giovedì 11 gennaio 2018

ORIGINI STORICHE E FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

In geometria il risorger di un’attività creativa significativa venne in ritardo rispetto all’algebra.
A parte la creazione del sistema matematico della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali, pochissimi risultati degni di nota vennero ottenuti in geometria dai tempi di Pappo (290 d.C. circa - 350 d.C. circa) fino al 1600 circa.

Un certo interesse fu suscitato dalla pubblicazione di numerose edizioni a stampa delle Sezioni coniche di Apollonio, in particolare della notevole traduzione latina dei libri I-IV di Federigo Commandino (1509-1575) apparsa nel 1566.
Quelli che erano necessari, e che in effetti si presentarono, per dirigere le menti dei matematici entro nuovi canali erano dei problemi nuovi.

Uno di questi era già stato sollevato dall’architetto e matematico Leon Battista Alberti (1404-1472): quali proprietà geometriche hanno in comune 2 sezioni dalla stessa proiezione di una figura reale?
Un gran numero di problemi venne dalla scienza e dalle necessità pratiche.
L’uso fatto da Keplero delle sezioni coniche nella sua opera Astronomia nova, datata 1609, diede un enorme impulso al riesame di tali curve e alla ricerca di loro proprietà utili per l’astronomia.
L’ottica, che aveva destato l’interesse dei matematici fin dai tempi dei Greci, ricevette un’attenzione molto più viva dopo l’invenzione del telescopio e del microscopio avvenuta all’inizio del Seicento.
La progettazione delle lenti di questi strumenti divenne un problema fondamentale; esso implicava un aumento d’interesse per le forme delle superfici o, poiché si trattava di superfici di rotazione, per le curve che le generano.
Le esplorazioni geografiche avevano creato un gran bisogno di carte e un interesse per lo studio delle rotte navali quali sono rappresentate sulla sfera e sulla carta. 

L’introduzione del concetto del moto della Terra richiedeva nuovi principî di meccanica che dessero conto delle traiettorie degli oggetti mobili e anche questo implicava lo studio delle curve.
Fra gli oggetti mobili i proiettili diventarono sempre più importanti perché i cannoni potevano ora lanciare le loro palle a centinaia di metri di distanza ed era vitale essere in grado di predirne la traiettoria e la gittata.
Il problema pratico del calcolo delle aree e dei volumi incominciò ad attrarre un’attenzione sempre maggiore.
La
Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) di Keplero diede inizio a una nuova esplosione di attività nel suddetto campo.

Un altro tipo di problemi si presentò come conseguenza dell’assimilazione delle opere greche.
I matematici cominciarono a rendersi conto che i metodi di dimostrazione greci mancavano di generalità, in quanto bisognava escogitare un metodo speciale quasi per ogni problema.

Questa osservazione era stata compiuta da Agrippa di Nettersheim (1486-1532) sin dal 1527, e da Maurolico, che aveva tradotto delle opere greche e aveva scritto libri sulle sezioni coniche ed altri argomenti matematici.
Molte delle risposte date ai nuovi problemi si ridussero a variazioni minime su vecchi temi. Infatti, la prima innovazione portatrice di rilevanti conseguenze venne solamente in risposta ai problemi sollevati dai pittori.

L’idea fondamentale nel sistema di prospettiva focale creato dai pittori è il principio di proiezione e sezione.
Una scena reale viene osservata dall’occhio considerato alla stregua di un punto.
I raggi di luce che vanno dai vari punti della scena all’occhio sono detti costituire una
proiezione.

Secondo il sistema, il quadro deve contenere una sezione di quella proiezione, laddove la sezione è definita matematicamente come ciò che risulta contenuto in un piano passante attraverso la proiezione.
Supponiamo ora che l’occhio in O guardi il rettangolo orizzontale ABCD. 




















  Le rette che vanno da O ai 4 lati di questo rettangolo costituiscono una proiezione di cui OA, OB, OC e OD sono rette tipiche.
Se si interpone ora un piano fra l’occhio e il rettangolo, le rette della proiezione taglieranno il piano e tracceranno su di esso il quadrangolo A’B’C’D’.

Dato che la sezione (ovvero A’B’C’D’) crea sull’occhio la stessa impressione del rettangolo originale, è ragionevole chiedersi, come fece Alberti, quali proprietà geometriche hanno in comune la sezione e il rettangolo originale.
È intuitivamente evidente che la figura originale e la sezione non sono né congruenti né simili, e neppure hanno la stessa area.

In effetti la sezione non è necessariamente un rettangolo.
Sussiste un’estensione di tale problema: si supponga di fare 2 sezioni diverse di una stessa proiezione mediante 2 piani distinti che tagliano la proiezione secondo angoli qualsiasi.
Quali proprietà hanno in comune le 2 sezioni?

Il problema può essere ulteriormente esteso.
Supponiamo che un rettangolo ABCD sia guardato da 2 punti diversi O’ e O’’. 


 













Vi saranno allora 2 proiezioni, una determinata da O’ e dal rettangolo, l’altra invece da O’’ e dal rettangolo. 
Se si fa una sezione di ciascuna proiezione, allora, poiché ogni sezione deve avere qualche proprietà geometrica in comune col rettangolo, pure le 2 sezioni devono avere delle proprietà geometriche in comune