Qui andremo a soffermarci maggiormente sulle loro proprietà e su dettagli un po' più tecnici.
Ricordiamo innanzitutto che un numero complesso è nient'altro che una coppia ordinata (x, y) di 2 numeri reali x e y, generalmente rappresentati mediante la forma z = x + iy.
In particolare, i è l'unità immaginaria, x viene detta parte reale del numero complesso, mentre y ne designa la parte immaginaria.
In simboli:
Nell'insieme dei numeri complessi ℂ vengono definite per ogni z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂ le seguenti operazioni:
- addizione:
Nello stesso modo avviene la sottrazione (unica differenza è il segno):
- moltiplicazione:
Come noto, i numeri complessi vengono rappresentati su un piano, chiamato piano complesso o piano di Argand-Gauss, costituito da un asse orizzontale passante per l'origine (il quale designa l'asse reale) e da un asse verticale passante per l'origine (detto asse immaginario).
L'unità immaginaria i = 0 + 1i verifica la relazione:
Ciò implica che, a differenza di quanto accade nel campo dei numeri reali, un'equazione come z² +1 = 0 ammette soluzione in ℂ.
Ricordiamo che il complesso coniugato di un numero complesso z è semplicemente il numero che viene ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria di z.
In simboli:
Valgono le seguenti proprietà relative ai complessi coniugati:
Per quanto concerne la divisione di 2 numeri complessi, si procede così: per dividere z₁ = x₁ + iy₁ per z₂ = x₂ + iy₂ si moltiplicano il dividendo e il divisore per un numero complesso che sia coniugato del divisore, ovvero x₂ - iy₂.
In simboli:
Per ogni numero complesso z definiamo modulo di z il numero reale non negativo |z|, che equivale a:
Il significato geometrico del modulo è ben spiegato dall'immagine seguente:
L'angolo compreso tra l'asse x e il vettore r, che denoteremo con φ, è denominato argomento di z o, in breve, arg z.
Ricordando le definizioni di seno e coseno relativamente ai triangoli rettangoli, si può constatare che:
Compattando il tutto:
L'argomento di z non risulta definito se z = 0 e inoltre, se z ≠ 0, arg z è determinato a meno di un multiplo intero di 2π.
Dunque possiamo riscrivere il tutto come:
per ogni k intero se z ≠ 0.
Quella appena riportata è la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, se z ≠ 0.
In generale, dato un numero complesso, non si riesce a determinare esplicitamente l'argomento, tuttavia sfruttando le formule sopra riportate è sempre possibile risalire al valore del seno e del coseno dell'argomento.
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