venerdì 6 aprile 2012

2 DISTRIBUZIONI IMPORTANTI: POISSONIANA E BINOMIALE

Ho già parlato di distribuzioni di probabilità, in particolare della distribuzione di Bernoulli, nell'articolo "Una famiglia di matematici: I Bernoulli"; ora riprendiamo questo concetto, per andare a scoprire altre 2 importanti distribuzioni:

1) distribuzione di Poisson;
2) distribuzione binomiale.

Ricordiamo velocemente cos'è, in parole semplici, una distribuzione: essa ci fa capire come sono distribuite le misure di una certa grandezza (o variabile) fra gli svariati valori possibili.
Ogni distribuzione è caratterizzata da un valor medio e da una varianza, la quale designa l'incertezza sulle misure ottenute.
Detto ciò, cominciamo il nostro viaggio tra le distribuzioni!

DISTRIBUZIONE DI POISSON

La distribuzione di Poisson o poissoniana, detta anche legge degli eventi rari, è una tipologia di distribuzione molto utile quando si ha a che fare con eventi decisamente rari, che accadono con un media temporale ben definita.
È molto conveniente quando, definiti:
  • P = probabilità che si manifesti il fenomeno;
  • n = numero di misure, ognuna indipendente da ciascun altra,  
risulta che il rapporto P/n sia minore di 10¯³.
Il prodotto tra P e n ci definisce l'importantissimo parametro λ ("lambda").
Con questi presupposti, possiamo scrivere finalmente la legge designante la distribuzione di probabilità di Poisson:





ove:
  • e = numero di Nepero = 2,718....;
  • k = numero intero (0,1,2....) indicante di quanti valori tra tutti quelli possibili (fino a n) vogliamo calcolare la probabilità. Chiariamo subito con un semplice esempio. Mettiamo che in un reparto di un certo negozio ci siano, in media, su 1000 giocattoli, 4 squali peluches. Vogliamo sapere qual è la probabilità che su un campione di 4000 giocattoli, ci siano 11 squali. Quel numero 11 è appunto il nostro k;
  • k! = k fattoriale. Ossia dato, ad esempio, 3!, esso equivale al prodotto tra 3,2 ed 1, ovvero 6. Allo stesso modo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Generalizzando, k! = k(k-1)(k-2)(k-3)...... Se volete un formalismo ancora più rigoroso, definiamo il fattoriale attraverso il simbolo di produttoria:




Segnalo, inoltre, che 0! = 1.
Proviamo ora a risolvere, applicando la formula di distribuzione poissoniana, il nostro simpatico problema sugli squali peluches.













La probabilità P è pari a 4/1000 = 1/250, mentre n = 4000.
Sicché possiamo calcolarci λ.
λ = Pn = 4000/250 = 16.
Bene, definito lambda, vogliamo calcolare qual è la probabilità che su 4000 giocattoli ci siano 11 squali.
Ergo:





Il risultato (nel caso vogliate svolgere anche voi queste operazioni, vi consiglio di armarvi di calcolatrice!) è, approssimando, P(11) = 0,00005 = 0,005%.
Ci siamo divertiti a calcolare la probabilità che ci siano 11 squali in un negozio mediante la poissoniana, ma vi avverto che essa viene utilizzata per scopi molto più seri, come studiare i decadimenti radioattivi.
Per chi volesse approfondire sulla scoperta della radioattività, vi rimando all'articolo "Marie Curie: L'unica donna ad aggiudicarsi ben 2 premi Nobel".
Non abbiamo però definito a cosa equivalgono valor medio e varianza della distribuzione di Poisson.
La risposta è banale: entrambe sono uguali a λ.
Giusto per divertirci ancora un po', proviamo a fare qualche variazione sul tema.
Riprendiamo i nostri dati inerenti agli squaletti nel negozio: qual è la probabilità che ci siano più di 4 squali?
Siccome, quando abbiamo un evento, la probabilità totale è 1 o, equivalentemente in percentuale, 100%, allora la probabilità che vogliamo calcolare sarà eguale a Ptot - (P0+P1+P2+P3+P4), ovvero la probabilità di tutti gli eventi possibili messi insieme meno la somma delle probabilità degli eventi che dobbiamo escludere dal conteggio (d'altronde vogliamo sapere la probabilità che ci siano più di 4 squali).
Calcoliamoci pertanto P0, P1, P2, P3 e P4:


 















P(k maggiore di 4) = 1 - (0,0000001 + 0,000002 + 0,00001 + 0,00007 + 0,0003) = 0,999 = 99,9%.
Se volessimo, al contrario, calcolare la probabilità che ci siano meno di 3 squaletti, come dovremmo procedere?
Molto semplice: basta sommare P0, P1 e P2; otteniamo il piccolissimo risultato di 0,000012 = 0,0012%.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

La distribuzione binomiale è usata quando ci si trova di fronte ad un numero di misure/accadimenti di un evento/fenomeno esiguo.
Infatti, conviene utilizzarla quando il rapporto P/n risulti maggiore di 10¯³.
Ecco quindi illustrata una prima differenza tra poissoniana e binomiale: la prima è utile per eventi molto rari, mentre la seconda per situazioni più comuni.
Una seconda differenza sta nel fatto che la binomiale non prende il nome da uno scienziato (Siméon-Denis Poisson) bensì da una nozione matematica, ovvero quella di coefficiente binomiale.
Il coefficiente binomiale viene così definito:






Considerato ciò, definiamo p la probabilità di successo rispetto a un certo evento e q la probabilità di insuccesso, di fallimento.
Possiamo anche scrivere che q = 1-p, cioè la probabilità totale meno la probabilità di successo.
Constatato ciò, la funzione di probabilità binomiale è:






Inoltre, il valore medio è pari a np, mentre la varianza risulta essere npq.
Facciamo un bel esempio: prendiamo una moneta.
Essa possiede 2 facce: testa e croce.
Nei fumetti/film/cartoni di Batman c'è persino un criminale, "due facce", il quale decide il destino (vita o morte) di una persona proprio lanciando una moneta.










La moneta, infatti, possiede la caratteristica peculiare di avere 2 facce che possono uscire, attraverso un lancio, con eguale probabilità.
Questa probabilità è 1/2 = 50%.
Ergo, per quanto concerne una moneta, p e q saranno eguali e pari a 1/2.
Ora, immaginiamo di avere 8 monete che vogliamo lanciare contemporaneamente per giocare a testa o croce.
Il nostro n sarà dunque 8.
Vogliamo sapere, ad esempio, qual è la probabilità che su 8 monete escano 5 testa.
Ne consegue che k = 5.
Sfruttiamo la nostra formula:





Siccome, in questo caso molto particolare, la probabilità di successo è uguale a quella di insuccesso, ciò comporta che P(k=5) = P(k=3) = 0,22 = 22%.
Se non ci credete, fate la prova!
Allo stesso modo, P(k=0) = P(k=8), P(k=1) = P(k=7), P(k=2) = P(k=6).
Consideriamo ora un giocattolino leggermente più complicato: un dado.














Il dado è un cubo e quindi ha 6 facce.
Ciò implica che la probabilità che esca una faccia è 1/6, mentre la probabilità che non esca la faccia scelta è 5/6.
Riassumendo, p = 1/6, q = 5/6.
Immaginiamo di lanciare contemporaneamente 4 dadi: qual è la probabilità che esca un 3 su 2 dadi?
Possiamo anche chiederci qual è la probabilità che esca un 4 o un 5 o un altro numero: il problema non cambia.









Il nostro n rimane 4 e il nostro k risulta pari a 2.
Applichiamo la formuletta:





Pertanto, la probabilità che esca lo stesso numero su 2 dadi, lanciandone 4, è del 12%.

CONCLUSIONE

Abbiamo scoperto 2 importanti tipologie di distribuzioni di probabilità e ci siamo divertiti ad analizzare simpatici esempi di utilizzo delle suddette.
Abbiamo constatato che la distribuzione di Poisson è estremamente proficua nel caso desiderassimo calcolare la probabilirà di eventi rari, alla stregua dei decadimenti radioattivi o degli squali di peluche presenti in un negozio.
D'altro canto, la distribuzione binomiale è altrettanto utile per scovare la probabilità di eventi come l'uscita di testa in varie monete o quella di una faccia nel lancio di diversi dadi.
La probabilità è una nozione indispensabile: essa pervade i giochi d'azzardo ma anche l'universo microscopico della Meccanica Quantistica.
Vorrei dunque concludere la trattazione riportando un magnifico passo relativo alla probabilità dal libro Chance di Amir Aczel:

"Le 2 potenze gemelle della buona e cattiva sorte hanno ossessionato l'umanità come nessun'altra...È facile pensare al caso come a qualcosa che ci supera. Divinità antiche, astrologia, superstizione erano tutte modalità di spiegare l'inspiegabile. Il nostro villaggio è stato devastato dalla siccità perché la dea della fortuna ci ha voltato le spalle. Suo figlio è diventato pazzo perché è nato sotto un cattivo segno. I suoi schiavi si sono ribellati e gli hanno messo a sacco la villa perché ieri sera durante il banchetto ha fatto cadere del sale. Oggi possiamo contestare queste teorie, ma dobbiamo almeno riconoscere che chi le ha create ha fatto un tentativo: si è guardato intorno e ha rifiutato di credere che il mondo non abbia leggi. A un livello molto fondamentale il caso può anche rimanere un mistero, ma oggi usando il linguaggio della matematica possiamo ribattezzarlo "probabilità", definirlo, inventare delle equazioni che ne rendano conto...Per gli antichi Greci l'incarnazione del caso era la dea Tyche, che più tardi fu chiamata Fortuna dai Romani e divenne così popolare che i suoi templi erano più numerosi di tutti gli altri...La probabilità, il caso e l'interesse dell'umanità per essi precedono i tempi storici: sono stati scoperti dadi fatti con ossa di animali che risalgono all'epoca neolitica, oltre 6000 anni fa, e appaiono molto simili a quelli moderni. In altre parole, gli uomini crearono le prime società agricole e, contemporaneamente o quasi, cominciarono a giocare ai dadi. Questi primi dadi, fatti con ossa di animali, si chiamavano astragaloi (singolare astragalos) ed erano ricavati da certe particolari falangi delle pecore che avevano 2 facce arrotondate e 4 facce quadrate quasi uguali. 

 










Quando gli antichi giocavano con questi dadi primitivi (cominciarono nella preistoria e continuarono fino all'epoca greca e romana), scommettevano sui 4 esiti possibili (non si teneva conto delle 2 facce tondeggianti, sulle quali il dado non poteva atterrare). Gli astragaloi continuarono a essere usati anche dopo l'invenzione del dado a 6 facce piane (ricavato dal legno o dall'osso)...Si giocava con dadi e astragaloi nelle civiltà più antiche, egizia e babilonese, e poi anche in quella romana. Il misterioso popolo degli Etruschi, vissuto in Italia prima dell'avvento dei Romani, giocava con dei dodecaedri (dadi a 12 facce pentagonali) diversi secoli prima della nascita di Gesù. Stando alla Vita dei dodici Cesari dello storico romano Svetonio, scritta poco dopo il 100 d.C., l'imperatore Augusto (62 a.C. - 19 d.C.) era un giocatore di dadi insaziabile. Svetonio descrive il gioco prediletto dal sovrano: si gettavano a turno 4 astragaloi e vinceva chi otteneva per primo una "Venere", cioè un numero diverso su ciascuno di questi dadi a 4 facce. Svetonio racconta pure che l'imperatore Claudio (10 a.C. - 54 d.C.) era talmente esperto dei giochi di dadi che ci scrisse addirittura un libro; d'altronde, teneva in carrozza un banco speciale, ben assicurato a una fiancata, così da poter giocare anche mentre viaggiava fuori Roma. I giochi di dadi erano molto popolari pure nell'India e nella Cina antiche. La storia e il folklore delle probabilità sono una miniera di leggende romantiche...Nel terzo libro del grande poema epico indiano Mahabharata, scritto prima del 400 d.C., il re Ripaturna, che - dice il poema - è capace di stimare il numero delle foglie di un albero basandosi sul numero di quelle di un ramo scelto a caso, cioè con una procedura simile a quella della odierna campionatura statistica, parla di probabilità e statistica con Nala, uomo posseduto dal demone del dado, e dice:

Dei dadi possiedo la scienza,
e per tal modo son bravo nei numeri.

Il che fa pensare che avesse conoscenze di teoria delle probabilità (è il legame consapevole che Ripaturna istituisce fra dadi e numeri a suggerirlo). Anche i rabbini dei primi secoli dopo la distruzione del secondo tempio di Gerusalemme (70 d.C.) dovevano avere qualche nozione di probabilità. Lo vediamo dal Talmud, più o meno contemporaneo al Mahabharata, stando al quale argomenti probabilistici erano da tempo usati per risolvere questioni legate a leggi alimentari, attribuzioni di paternità in caso di adulterio, distribuzione delle imposte e altri problemi nei quali aveva un ruolo l'incertezza. I testi ebraici antichi ci informano pure che le mansioni dei sacerdoti del tempio (quando questo non era ancora stato abbattuto) erano determinate dal caso: i sacerdoti tiravano a sorte a chi toccasse fare le pulizie, montare di guardia, cucinare. Stando ad alcune ricerche odierne, sembra che i talmudisti sapessero usare le regole di addizione e moltiplicazione delle probabilità e confrontare le probabilità di eventi distinti...La cosa sorprendente è che gli antichi matematici greci - Pitagora, Euclide e altri - non si occuparono affatto di teoria delle probabilità. Forse, per loro i tentativi di misurarla non facevano parte della matematica; certo è che nei testi matematici greci si parla dei dadi solo come strumento per aiutare i bambini a imparare l'aritmetica sommando i puntolini sulle diverse facce. Di probabilità non si parla affatto. Nel mondo antico (sia occidentale sia orientale) i dadi erano usati come meccanismo di casualizzazione non solo nei giochi d'azzardo, ma anche per la divinazione. Quando qualcuno desiderava essere guidato nelle sue decisioni quotidiane, quando un generale voleva sapere se era il momento giusto per attaccare battaglia, quando un re cercava il consiglio di un dio per qualche affare di stato, si consultava un oracolo, e spesso gli oracoli usavano i dadi per scoprire le risposte degli dei a queste domande. Una "Venere" voleva dire sì, un "Cane" - quattro uno - voleva dire "no"; ma c'erano anche varie altre convenzioni e possibilità. L'uso di meccanismi di casualizzazione per ottenere il consiglio divino è continuato anche nell'era cristiana: ci sono sempre stati, fino ai giorni nostri, casi documentati di gente che ha cercato di risolvere problemi legati al matrimonio, al lavoro e ad altre sfide della vita mediante meccanismi di tale tipo. Gli elementi base della teoria delle probabilità come la conosciamo oggi furono elaborati e formalizzati nel Seicento da alcuni matematici europei come Blaise Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-1665) e Abraham de Moivre (1667-1754)...Nella sua essenza, la teoria matematica delle probabilità nacque appunto in Francia, nel Seicento, come conseguenza di un'insolita amicizia fra uno scommettitore e un matematico. Lo scommettitore era il celebre Chevalier de Méré, che voleva scoprire come girare per le case da gioco europee e vincere; il matematico (nonché filosofo e fisico) era l'ancor più famoso Blaise Pascal. Il cavaliere si era rivolto a lui per sapere quanto fosse probabile vincere in 2 giochi distinti, assai complessi e molto popolari in Europa; Pascal scrisse a Fermat, e dalla loro corrispondenza vennero fuori le regole quantitative della probabilità, ampliate nei secoli successivi."

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