MATRICI INVERSE

Proseguiamo la nostra serie di post con protagoniste le matrici.
Oggi invertiamo la prospettiva: parliamo di matrici inverse!

State tranquilli: Pippo, a differenza di Rango, non c'entra assolutamente niente con le matrici: quella riportata è solo una simpatica immagine del personaggio disneyano che introduce un cambio di prospettiva, niente di più!
Dal faceto passiamo al serio: cosa sono le matrici inverse?
Primo punto: esse sono sicuramente matrici quadrate!
Secondo punto: prima di definirle, è forse meglio stabilire cos'è una matrice invertibile.


Consideriamo allora una generica matrice quadrata A.

Essa si dice invertibile se e solo se esiste una matrice M (sempre quadrata) tale che:

AM = MA = In

ove In indica ovviamente la cosiddetta matrice identità, chiamata anche matrice identica o matrice unità.
Utilizzando un formalismo rigoroso, si può descrivere la matrice identità nel seguente modo:






Il simbolo δij viene detto delta di Kronecker.
In modo più semplice e di impatto immediato, una matrice identità è una particolare matrice diagonale (ovvero una matrice che, esclusa la diagonale principale, presenta tutti elementi nulli) in cui la diagonale principale è occupata da tutti 1.
Ecco l'immagine illustrativa:

Ops, ci siamo dimenticati di definire più precisamente M!
Ebbene, M è proprio la matrice inversa, ossia una matrice quadrata che moltiplicata alla matrice A di partenza ci restituisce come risultato la matrice identità!
Una curiosità: per ogni matrice quadrata A esiste un'unica matrice inversa.
Non ci credete? Volete la prova?
OK! ;)
Teniamo presente il fatto che:

AM = MA = In

Ora supponiamo che esista un'ulteriore matrice quadrata N tale che:

AN = NA = In

Ragioniamo allora in questo modo.
Consideriamo M, che è matrice inversa di A.
Sfruttando il fatto che una qualsivoglia matrice moltiplicata per la matrice identità (che ha dunque un ruolo analogo a quello che possiede l'1 nelle moltiplicazioni tra numeri [esempio banale: 3 x 1 = 3]) rimane invariata, possiamo senza problemi scrivere:

M = MIn

Tenendo presente che In = AN, allora:

M = MIn = M(AN) = (MA)N = InN = N.

Avete visto? Con una serie di semplicissimi passaggi si può dimostrare che M deve essere necessariamente uguale ad N, cioè che esiste un'unica matrice inversa per una certa matrice A invertibile.
Generalmente, una matrice inversa viene denotata mediante il simbolo Aˉ¹.
Possiamo dimostrare facilmente anche un'altra considerazione: data una matrice A invertibile, basta che sia vera solamente una delle seguenti condizioni affinché la matrice M sia la matrice inversa di A:

1) AM = In

2) MA = In

Per dimostrarla, ipotizziamo che la prima condizione risulti vera e ragioniamo nel seguente modo:

MA = (Aˉ¹A)MA

Ciò che abbiamo scritto è ovviamente valido, dato che il prodotto tra una matrice A e la sua inversa restituisce la matrice identità, la quale, come abbiamo già constatato, non comporta modifiche all'interno dell'uguaglianza.
Procediamo con il ragionamento:

MA = (Aˉ¹A)MA =  Aˉ¹(AM)A = Aˉ¹InA =  Aˉ¹A = In

Come volevasi dimostrare! Se la prima condizione è vera, pure la seconda, di conseguenza, risulta veritiera.
Curiosità: la matrice identità è sempre invertibile ed è equivalente alla sua inversa.
Altra curiosità: sapete cos'è l'inversa di una matrice inversa?
Ecco la risposta:



Adesso però veniamo al sodo: come si fa, data una certa matrice invertibile A, a determinarne l'inversa?
Esistono 2 metodi fondamentali: uno si basa sul procedimento di Gauss-Jordan, l'altro sul concetto di determinante.
Iniziamo con il primo!
Direi di introdurre l'algoritmo di inversione, basato sul metodo di Gauss-Jordan, direttamente con un esempio.
Prendiamo la seguente matrice quadrata:






Per trovare l'inversa della suddetta matrice dobbiamo innanzitutto "attaccare" a tale matrice quella identità.






Quello che dobbiamo fare adesso è procedere con Gauss-Jordan in modo tale da rendere la prima parte della matrice, ossia quella corrispondente alla matrice A, uguale alla matrice identità.
Procediamo!





Continuiamo:






In ultimo otteniamo:






Finalmente abbiamo trasformato la matrice di partenza in una matrice che, a sinistra, è costituita dalla matrice unità e, a destra, da un'altra matrice.

QUEST'ULTIMA È LA MATRICE INVERSA!

Avete capito come si procede?
Praticamente abbiamo applicato il metodo di Gauss-Jordan in modo che si manifestasse la seguente situazione:



Riassumendo, la matrice A, accostata alla matrice identità In, attraverso una serie di operazioni elementari sulle righe si trasforma in una matrice "composta" dalla matrice identità, accostata alla matrice inversa di A.
Passiamo al secondo metodo per trovare l'inversa di una matrice, ovvero quello che si basa sulla nozione di determinante.
Prima di poter illustrare come si procede con tale metodo, dobbiamo introdurre il concetto di matrice aggiunta.
La matrice aggiunta non è altro che la trasposta della matrice dei cofattori.
Sorge però, ovviamente, un'altra domanda: cos'è una matrice trasposta?
La risposta è molto semplice: data una qualsivoglia matrice A, la sua trasposta è la matrice che si ottiene scambiando le righe di A con le sue colonne, cioè quella in cui le righe di A diventano colonne e le colonne di A si trasformano in righe.
Facciamo un semplice esempio:







Giusto per completezza, illustriamo un esempio di trasposta di una matrice non quadrata:

Ritorniamo alla matrice aggiunta; essa si può esprimere in simboli come:




Ad esempio, la matrice aggiunta di una generica matrice 3 x 3 è:

Finalmente possiamo fornire il metodo per calcolare l'inversa di una matrice basato sui determinanti.

Data una matrice quadrata A, se il det A ≠ 0, allora:

Abbiamo illustrato il metodo in teoria, ora mettiamolo in pratica!
Prendiamo una matrice quadrata:






Per rinvenire l'inversa, dobbiamo innanzitutto calcolarci il determinante di G e la sua matrice aggiunta.
Per quanto concerne il determinante, applichiamo lo sviluppo di Laplace sulla 2° colonna:

Ora troviamo i cofattori:

Ergo, la matrice aggiunta di G è:

Ne consegue che l'inversa di G è uguale a:

Concludiamo con un semplice esempio di applicazione delle matrici inverse.
Consideriamo un generico sistema di n equazioni in n incognite AX = B.

Nessuno ci vieta di moltiplicare entrambi i membri dell'uguaglianza per l'inversa di A:

Sappiamo che il prodotto tra una matrice e la sua inversa equivale alla matrice identità, dunque possiamo riscrivere l'identità come:



Praticamente, dato un sistema di n equazioni in n incognite AX = B (dove, ricordiamo, A indica la matrice dei coefficienti delle incognite del sistema, X designa il vettore colonna delle incognite e B indica il vettore colonna dei termini noti), conoscendo l'inversa della matrice A si possono ricavare le soluzioni del sistema stesso!
La conoscenza della nozione di matrice invertibile e di quella di matrice inversa è fondamentale per poter comprendere altri importantissimi concetti dell'algebra lineare come gli autovalori, gli autovettori e la diagonalizzazione; di questi, tuttavia, parleremo in un altro post.
Per il momento è tutto; a proposito di inversione, vi lascio con un video musicale relativo al "Concerto romantico interrotto" da "Canone Inverso" di Ennio Morricone:



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Altri post sulle matrici:

- Metodo di Gauss-Jordan e sue origini antiche
- Matrici: il concetto di determinante
- Rango!!!