle incognite;
• b = matrice colonna dei termini noti.

Allora il sistema ammette soluzioni (in gergo tecnico si dice che risulta compatibile o risolubile) se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa [A⎮b], cioè, scritto in termini più rigorosi: rank A = rank [A⎮b]."

Quali sono le conseguenze del suddetto teorema?
Ebbene, ponendo r = rank A e r' = rank [A⎮b] si delineano 3 possibilità differenti per un dato sistema:

1) se n = r = r', il sistema ammette un'unica soluzione: il sistema è determinato;

2) se n > r = r', il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da n - r parametri: il sistema è sottodeterminato, ovvero (per essere precisi) ammette:

 

3) se r ≠ r', il sistema non ha soluzioni: il sistema è impossibile o sovradeterminato. 

Abbiamo definito il rango sfruttando il metodo di Gauss-Jordan e abbiamo scoperto il teorema di Rouché-Capelli.
In realtà, possiamo fornire una definizione equivalente di rango basata sui determinanti.
Intanto, dobbiamo definire cosa sia un minore di ordine q di una matrice A.
Data appunto una matrice A costituita da m righe ed n colonne, viene chiamato minore di ordine q della matrice A il determinante di una sottomatrice quadrata estratta da A e formata da q righe e q colonne.
Ecco un'immagine illustrativa del concetto:

Il rango di una certa matrice non è altro che il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da essa.
Facciamo un esempio; prendiamo la seguente matrice:






Estraiamo da essa una sottomatrice quadrata di ordine 3:






Calcoliamo il determinante di tale sottomatrice usando lo sviluppo di Laplace sulla 2° riga:





Notiamo che tale sottomatrice di ordine 3 ha determinante nullo.
In realtà, tutte le sottomatrici di D di ordine 3 presentano determinante nullo.
Ne consegue che il rango di D non può essere pari a 3.
Consideriamo allora le sottomatrici di ordine 2.
Prendiamo ad esempio la sottomatrice:





Risulta semplicissimo constatare che il determinante di tale sottomatrice è -2, un valore non nullo.
Possiamo pertanto asserire che la matrice D ha rango equivalente a 2.
Se provate a rinvenire il rango di D con il metodo di Gauss-Jordan, il risultato sarà il medesimo.
Per concludere la trattazione, scopriamo una semplice ma importante applicazione geometrica del concetto di rango.
Il concetto di rango è molto utile per capire se, nello spazio tridimensionale, una certa retta r risulta contenuta in un piano π.
Diciamo intanto che una generica retta nello spazio tridimensionale può essere scritta (in forma cartesiana) in tal modo:





L'equazione di un piano generico è invece:



Detto ciò, una retta risulta contenuta in un piano se e solo se il rango della matrice che ha come righe i coefficienti delle incognite di retta e piano è uguale al rango della matrice completa (ossia avente anche la colonna dei termini noti) associata alla retta e al piano.
Il tutto diventa più chiaro mediante un esempio.
Prendiamo la seguente retta r:





e il seguente piano π:




Ne consegue che la retta r è contenuta nel piano π se e solo se:






Effettivamente, in questo caso, tale condizione è soddisfatta, visto che il rango della prima matrice è identico a quello della seconda ed è pari a 2 (provate voi ad eseguire il calcolo!).
Ergo, la retta r è contenuta nel piano π!
Ecco l'immagine di una retta contenuta in un piano:

 

 





Ah, visto che il camaleonte Rango vagava nel deserto alla ricerca di acqua, per chiudere, fornisco appunto un po' d'acqua, ma in forma musicale e digitale, riportandovi un video inerente alla Water Music di Händel!