mercoledì 10 ottobre 2012

RUSSELL E IL BARBIERE, IL DILEMMA DEL COCCODRILLO E ALTRI SIMPATICI PARADOSSI!

Paradosso significa letteralmente "oltre l'opinione comune".
Nella vita quotidiana ci capita spesso di imbatterci in situazioni che definiamo paradossali poiché determinano un senso di stupore.
Giusto per fare un esempio, il presentarsi di una persona alle audizioni di un talent show canoro, essendo "stonata come una campana".
Può risultare infatti paradossale un'esibizione come la seguente:



in un contesto costituito da (straordinarie) esibizioni come le seguenti:





Oppure, sempre rimanendo in ambito musicale, può risultare paradossale (in tal caso in senso positivo) interpretare un brano "serioso" come la Sinfonia n.5 di Beethoven alla stregua di una salsa:



o un valzer di Strauss alla stregua di un cha cha cha:



Cambiando prospettiva, in Fisica vi sono numerosissimi paradossi; solo per citarne alcuni, quello del gatto di Schrödinger, quello del diavoletto di Maxwell, quello dei gemelli, quello di Olbers e così via.
Ma il termine paradosso assume il suo significato più suggestivo nel campo della logica.


Si pensi, ad esempio, all'affermazione "Questa frase è falsa".
Se essa fosse vera, allora sarebbe falsa e, allo stesso tempo, se risultasse falsa, allora sarebbe vera: abbiamo un vero e proprio paradosso, che sembrerebbe non fornire vie di uscita.
Le leggende tramandano addirittura che il logico Filita di Coo (340-285 a.C.) morì prematuramente in quanto si sforzò troppo per cercare di dipanare il suddetto paradosso, il quale altro non è che una delle versioni più famose del celebre paradosso del mentitore di Epimenide, per la cui descrizione vi rimando al magnifico articolo scritto da Annarita Ruberto sul blog Matem@ticaMente.
In logica e matematica i paradossi rappresentano spesso proposizioni che portano a una vera e propria contraddizione e vengono chiamati antinomie.
Il termine "contraddizione" assume infatti un significato preciso: contraddizione significa che una certa proposizione risulta identica al suo opposto.
Giusto per dare un esempio, porta ad una contraddizione la frase "il tavolo è identico al non-tavolo".
Nel caso appena citato abbiamo appunto una proposizione P identica al proprio opposto, che si designa con il simbolo ¬P.
Scopriamo ora alcuni dei più singolari paradossi logici-matematici esistenti.
Il primo che vedremo è quello del barbiere.

 















Per fornire al paradosso un'attinenza musicale, immaginiamo di considerare il barbiere di Siviglia rossiniano.



Il paradosso del barbiere, ideato dal logico e matematico Bertrand Russell tra 1901 e 1902, può essere enunciato nel seguente modo: sappiamo che il barbiere di Siviglia fa la barba a tutti gli uomini della città di Siviglia che non si fanno la barba da soli; sorge pertanto l'ovvia domanda: il barbiere di Siviglia si fa la barba da solo?
Tale quesito scatena il paradosso: infatti, se il barbiere si fa la barba da solo, allora non se la fa da solo, mentre se non se la fa da solo, allora se la fa da solo!
Sembra uno scioglilingua ma è un'antinomia!
Esiste pure una versione semantica dell'antinomia di Russell, detta "paradosso dell'eterologicità di Grelling" (proposto dal logico e filosofo tedesco Kurt Grelling nel 1908), il quale afferma che un predicato può essere vero di se stesso, o (con maggior frequenza) può non esserlo.
Ad esempio, la parola "corto" è veramente una parola corta all'interno del vastissimo insieme dei vocaboli della lingua italiana.
Se prendiamo tuttavia il suo contrario, ovvero "lungo", constatiamo che esso è un termine corto nonostante abbia il significato di "lungo"!
Un altro esempio: la parola "monosillabo" ha un preciso significato che tutti conosciamo ma il termine stesso non risponde ai requisiti della sua definizione!
Nello specifico Grelling distingue 2 categorie di aggettivi:

1) autologici: gli aggettivi di tale classe si riferiscono a loro stessi;
2) eterologici: gli aggettivi della suddetta tipologia non si riferiscono a se stessi.

Ritornando al paradosso di Russell, esso, nella sua forma originale, riguarda l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi.
Svariati insiemi non sono elementi di se stessi: ad esempio, l'insieme che contiene solamente Mozart non è Mozart (in quanto un insieme non è una persona!).



Al contrario, un esempio di insieme che contiene se stesso come elemento è l'insieme di tutti gli insiemi oppure l'insieme di tutte le cose che non sono Mozart!
A proposito del paradosso di Russell Helen Joyce scrive: "Il paradosso lascia intravedere la prospettiva spaventosa che tutta la matematica si poggi su fondamenta incerte e che non ci si possa fidare di alcuna dimostrazione".
Si potrebbe oltrepassare la questione spinosa suscitata dall'antinomia del barbiere sostenendo che il barbiere supposto nell'enunciato, in realtà, non esiste.
Tuttavia, il suddetto paradosso ha avuto un ruolo importantissimo per gli sviluppi matematici successivi, in quanto ha aperto la strada a Gödel e ai suoi famosi teoremi di incompletezza.
Scriviamo adesso il paradosso attraverso un formalismo matematico rigoroso.
Come già detto, Russell distinse 2 tipologie di insiemi:

1) gli insiemi che tra i loro elementi vantano anche loro stessi, ossia, in altre parole, gli insiemi che appartengono a se stessi:



2) gli insiemi che invece non hanno tra i propri elementi loro stessi, ovvero gli insiemi che non appartengono a se stessi:



Definiamo allora un insieme R nel seguente modo:




In parole povere, R è l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi.
Sappiamo che tale insieme esiste grazie al cosiddetto principio di comprensione, il quale stabilisce che qualsiasi condizione o proprietà dovrebbe determinare un insieme.
In questo frangente, la nostra condizione è appunto quella di non appartenenza a se stessi, evidenziata dalla notazione



Possiamo dunque notare la seguente doppia implicazione:



Ciò che abbiamo appena scritto significa che, per ogni x (∀x), la proposizione x ∈ R implica x ∉ x e, allo stesso tempo, x ∉ x implica x ∈ R.
Detto ciò, potremmo chiederci a questo punto se lo stesso insieme R appartiene o non appartiene a se stesso.
Dovreste intuire che, poiché stiamo parlando di antinomie, la risposta comporta una contraddizione!
Infatti, se R appartiene a se stesso, allora è uno degli insiemi che appartengono all'insieme R di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi; ergo, R non appartiene a se stesso.
Viceversa, se R non appartiene a se stesso, ne deriva che non appartiene all'insieme R di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi; dunque, R appartiene a se stesso!
Sperando che tutto ciò non vi abbia mandato in confusione, riuniamo le 2 implicazioni nella seguente modalità:



Ne consegue, per i principi basilari della logica, una vera e propria contraddizione, illustrata rigorosamente dalla seguente espressione:



In semplici parole, abbiamo una contraddizione perché R ∈ R e (connettivo logico designato dal simbolo ), contemporaneamente, R ∉ R.
Prima di passare ad un altro paradosso, mi sembra doveroso parlare un pochino di più della poliedrica figura di Bertrand Russell.




















Bertrand Arthur William Russell nacque a Trellech in Galles il 18 maggio 1872 da una ricca e importantissima famiglia dell'aristocrazia britannica.
Malgrado ciò, l'infanzia e l'adolescenza di Russell non furono affatto felici; l'unico suo piacere derivava dallo studio della Matematica, come egli stesso racconta nel libro La conquista della felicità:

"Io non sono nato felice. A 5 anni, mi dissi che, se dovevo vivere fino ai 70, avevo sopportato soltanto, fino a quel momento, la quattordicesima parte di tutta la mia vita, e, intravedendo davanti a me il tedio che mi attendeva su di un cammino così lungo, lo giudicai insopportabile. Durante l'adolescenza, la vita mi era odiosa e pensavo continuamente al suicidio; ma questo mio proposito era tenuto a freno dal desiderio di approfondire la mia conoscenza della matematica."

Nella sua Autobiografia, Russell descrive il suo grandissimo interesse, da bambino, per la geometria euclidea:

"Quando avevo 11 anni cominciai a studiare Euclide sotto la guida di mio fratello. Questo fu uno dei più grandi eventi della mia vita, sconvolgente come il primo amore. Non avevo mai immaginato vi potesse essere qualcosa di tanto delizioso al mondo. Subito dopo aver imparato il quinto postulato, mio fratello mi disse che quest'ultimo era in generale considerato piuttosto difficile, ma io non lo trovai difficile per nulla. Questa fu la prima volta che pensai, in fondo, di essere intelligente. Da quel giorno, finché io e Whitehead finimmo i Principia Mathematica, la matematica non smise mai di essere la mia principale fonte di piacere e il mio interesse più grande. Tuttavia, come ogni fonte di piacere, non era tutta rose e fiori. Mi era stato detto che Euclide era in grado di provare delle cose ma che per farlo doveva ricorrere a degli assiomi. All'inizio mi rifiutai di accettarli, a meno che mio fratello mi fornisse delle buone ragioni per farlo, ma egli mi diceva "Se non li accetti non possiamo muovere neanche un passo", e poiché volevo andare avanti, mi decisi, con riluttanza, a prestarvi fede pro tempore. Quella diffidenza nei confronti delle premesse non mi lasciò mai e determinò il corso delle mie ricerche future."

All'età di 15 anni Russell incominciò ad appassionarsi anche alla filosofia, tanto da decidere di studiare logica e filosofia all'Università di Cambridge, a partire da 1890.
Al Congresso internazionale di filosofia di Parigi del 1900, Russell esprime la sua ammirazione nei confronti del matematico italiano Giuseppe Peano, definendolo il relatore più preciso ed efficace, in quanto, a suo giudizio, disponeva di una chiara "notazione" logica, ovvero di un'efficace modalità di trascrizione simbolica delle espressioni matematiche.
L'incontro con Peano rappresenta decisamente una svolta all'interno della vita di Russell, tanto che egli stesso, nella sua Autobiografia, scrive:

"Lo conoscevo [Peano] già di nome e avevo letto alcune delle sue opere, ma non mi ero preso la briga di assimilare i suoi simboli. Durante le discussioni del Congresso mi resi conto che era sempre il più preciso di tutti gli altri e che in tutte le discussioni risultava invariabilmente il più brillante. Con il passare dei giorni mi convinsi che questo doveva dipendere dalla sua logica matematica e pertanto mi feci dare da lui tutte le sue opere e non appena il Congresso si chiuse mi ritirai a Fernhurst per studiare in tutta tranquillità ciò che lui e i suoi discepoli avevano scritto."

Gli esiti di tali studi confluirono nei celebri 3 volumi (per un totale di circa 2000 pagine) dei Principia Mathematica, scritti in collaborazione con il matematico Alfred North Whitehead (1861-1947), e pubblicati tra il 1910 e il 1913.





















La suddetta opera può essere senza dubbio vista alla stregua di una vera e propria "bibbia" in campo logico-matematico.
A detta della Stanford Encyclopedia of Philosophy:

"Scritta in difesa del logicismo [ossia l'idea che la matematica sia riducibile alla logica in maniera significativa], l'opera fu decisiva per lo sviluppo e la divulgazione della logica matematica moderna. Diede anche forte impeto alla ricerca dei fondamenti della matematica per tutto il XX secolo. Insieme all'Organon di Aristotele, è il libro di logica più influente che sia mai stato scritto."

Ritornando alla biografia di Russell, dal 1910 al 1916 egli insegnò al Trinity College a Cambridge, avendo come allievo anche Ludwig Wittgenstein, con il quale ebbe un amichevole e fruttuoso dialogo filosofico.
Con lo scatenarsi della Prima guerra mondiale, fu costretto ad abbandonare l'insegnamento, evento dovuto alle sue idee liberali e anticonformiste e al suo orientamento pacifista.
Da quel momento in poi si dedicò indefessamente alla divulgazione e ad un'attività di tipo etico-politico.
Si erge come emblema di tale periodo l'opera Storia della filosofia occidentale del 1945.
Nel 1950 venne persino insignito del Premio Nobel per la letteratura "quale riconoscimento ai suoi vari e significativi scritti nei quali egli si leva in alto a campione degli ideali umanitari e della libertà di pensiero".
Russell si spense nella sua villa nel Galles nel 1970, per opera di un'influenza.
È giunto il momento di passare al prossimo paradosso.
Parliamo ora del simpatico dilemma del coccodrillo!




















Esso fu il frutto della mente dello storico greco Diogene Laerzio (180-240).
Un bambino gioca spensieratamente sulle rive del fiume Nilo, quando, all'improvviso, un coccodrillo lo agguanta, con la ferma intenzione di divorarlo.
La madre del bambino, disperata, implora il rettile di restituirle il bambino.
L'animale, per evitare di avere rimorsi e piangere dopo il pasto, elabora una proposta da porgere alla madre: "Ti restituirò tuo figlio se riuscirai ad indovinare se ti restituirò tuo figlio"!
La madre risponde allora che il coccodrillo si ciberà del suo fanciullo.
Che cosa deve fare il rettile?
Ebbene, se il coccodrillo mangia il bambino, ciò vorrà dire che la madre ha azzeccato la previsione e quindi il coccodrillo è costretto a restituire il bambino; viceversa, se il coccodrillo restituisce il fanciullo alla madre, allora quest'ultima non ha previsto correttamente le azioni del coccodrillo, portando dunque l'animale a divorare il figlio!
Che casino!
L'antinomia, tuttavia, non sussisterebbe se la madre rispondesse "stai per restituirmi mio figlio".
Infatti, in tal caso, se il coccodrillo restituisce il figlio, la madre ha azzeccato la previsione e pertanto il bambino è salvo; se, al contrario, il rettile divora il fanciullo, allora la madre ha sbagliato l'intuizione, legittimando il coccodrillo a mangiare suo figlio (anche se, a dir la verità, l'aveva già, ovviamente, divorato prima!).
Passiamo ora ad illustrare, per cercare di fornire un punto di vista a 360° sui paradossi, alcuni paradossi matematici che comportano stupore, meraviglia ma non determinano una contraddizione, ovvero non designano vere e proprie antinomie.
Immaginiamo che 3 viaggiatori si fermino per la notte in un hotel.
L'impiegato all'accettazione richiede 30 dollari per una camera con 3 letti.
I nostri 3 protagonisti decidono di dividersi il conto in maniera eguale, pagando 10 dollari ciascuno.
Fin qui non ci sono problemi; i viaggiatori pagano e se ne vanno tranquilli nelle loro stanze.
Tuttavia, una manciata di minuti dopo, l'impiegato si rende conto di aver commesso un errore, in quanto, in quel determinato periodo, l'albergo faceva un'offerta speciale e il prezzo della camera era equivalente a soli 25 dollari.
Per non mettere a rischio il suo posto di lavoro, l'impiegato decide di ovviare all'errore commesso, prendendo 5 dollari dalla cassa.
Mentre sale le scale, si accorge che non è possibile dividere i 5 dollari in parti uguali per i 3 clienti; decide pertanto di dare un dollaro ad ognuno e tenersi i 2 rimanenti per sé.
In tal modo, egli crede fermamente di aver risolto la situazione e di concludere la faccenda in modo sereno.
Ma sorge un bel problema: ognuno dei 3 amici avrà pagato 9 dollari (10 meno il dollaro restituito dal dipendente) per la camera, che fa 27 in tutto, e l'impiegato si è tenuto 2 dollari; la somma fa 29.
Dove diavolo è finito l'ultimo dollaro dei 30 iniziali?










Prima di fornire la risoluzione, vi invito a cercare di risolvere voi stessi il dilemma, sapendo che esso non è, come già detto, un'antinomia.
Facciamo luce sul mistero!
Ciò che porta al problema del dollaro mancante è la maniera ambigua in cui viene raccontata la vicenda.
L'errore nel ragionamento è quello di sommare i 27 dollari con i 2 presi dall'impiegato: non sussiste alcun motivo valido per farlo, visto che ormai non c'è più una quantità totale di 30 dollari di cui rendere conto.
I 2 dollari dell'impiegato devono invece essere sottratti dai 27 pagati dai clienti: si hanno dunque 25 dollari, che è proprio l'ammontare nella cassa!
Quello appena illustrato è un simpatico esempio di paradosso fallace, ovvero una proposizione (o, in questo caso, una vicenda) che parte in modo perfettamente ragionevole, lineare, per poi concludersi con un assurdo.
Nei paradossi fallaci, però, a differenza delle antinomie, la conclusione assurda è falsa, a causa di qualche passaggio errato o fuorviante nella dimostrazione.
Introduciamo adesso un esempio di paradosso veridico, cioè che giunge a una conclusione controintuitiva perché cozza con il buon senso, ma risulta veritiera: il paradosso del compleanno.



















Immaginate di trovarvi in un ampio salotto, che con il passare del tempo si riempie sempre più di persone.
Quanti individui devono entrare all'interno della stanza, prima che la probabilità che alcuni di loro compiano gli anni lo stesso giorno sia almeno del 50%?
Il suddetto quesito, posto nel 1939 dal matematico americano di origine austriaca Richard von Mises, ha appunto una soluzione stupefacente, controintuitiva ma, senza dubbio, vera.
Tenendo presente che ci sono 365 giorni in un anno (trascurando i cosiddetti giorni intercalari), la risposta all'interrogativo è: solo 23 persone!
Detto in altri termini, se in una camera ci sono 23 o più persone, scelte casualmente, ne consegue una probabilità superiore al 50% che 2 di esse festeggino il compleanno il medesimo giorno.
Proviamo a dimostrarlo!
Con 23 persone presenti si possono avere ben 253 coppie (in senso matematico, non in senso sentimentale!) possibili presenti.
Infatti, ricordando il concetto di combinazione (lo stesso a cui facciamo riferimento quando constatiamo la minuscola probabilità di azzeccare i 6 numeri estratti per il superenalotto), scritta sotto forma di coefficiente binomiale, è possibile trascrivere la questione in termini più rigorosi nel seguente modo:





Ovviamente, il punto esclamativo, nel suddetto caso, non ha la funzione che possiede normalmente, ma rappresenta il fattoriale, definito rigorosamente con la seguente formula:





La maniera corretta di eseguire i calcoli delle probabilità consiste nel cominciare con una coppia, continuare ad aggiungere gente e osservare come varia la probabilità.
Questo non si fa calcolando la probabilità di condividere un compleanno, bensì determinando la probabilità che ogni nuova persona abbia un compleanno differente da tutte quelle già presenti.
Ergo, considerando solo 2 persone nella stanza, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima è 364/365, poiché tutti i giorni tranne uno sono buoni.
La probabilità che, entrata una terza persona entro la camera, quest'ultima eviti il compleanno delle altre 2 è 363/365, ma non dobbiamo trascurare il fatto che i primi 2 sono nati in giorni diversi.
Nella teoria delle probabilità, quando dobbiamo calcolare la probabilità di 2 eventi differenti ma che avvengono simultaneamente, dobbiamo effettuare il prodotto tra la probabilità del primo evento e la probabilità del secondo.
Ne deriva che la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima e, contemporaneamente, la terza eviti il compleanno degli altri 2 individui risulta pari a:



   
Se questa è la probabilità che le 3 persone considerate siano nate in 3 giorni diversi, allora, di conseguenza, la probabilità che 2 di loro festeggino il compleanno il medesimo giorno è la probabilità dell'evento contrario, ovvero 1 - 0,9918 = 0,0082 = 0,82%.
Si può pertanto constatare che la probabilità che su 3 persone, riunite in una stanza, 2 di loro abbiano lo stesso compleanno è piuttosto esigua.
Ora immaginiamo di continuare il processo sopra descritto sino ad avere 23 frazioni da tenere in considerazione, ossia 23 persone in una stanza.
Avremo dunque:

23 frazioni moltiplicate fra loro





Quindi, la probabilità che 2 persone su 23 abbiamo il medesimo compleanno è equivalente a circa 1 - 0,4927 = 0,5073 = 50,73%.
Pensate poi che nel caso di 57 o più persone, la probabilità sale oltre il 99%.
La probabilità giunge ovviamente al 100% se ci sono almeno 366 persone all'interno della stanza, in accordo con il principio della piccionaia.
Vi starete forse chiedendo: cos'è il principio della piccionaia?
Ebbene, la prima enunciazione di tale principio risale al 1834 per mano del matematico tedesco Johann Dirichlet, anche se, è necessario specificare, egli si riferì al suddetto come "principio dei cassetti".
L'espressione "principio della piccionaia" si deve invece al matematico Raphael M. Robinson, il quale la utilizzò per la prima volta, nel 1940, in un importante periodico relativo alla Matematica.
In parole povere, il principio stabilisce che se ci sono m casette di piccioni e n piccioni, si può asserire senza alcun dubbio che, se n risulta maggiore di m, ossia se il numero di piccioni è maggiore di quello delle casette, allora almeno una casetta accoglierà più di un piccione.

10 piccioni in 9 casette















Generalizziamo adesso la risoluzione del paradosso del compleanno.
La formula per calcolare la probabilità che almeno 2 tra n persone festeggino gli anni il medesimo giorno è:




 
Essa può essere approssimata a:




Chiudiamo questa "rassegna paradossale" con il cosiddetto "paradosso di quanto è piccolo il mondo".
Scopriamo quest'ultimo paradosso attraverso le parole di Martin Gardner nel libro "Ah! Ci sono!":

"Molte persone, di questi tempi, credono che le coincidenze siano causate dalle stelle o da altre forze occulte. Per esempio, supponiamo che 2 estranei si incontrino su un aeroplano. 

Jim: Allora lei viene da Boston! La mia vecchia amica Lucy Jones fa l'avvocato a Boston.
Tom: Come è piccolo il mondo! È la migliore amica di mia moglie!
 
Si tratta di una strana coincidenza? Gli statistici hanno dimostrato di no. La maggior parte delle persone rimane molto sorpresa quando, incontrando un estraneo, soprattutto lontano da casa, scoprono di avere un amico in comune. Un gruppo di studiosi di sociologia del MIT, guidato da Ithiel de Sola Pool, ha effettuato una ricerca a proposito di questo "paradosso di quanto è piccolo il mondo". Hanno così scoperto che se si scelgono a caso 2 cittadini degli Stati Uniti, ciascuno dei 2 conosce in media circa 1000 persone. Si ha quindi una probabilità su 100.000 che le 2 persone si conoscano. La probabilità sale rapidamente a 1 su 100 se si considera l'ipotesi che abbiano un amico in comune. La probabilità che siano collegati da una catena di 2 intermediari è in realtà superiore a 99/100! In altri termini, se Brown e Smith sono 2 cittadini degli Stati Uniti scelti a caso, è quasi sicuro che Brown conoscerà qualcuno che conosce qualcuno che conosce Smith. Lo psicologo Stanley Milgram ha affrontato il problema scegliendo un gruppo casuale di "persone di partenza". A ognuna venne dato un documento da trasmettere a una "persona bagaglio" (non conosciuta dalla persona di partenza) che viveva in uno stato lontano. L'operazione doveva essere compiuta spedendo il documento a un caro amico che si riteneva avesse più probabilità di conoscere la persona bersaglio; l'amico, a sua volta, avrebbe dovuto spedire il documento a un altro amico, e così via fino a raggiungere qualcuno che conoscesse la persona bersaglio. Milgram scoprì che il numero di anelli intermedi, prima che il documento giungesse alla persona bersaglio, variava da 2 a 10, con mediana a 5. Se si chiedeva alle persone quanti anelli intermedi sarebbero stati probabilmente necessari, i più rispondevano circa 100. Lo studio di Milgram dimostra come la gente sia strettamente unita da una rete di mutue amicizie. Non è allora sorprendente che 2 estranei, incontrandosi lontano da casa, scoprano di avere una conoscenza comune." 

Vi lascio con il famosissimo rondò "alla turca" di Mozart, interpretato, però, in stile jazz:


4 commenti:

  1. Il vero paradosso è che ancora non ci sia un commento a questo bellissimo articolo. Un commentino piccolo piccolo non fosse che per farti i complimenti e ringraziarti. Noi "lettori" siamo una razza strana, prendiamo ma raramente diamo un segno del nostro apprezzamento, forse perché non ci si rende realmente conto di quanto tempo ed impegno ci vogliono per scrivere articoli simili. E se poi un blogger, stanco e poco motivato, decide di non scrivere più ci chiediamo come mai. Sarà pure anche un po' colpa nostra? Mah!
    Grazie! E continua a scrivere che vai fortissimo.
    Un salutone
    Marco


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    1. Ti ringrazio, Marco, per i complimenti e per il commento!
      Mi fa molto piacere che tu abbia apprezzato il post.
      Hai ragione: i commenti non pervengono spesso in questo blog, probabilmente per i motivi che hai citato.
      Ciò, tuttavia, non mi demoralizza troppo, dato che adoro scrivere articoli divulgativi e continuerò a farlo, così come continuerò a partecipare ai Carnevali scientifici, iniziative che reputo veramente splendide.
      Ti ringrazio nuovamente per il gentilissimo commento.
      Un salutone!
      Leonardo

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  2. Maria Antonietta17 gennaio 2016 10:49

    Bellissimo articolo! Ancora una volta la matematica, la filosofia e la musica dimostrano di avere la stessa radice. Bravo!

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