LA SCOPERTA DEI BOSONI W e Z

Solo pochi giorni fa, il 25 gennaio, si celebrava il quarantennale della scoperta del bosone W (qui il relativo post celebrativo del CERN).

Nel presente post vorrei dunque provare a presentare in maniera accessibile per tutti un pochino più in dettaglio la scoperta dei bosoni W e Z, mediatori dell'interazione debole.

Ovviamente la prima questione da chiarire è cosa sia l'interazione debole.

Dovreste ben sapere che in natura esistono 4 interazioni fisiche fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, forte e debole.

La gravità è allo stesso tempo quella più conosciuta anche ai profani e quella più problematica per i fisici.

Infatti la teoria moderna della gravità non solo è molto complessa (trattasi della relatività generale di Einstein, matematicamente fondata sul calcolo tensoriale sviluppato da Ricci Curbastro e Levi-Civita), ma è difficile da far conciliare con l'altro grande pilastro della fisica moderna, ovvero la meccanica quantistica.

Al momento una teoria della gravità quantistica sperimentalmente verificata non esiste!

Immagine presa da: https://bit.ly/40Kpd52

Poi abbiamo l'interazione elettromagnetica, che riunisce insieme tutti i fenomeni elettrici e magnetici grazie alle note e fondamentali equazioni di Maxwell.

Equazioni di Maxwell
in assenza di sorgenti.

L'interazione forte è invece quella che, per esempio, fa da "collante" tra protoni e neutroni e dunque tiene assieme i nuclei atomici. Come suggerisce il nome stesso, è la più intensa tra le 4 interazioni fondamentali.

Immagine tratta da: https://bit.ly/3HL4hCw

Ultima, ma non per questo meno importante, è l'interazione debole.

In parole povere, è quel tipo di "forza" che è responsabile dei decadimenti radioattivi degli atomi.

La seguente immagine, tratta da Wikipedia, illustra per esempio il decadimento beta di un neutrone dovuto proprio all'interazione debole.

Per capire meglio, sottolineiamo immediatamente che nell'ambito della fisica delle particelle esistono 3 tipologie fondamentali di reazioni:

1) reazioni di scattering elastico: lo stato iniziale della reazione coincide con lo stato finale. Un esempio è dato da: $e^{-} + p \rightarrow e^{-} + p$. Ciò significa che l'interazione tra un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$ ha prodotto un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$. 

2) reazioni di tipo inelastico: le particelle prodotte nello stato finale non coincidono con quelle iniziali. Ad esempio: $\nu_{e} + n \rightarrow e^{-} + p$. Tradotto in parole significa che l'interazione tra un neutrino elettronico $\nu_{e}$ ed un neutrone $n$ va a produrre un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$. Notate bene la conservazione della carica elettrica sussistente tra lo stato iniziale (neutrino e neutrone entrambe particelle con carica nulla) e quello finale (elettrone con carica negativa e protone con carica positiva, e dunque complessivamente il sistema ha carica nulla).

3) decadimenti: qui abbiamo una singola particella come stato iniziale che decade in varie particelle nello stato finale. Per esempio $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_e$, che denota il fatto che un neutrone $n$ può decadere producendo un protone $p$, un elettrone $e^-$ ed un antineutrino elettronico $\bar{\nu}_e$ (come illustrato dall'immagine di cui sopra).

Ovviamente un modo davvero utile di rappresentare le interazioni fra particelle è costituito dai famosi diagrammi di Feynman e dalle relative regole di Feynman che consentono di comprendere immediatamente, dalla sola osservazione dei diagrammi, alcune delle grandezze essenziali in gioco, specialmente per il calcolo dell'ampiezza di probabilità e del suo modulo quadro, che consente di comprendere un'altra grandezza fondamentale come la sezione d'urto.

Non entreremo tuttavia nei dettagli di questi aspetti, che dal punto di vista teorico possono essere ricavati esplicitamente grazie alla teoria quantistica dei campi.

Illustrazione di alcuni diagrammi di Feynman e
processi in fisica delle particelle nella serie tv "The Big Bang Theory".

Ora che abbiamo chiarito brevemente la questione interazioni fondamentali e reazioni, dobbiamo per forza di cosa aggiungere che ciascuna delle interazioni fondamentali è mediata da delle particelle note come bosoni di gauge.

Per quanto riguarda la gravità il corrispettivo bosone resta ancora ipotetico ed è chiamato gravitone (e si ipotizza abbia spin 2). 

Le restanti 3 interazioni fondamentali sono mediate da bosoni aventi spin 1 (avevamo dato un'introduzione molto basilare al concetto di spin, insieme ad altre cose, qui).

Nello specifico l'interazione elettromagnetica è mediata dal famoso fotone, l'interazione forte dal gluone, mentre per quanto concerne l'interazione debole abbiamo proprio i bosoni W e Z.

C'è un dettaglio non da poco che subito distingue tali bosoni: la massa!

Infatti mentre fotoni e gluoni non hanno massa, i bosoni W e Z sono particelle massive.

E tutto ciò ha delle implicazioni notevoli anche per quanto concerne il cosiddetto "range" $R$ di tali interazioni, che possiamo definire come

$R = \frac{1}{M_X}$

in cui $M_X$ rappresenta la massa della particella mediatrice dell'interazione, e in cui abbiamo assunto, per semplicità, l'uso delle unità di misura naturali, ovvero abbiamo considerato sia la velocità della luce $c$, sia la costante di Planck ridotta $\hbar$ pari ad 1, dunque non esplicitamente presenti nella formula sopra riportata.

È pertanto facile notare che se assumiamo che $M_X = 0$ (come nel caso del fotone e del gluone) otteniamo delle interazioni aventi range infinito (almeno teoricamente), mentre se $M_X$ è diversa da 0 l'interazione ha un range finito, che è proprio il caso dell'interazione debole.

Nello specifico il range della suddetta interazione è pari a circa $2 \times 10^{-3}$ fm, ove con fm indichiamo i femtometri (1 fm = $10^{-15}$ m).

Aggiungiamo poi che la scoperta dei bosoni W e Z è stata una vera e propria pietra miliare a conferma del modello teorico dell'unificazione elettrodebole per cui Glashow, Salam e Weinberg vinsero il Nobel per la fisica nel 1979.

Questi prodigiosi fisici mostrarono che, almeno ad elevate energie, l'interazione elettromagnetica e quella debole non sono altro che due facce della stessa medaglia, ossia l'interazione elettrodebole, un po' come (principalmente) Faraday e Maxwell dimostrarono sperimentalmente e matematicamente che fenomeni elettrici e magnetici potessero essere descritti complessivamente grazie alla teoria dell'elettromagnetismo. 

L'idea primordiale di indagare sull'esistenza dei bosoni W e Z risale al 1976, anno in cui David Cline, Peter McIntyre e Carlo Rubbia proposero di convertire gli esistenti acceleratori di protoni in collisori protoni $p$ ed antiprotoni $\bar{p}$, nella speranza di produrre appunto i bosoni massivi predetti dalla teoria elettrodebole.

Chi fosse rimasto sino ad ora confuso da concetti come quello di antiprotone appena menzionato, ovvero l'antiparticella del protone, legga (cliccando qui) il recente post che abbiamo pubblicato riguardo all'emergere teorico del concetto di antiparticella dall'equazione di Dirac e alla scoperta sperimentale della prima antiparticella nota, il positrone, cioè l'antiparticella dell'elettrone.

Specifico ora che quelli che finora ho chiamato bosoni W e Z sono complessivamente 3:

1) bosone $Z^0$, avente carica elettrica nulla;

2) bosone $W^+$, avente carica elettrica positiva;

3) bosone $W^-$, avente carica elettrica negativa.

Oggi sappiamo che tali particelle sono altamente instabili e vennero prodotte grazie alle seguenti reazioni:

$p + \bar{p} \rightarrow W^{+} + X^{-}$

$p + \bar{p} \rightarrow W^{-} + X^{+}$

$p + \bar{p} \rightarrow Z^0 + X^0$,

in cui $X^{\pm}$ e $X^0$ denotano stati adronici arbitrari permessi dalle leggi di conservazione.

Per chi se lo stesse chiedendo, un adrone è ovviamente una particella, ma non è una particella elementare (ovvero senza una struttura interna), bensì una particella composta da altre particelle, che possono essere quark (che invece sono particelle elementari) ed antiquark. 

Nello specifico, esistono 2 famiglie fondamentali in cui dividiamo gli adroni:

1) i barioni, composti da almeno 3 quark (e comunque sempre aventi un numero dispari di particelle costituenti). Di questa categoria fanno parte anche i protoni ed i neutroni.

2) i mesoni, formati da un quark e da un antiquark. Esempi famosi sono i pioni e i kaoni.

 

 

Come già detto all'inizio del post, sono passati 40 anni dal rilevamento sperimentale, nel 1983, dei bosoni mediatori dell'interazione debole.

Vennero sfruttati i seguenti corrispondenti decadimenti (molto generali) in leptoni:

$W^+ \rightarrow l^+ + {\nu}_l$

$W^- \rightarrow l^- + \bar{\nu}_l$

$Z^0 \rightarrow l^+ + l^-$

Specifichiamo che i leptoni sono una famiglia di particelle elementari (ed osservabili) che comprendono il ben noto elettrone, il muone, il tauone e i corrispettivi neutrini. Dunque nelle reazioni qui sopra $l$ può denotare indifferentemente $e, \mu, \tau$.  

2 esperimenti indipendenti vennero allestiti al CERN a partire dal 1981: UA1 e UA2, acronimi che provengono da "underground area", cioè "area sotterranea".

In entrambi gli esperimenti, fasci di protoni ed antiprotoni furono condotti insieme in una zona di intersezione che giace al centro di un gigantesco e molto complesso sistema di rilevamento.

Nello specifico, tenendo a riferimento UA1, i componenti principali di questo apparato erano:

1) un "tracking detector" centrale: usato al fine di osservare le particelle cariche e misurare il loro momento a partire dalla curvatura delle tracce in un campo magnetico applicato;

2) una serie di contatori di cascata elettromagnetica: assorbono e rivelano sia elettroni (osservati anche dal rivelatore centrale) che fotoni (non osservati dal rivelatore centrale); 

3) una serie di calorimetri adronici: assorbono e rivelano adroni sia carichi sia neutri;

4) una serie di contatori per l'identificazione dei muoni: questi sono le uniche partielle cariche che riescono a penetrare i calorimetri adronici.

Di seguito una rappresentazione schematica di quanto appena illustrato tratta dal testo Particle Physics di B.R. Martin e G. Shaw.

Alla fine è chiaro che le uniche particelle in grado di scappare dalla rivelazione del sofisticato apparato sono stati i neutrini, a volte noti comunemente come "particelle fantasma" giacché molto difficili da rilevare.

Infatti i neutrini presentano la caratteristica peculiare di essere sensibili soltanto all'interazione debole (e non alle altre interazioni) ed essere caratterizzati da una sezione d'urto assai piccola, il che significa che per tentare di rilevarli si ha bisogno di rivelatori molto grandi e di un enorme flusso di particelle.

Dopo questo breve inciso sui neutrini, torniamo all'esperimento UA1.

Uno dei problemi principali che gli scienziati dovettero affrontare fu il fatto che, per ogni evento in cui un bosone $W^{\pm}$ o $Z^0$ viene prodotto (decadendo poi in leptoni), esistono più di $10^{7}$ eventi nei quali vengono prodotti solo adroni.

L'estrazione del "segnale" di presenza dei suddetti bosoni in questo immenso "background" di adroni è stato reso possibile solo perché i leptoni che scaturiscono dal decadimento dei bosoni W e Z posseggono momenti elevati e sono spesso emessi ad ampi angoli rispetto alle direzioni iniziali del fascio.

Detto in altri termini, i leptoni si manifestano spesso con grandi "momenti trasversi".

Al contrario, gli adroni, prodotti nelle collisioni protone/antiprotone, e i leptoni derivanti dai loro decadimenti presentano raramente dei così elevati momenti trasversi.

Questa analisi permette pertanto di avere un modo efficace di distinguere ciò che è stato prodotto dagli adroni (cioè la maggioranza degli eventi) e ciò che invece è il risultato del decadimento delle nostre "prede", ossia i bosoni W e Z.

Concludendo, grazie ad analisi di questo tipo, gli esperimenti condotti al CERN produssero il risultato sperato e, nel 1984, Carlo Rubbia e Simon van der Meer furono insigniti del Nobel per la fisica per il loro fondamentale contributo nell'ambito di tale scoperta. 

van der Meer (a sinistra) e Rubbia (a destra).
Immagine tratta da: https://nyti.ms/3jDURRf

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Fonti essenziali:

- Particle Physics di B.R. Martin e G. Shaw   

LA SCOPERTA DEL POSITRONE

Oggi ci soffermeremo nel dettaglio su un'importantissima scoperta nella storia della fisica moderna, ovvero quella del positrone, l'antiparticella dell'elettrone.

Partiremo con una breve premessa un po' tecnica, dopodiché prometto che la narrazione diventerà molto più fruibile anche per il lettore non avvezzo al formalismo matematico della meccanica quantistica e della relatività ristretta.

È ben noto che l'equazione fondamentale alla base della meccanica quantistica è l'equazione di Schrödinger (ne abbiamo parlato qui e qui)

qui scritta per particella libera (ossia in assenza di potenziale) e assumendo l'uso di unità naturali, cioè ponendo $\hbar = 1$.

Ovviamente più in generale possiamo scriverla come

$i \frac{\partial}{\partial t} | \psi (t) \rangle = H | \psi(t) \rangle$,

ove $H$ denota l'hamiltoniana di una particella libera non relativistica, ovvero

$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$.

Detto ciò, una domanda lecita sarebbe chiedersi come sia possibile estendere l'equazione di Schrödinger al caso di una particella relativistica.

Ciò che immediatamente si può fare è scrivere l'hamiltoniana grazie alla relazione di dispersione relativistica

$H = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$,

dove abbiamo imposto, per via delle unità naturali, la velocità della luce $c = 1$ (non utilizzando le unità naturali la relazione sarebbe stata $H = \sqrt{c^2 \mathbf{p}^2 + c^4 m^2}$).

Se si andasse ad utilizzare questa nuova $H$ all'interno dell'equazione di Schrödinger si otterrebbe:

Trattasi di un'espressione problematica per essere una relazione relativistica dato che le derivate spaziali e temporali sono di ordine diverso e ciò non la rende invariante di Lorentz.

Per cercare di risolvere il problema, ossia cercare di rendere quantomeno uguale l'ordine delle derivate temporale e spaziale, possiamo provare ad applicare il termine $i \frac{\partial}{\partial t}$ a tutta l'equazione precedente, il che conduce all'espressione

 

Trattasi della cosiddetta equazione di Klein-Gordon (proposta da Oskar Klein e Walter Gordon nel 1926) per la funzione d'onda $\psi(\mathbf{x},t)$, equazione che risulta consistente con la relazione di dispersione relativistica se compiamo le seguenti identificazioni:

in cui ovviamente $H$ e $\mathbf{p}$ sono rispettivamente l'operatore hamiltoniano e l'operatore momento.

Un ultimo piccolo importante step da compiere è usare le seguenti relazioni

le quali ci permettono di scrivere l'equazione di Klein-Gordon nella sua forma covariante (per i pignoli, abbiamo assunto la convenzione "mostly minus" del tensore metrico $\eta^{\mu \nu}$ dello spazio-tempo di Minkowski):

L'equazione così scritta è invariante di Lorentz in modo esplicito, dato che $\psi(\mathbf{x},t)$ ed $m$ sono scalari, mentre $\partial_{\mu} \partial^{\mu} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \equiv \partial^2 \equiv \Box$, cioè l'operatore dalembertiano, è uno scalare di Lorentz in quanto prodotto scalare di quadrivettori.

Detto ciò, l'equazione di Klein-Gordon continua ad avere dei problemi.

Innanzitutto $|\psi(\mathbf{x},t)|^2$, ovvero la densità di probabilità in meccanica quantistica, non è conservata (cioè non è indipendente dal tempo) giacché abbiamo ben 2 derivate temporali nell'equazione di Klein-Gordon.

L'equazione di Klein-Gordon non può oltretutto descrivere particelle aventi spin e presenta anche stati ad energia negativa come soluzioni, il che implicherebbe densità di probabilità negative, assolutamente non consistenti con l'interpretazione probabilistica tipica della meccanica quantistica non relativistica.

Insomma, sarebbe decisamente sbagliato considerare l'equazione di Klein-Gordon come un'equazione di Schrödinger relativistica; quella di Klein-Gordon è semplicemente un'equazione d'onda relativistica!

Tale problematica venne affrontata nientemeno che dal mitico Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), il quale riuscì nell'impresa di pervenire, nel 1928, ad un'equazione, la famosa equazione di Dirac (di seguito scritta in forma covariante)

$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$,

che presenta derivata spaziale e temporale entrambe del 1° ordine.

Tale equazione è tuttavia valida per gli spinori, non per funzioni d'onda scalari e, in particolare, serve a descrivere le particelle con spin semi-intero chiamate fermioni (tra cui troviamo anche l'elettrone e il positrone).

Non entreremo nel dettaglio della spiegazione di tale equazione, che andrebbe ben al di là degli scopi di questo post (gli interessati possono trovare una spiegazione già in alcuni testi della bibliografia in fondo al post).

Prima però di capire come tutto questo si ricolleghi alla scoperta del positrone voglio sottolineare il fatto che negli ultimi anni sia uscita una certa moda che consiste nel tatuarsi sul corpo l'equazione di Dirac e denominarla come "formula dell'amore".

Il problema sta nel fatto che non solo la suddetta equazione non ha nulla a che vedere con l'amore (magari già il bizzarro concetto quantistico di entanglement avrebbe leggermente più senso in tal direzione), ma spesso viene pure scritta in modo totalmente sbagliato, cioè per esempio come segue.

 

 

In questo caso non solo è chiaramente sbagliato l'utilizzo del segno +, ma c'è pure un dettaglio non da poco che manca: la slash notation. 

Quella barretta che risulta inserita nella vera equazione di Dirac non è infatti messa lì a caso, come fosse una trollata da parte dei fisici per complicare la vita dei poveri mortali, ma ha un significato ben preciso che coinvolge le cosiddette matrici gamma. 

Insomma, se proprio volete tatuarvela, vi consiglio di tatuarvi quella giusta per non farvi prendere in giro da coloro (seppur pochi 😉) che conoscono davvero l'equazione di Dirac.

Tornando alle cose serie, vi starete giustamente chiedendo a cosa sia servita tutta questa piuttosto pesante premessa.

Essa è servita in primis per farvi capire come non sia banale considerare assieme la meccanica quantistica e la relatività speciale (non mettiamo poi nel calderone la relatività generale, la cui unificazione con la meccanica quantistica è un problema ancora apertissimo in fisica).

Infatti spesso quando si parla di meccanica quantistica + relatività speciale ci si riferisce ad una teoria nota come teoria quantistica dei campi o, in inglese, quantum field theory (abbreviata QFT).

Ecco, se pensate che la meccanica quantistica sia qualcosa di molto complesso, la QFT rappresenta un netto ulteriore step in complessità, oltre a costituire un vero e proprio framework per la fisica moderna ed essere la base teorica della fisica delle particelle.

La premessa è servita poi per farvi quantomeno comprendere perché, nella storia della fisica moderna, non è stata sufficiente l'introduzione dell'equazione di Klein-Gordon e fu necessario il geniale contributo di Dirac per poter compiere giganteschi passi avanti nel tentativo di fusione tra meccanica quantistica e relatività ristretta.

Il nocciolo della questione viene in particolare dal fatto che, così come l'equazione di Klein-Gordon, pure quella di Dirac ammette soluzioni con energie negative!

Ciò implicherebbe la non esistenza di uno stato fondamentale (ground state) del sistema, poiché le particelle tenderebbero sempre a preferire di dirigersi verso stati ad energia negativa.

Oltretutto, tenendo conto che l'equazione di Dirac descrive i fermioni, e i fermioni sono quelle particelle che debbono obbedire al noto principio di esclusione di Pauli (leggete qui), si potrebbe supporre (come fece Dirac) che tutti gli stati ad energia negativa siano occupati, ossia che sussista il cosiddetto "mare di Dirac" inaccessibile alle particelle con energia positiva a causa del principio di Pauli.

Ecco un'immagine illustrativa della situazione tratta dal testo Particle Physics di Martin e Shaw.

  

 

 

Sarebbe tuttavia chiaramente possibile eccitare (in qualche modo) una particella situata nel mare infinito di Dirac delle energie negative verso la regione delle energie positive, totalmente vuota.

Il risultato sarebbe avere una buca nel mare di Dirac, tecnicamente (nel linguaggio tipico della fisica dei semiconduttori) una lacuna (in inglese hole), come ben mostra la seguente immagine.

Fonte: https://oer.physics.manchester.ac.uk/NP/Notes/Notes/Notesse28.xht

Tale lacuna (il pallino bianco della figura) è sostanzialmente un'antiparticella, cioè, in parole povere, una particella che presenta la medesima massa (ed altre proprietà) della particella originaria ma carica elettrica opposta.

Quando una particella e un'antiparticella interagiscono avviene il fenomeno dell'annichilazione, che dà luogo a particelle più leggere con rilascio di energia.

L'antiparticella dell'elettrone $e^-$ è proprio il positrone $e^+$; le 2 particelle interagiscono nello specifico a bassa energia secondo questa relazione:

 

L'introduzione del concetto di antiparticella rimase un puro risultato teorico proprio sino alla scoperta sperimentale del positrone. Entriamo ora finalmente nei meandri dell'interessante storia inerente alla suddetta scoperta. 

L'ABC DEL PATH INTEGRAL E DEL WORLDLINE FORMALISM

Abbiamo già avuto modo in passato di accennare brevissimamente al concetto di path integral (o, se volete, integrale sui cammini) qui.
Dato che in questo periodo sto lavorando ad una tesi (che magari condividerò qui in futuro) assai attinente a tal concetto, volevo provare a fornire ai lettori del blog un'introduzione a tale importante nozione leggermente più ampia di quanto precedentemente fatto, che si focalizzi sugli aspetti che non richiedono immensi prerequisiti per la comprensione ed anche sull'interessante origine storica di tale concetto, oltre che su uno sviluppo relativamente recente come il worldline formalism.

Incominciamo dicendo che l'approccio della meccanica quantistica basato sui path integrals venne sviluppato da Richard Feynman (1918-1988) nella sua tesi di dottorato del 1942, scritta sotto la supervisione nientemeno che di John Archibald Wheeler (1911-2018), noto, tra le altre cose, anche per aver coniato nel 1967 il termine "buco nero".

Alcuni anni dopo, Feynman pubblicò un articolo fondamentale (Space-time approach to non-Relativistic Quantum Mechanics, datato 1948) e pure un celebre libro, assieme ad Albert R. Hibbs (Quantum Mechanics and Path Integrals, datato 1965), circa la suddetta tematica.

Il grande merito di Feynman in tal ambito fu quello di riuscire a dar vita a una formulazione della meccanica quantistica in cui lo "spazio-tempo" giocasse un ruolo essenziale e non solo lo spazio di Hilbert, come nella versione tradizionale della meccanica quantistica.

Il fondamento di tale approccio innovativo si basava su un concetto già ben noto in meccanica classica, ovvero quello di azione, che in termini matematici è un funzionale (abbiamo già parlato qui di tale nozione). 

In simboli possiamo scrivere l'azione $S[x(t)]$ come:

dove $x(t)$ denota una qualsivoglia traiettoria (non necessariamente classica) compresa tra $(x_0, t_0)$ e $(x_1, t_1)$, $\dot{x}(t)$ è la derivata rispetto al tempo di $x(t)$, mentre $\mathcal{L}$ è la Lagrangiana del sistema.

Feynman pervenne nello specifico alla seguente formula fondamentale:

Messa così, alla stregua di un inizio in medias res letterario, il lettore non troppo esperto potrebbe non capire molto dell'ultima rilevante equazione.

Don't worry, procediamo con calma!

L'esponenziale in questione lo avete già visto in forma molto simile nel vecchio post; l'unica differenza qui è che manca totalmente la presenza della costante di Planck $\hbar$.

Perché?  

No, non è che a Feynman stesse antipatico Planck e abbia deciso di trollare tutta la comunità scientifica eliminando la celebre costante universale; semplicemente, in certi ambiti della fisica teorica (come la teoria quantistica dei campi), non è così insolito ricorrere alle cosiddette unità naturali, cioè porre per esempio la semplificazione (senza perdita di generalità) $c = \hbar = 1$, cosa che rende più compatte le formule in cui originariamente compare la velocità della luce $c$ e la costante di Planck $\hbar$.

In altre parole, il vero esponenziale precedente sarebbe $e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]}$, ma, avendo posto $\hbar = 1$, si riduce semplicemente a ciò che leggete sopra.

Passiamo ora a $\mathcal{D}[x(t)]$. Che diavolo rappresenta?

Innanzitutto, il fatto che sia un'espressione che ha un argomento racchiuso tra parentesi quadre dovrebbe subito farvi intuire che si tratta di un funzionale (se fosse stata una tradizionale funzione avreste letto $\mathcal{D}(x(t))$.

Diciamo che complessivamente l'espressione $\int_{(x_0,t_0)}^{(x_1,t_1)} \mathcal{D[x(t)]}$ indica un'integrazione funzionale corrispondente approssimativamente ad una somma su tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$.

Ciò che generalmente si fa con la formula fondamentale fornita in precedenza è inserire una traiettoria in $e^{iS[x(t)]}$, calcolare tale quantità e "sommare" ciò alla medesima espressione con una traiettoria differente e continuare in tal modo per tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$.

Questo discorso dovrebbe rendere palese il motivo per cui tale metodo si chiama integrale sui cammini (path integral).

Rimane da capire cosa sia $\mathcal{K}(x_1,t_1; x_0,t_0)$. 

Qui dovrete purtroppo accontentarvi di sapere che il suddetto oggetto matematico si chiama propagatore ed è l'analogo della funzione di Green che troviamo spesso nell'ambito dell'elettrodinamica. 

Si potrebbe infatti dimostrare la relazione strettissima (sono praticamente la stessa cosa) sussistente tra propagatore e funzione di Green, ma ciò andrebbe ben oltre gli scopi divulgativi del presente post.

Chiaramente si potrebbe anche fornire una derivazione rigorosa (per esempio sfruttando la cosiddetta formula di Trotter) della formula fondamentale fornita precedentemente in modo secco, ma anche ciò oltrepassa il livello di trattazione che ci siamo qui prefissati.

Un'interpretazione maggiormente "concreta" e divulgativa del concetto di path integral si deve allo stesso Feynman, che nel libro del 1965 prima citato ha fatto riferimento al famoso esperimento della doppia fenditura e lo ha generalizzato a un sistema di schermi con un numero infinito di fenditure aperte e chiuse.

Se adesso volessimo calcolare l'ampiezza di transizione (in parole semplici, la grandezza che caratterizza il passaggio da un certo stato quantico iniziale ad uno finale) da un certo $x_0$ ad $x_1$, cioè la funzione d'onda $\psi_{x_0,x_1}$, allora dovremmo scrivere

$\psi_{x_0,x_1} = \sum_{(\mathrm{cammini})} \psi_{cammino},$

dove "cammino" serve ad etichettare l'ampiezza associata ad una configurazione di schermi con solo una fenditura aperta attraverso cui il cammino passa.

Naturalmente, alla fine i cammini possibili saranno tutti quelli tra $x_0$ e $x_1$ perché stiamo assumendo che gli schermi abbiano infinite fenditure.

Tutto ciò fornisce pertanto un'interpretazione fisica del perché i cammini, anche se li trattiamo solo come dei simboli o etichette, contribuiscono alle ampiezze di transizione.

Vediamo una splendida illustrazione tratta da Wikipedia:

 

Ora che i rudimenti essenziali della nozione di path integral dovrebbero esservi (spero) abbastanza chiari, è interessante compiere un breve resoconto storico della provenienza del suddetto concetto, che sarebbe assolutamente sbagliato associare soltanto al nome di Feynman, nonostante i suoi indiscussi straordinari meriti.

LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ E IL CONTRIBUTO DEL FISICO FRANCESCO ZANTEDESCHI

Il presente post nasce da una segnalazione via Twitter da parte di Marco Fulvio Barozzi (alias il mitico Popinga) di un thread dedicato alla figura di Francesco Zantedeschi, un abate e fisico italiano, che apportò, come vedremo, importanti contributi nell'ambito dell'elettromagnetismo.
In passato abbiamo già narrato alcune vicende essenziali nella storia dell'elettromagnetismo, come per esempio la disputa tra Galvani e Volta (cliccate qui) e gli esperimenti di Ørsted, Faraday e Ampère (cliccate qui).
In particolare, abbiamo avuto modo di analizzare alcuni contributi essenziali e parte della biografia del grande fisico e chimico britannico Michael Faraday (1791-1867) nel post "Faraday e l'elettrolisi".
Qui ci focalizzeremo su un'importantissima equazione, la legge spesso chiamata di Faraday-Neumann-Lenz e scopriremo il contributo essenziale del poco conosciuto Zantedeschi.
Innanzitutto presentiamo un po' meglio il personaggio protagonista del post.

Figlio di Bartolomeo e Domenica Loro, «ricca commerciante famiglia che per le vicende della guerra di Rivoli precipuamente fu ridotta in gravi ristrettezze di fortuna», Francesco Zantedeschi nacque a Dolcè (in provincia di Verona) il 18 agosto 1797.
Seguì la strada del sacerdozio e fu ordinato sacerdote dal Vescovo di Verona Innocenzo Maria Lirutti nel marzo del 1822.
Zantedeschi si dedicò subito all'insegnamento, cominciando nel Liceo Bagatta di Desenzano, ove insegnò per 4 anni fisica e storia naturale.
A questi anni risale il suo trattatello Geologia dei terreni che circondano il lago di Garda, rimasto inedito.
Nel 1827 venne chiamato a Pavia dal vescovo Luigi Tosi, che gli affidò le cattedre di matematica e fisica nel seminario vescovile e dove frequentò l'università assistendo alle lezioni di eminenti professori come Antonio Maria Bordoni, Giuseppe Moretti, Bartolomeo Panizza, Giacomo Zendrini o l'abate Pietro Configliachi e stringendo con loro rapporti di studio e d'amicizia.
Fu proprio qui a Pavia che Zantedeschi effettuò i suoi primi esperimenti con i magneti, di cui parleremo meglio in seguito.
La sua carriera di fisico venne interrotta dal vescovo di Verona Giuseppe Grasser, che nel 1829 lo chiamò ad insegnare filosofia teoretica e pratica nel suo seminario.
Questa "parentesi filosofica" non fu del tutto improduttiva: oltre a pubblicare (e poi rieditare) gli Elementi della sua filosofia e una dissertazione sui Principii generatori delle umane cognizioni «accolta con molto favore dall'Accademia delle Scienze di Berlino», Zantedeschi non rinunciò agli studi e alle ricerche di fisica riprendendo con l'abate Giuseppe Zamboni, suo vecchio maestro, alcuni esperimenti sui magneti, interessandosi alle osservazioni meteorologiche e al fenomeno della rugiada e ricevendo una medaglia d'oro dall'Ateneo di Brescia per le sue Ricerche sul termo-elettricismo dinamico, luci-magnetico ed elettrico.
La "parentesi filosofica" ebbe termine nella primavera del 1838 quando Zantedeschi venne chiamato a ricoprire la cattedra di fisica e matematica applicata al liceo di Santa Caterina di Venezia (ora noto come liceo classico "Foscarini").
Si dedicò a questo insegnamento con passione: egli stesso attesta che alle sue lezioni partecipavano addirittura sino ad 80 studenti.
Fu un periodo propizio anche per ricominciare con efficacia gli studi e le pubblicazioni su varie tematiche della fisica.
Nel luglio 1849, a seguito della morte di Antonio Perego, fino a quel momento titolare della cattedra di Fisica, Zantedeschi ottenne l'importante cattedra all'Università di Padova, cattedra mantenuta sino al 1857. Da qualche anno iniziò infatti a manifestare gravi problemi alla vista; venne privato della cattedra, la quale fu prontamente ceduta a Bernardino Zambra.
Zantedeschi avvertì tale privazione come un'ingiustizia alla quale non volle rassegnarsi; tentò pure di appellarsi al Governatore Generale, l'Arciduca Ferdinando Massimiliano, ma senza esito.
In ogni caso, oltre all'insegnamento, durante gli anni trascorsi a Padova il fisico si dedicò a far restaurare svariati apparecchi dell'Università e ne fece costruire di nuovi, valendosi dell'abile opera di Angelo Sonda, meccanico alle sue dipendenze, come pure di collaboratori esterni.
Zantedeschi continuò ad interessarsi alla fisica sino a quasi la fine della sua vita, occupandosi di temi svariati.
Sono infatti numerosi i suoi scritti fino al 1870 (l'elenco totale delle sue pubblicazioni comprende oltre 250 scritti).
Successivamente sopravvenne un declino fisico accentuato, che lo costrinse in letto.
Il fisico italiano esalò l'ultimo respiro, a Padova, il 29 marzo 1873.
Due anni più tardi le sue ceneri vennero traslate a Verona, nel pantheon "Ingenio claris" del cimitero.
A Dolcè, suo paese natale, è stata murata una lapide con un suo busto in bronzo all'interno del palazzo municipale, nel 1914.
Il Comune di Verona gli ha dedicato anche una strada nel 1960.
Durante la sua vita fu socio di numerose accademie e società scientifiche rilevanti, tra cui anche l'Accademia delle Scienze di Torino dal 1837, e l'Accademia dei Lincei dal 1849.
Bene, è giunto il momento di focalizzarci sulla fisica e in particolar modo sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz.
Per una piena comprensione della suddetta equazione e delle vicende ad essa legate è tuttavia necessario prima compiere una breve premessa sugli aspetti essenziali del magnetismo, argomento che non abbiamo mai avuto modo di trattare esplicitamente su questo blog.

MERAVIGLIE MATEMATICHE: LO SPAZIOTEMPO DI MINKOWSKI

La matematica è spesso fonte di stupore e meraviglia.
Pochi mesi fa abbiamo per esempio osservato (cliccate qui) come singolari forme geometriche quali le pseudosfere possano ispirare spettacolari costruzioni artistiche.
In questo post analizzeremo (nel modo più semplice possibile, ma comunque rigoroso) una meraviglia matematica meno appariscente, ma sicuramente dotata di grande fascino: lo spaziotempo di Minkowski.
I concetti di spazio e tempo sono sempre stati al centro di riflessioni filosofiche e scientifiche.
Se ricordate, ne parlammo un po' nel post intitolato "Spazio e Tempo: Le "forme a priori" della conoscenza".
Abbiamo anche avuto modo di ospitare, proprio qui su Scienza e Musica, un Carnevale della Fisica dedicato allo spazio (cliccate qui) e un Carnevale della Letteratura dedicato al tempo (cliccate qui).
Per introdurre lo spaziotempo per bene dobbiamo compiere una piccola premessa.
Sapete bene che nel 1905 Albert Einstein diede alla luce la sua teoria della relatività ristretta (o speciale).
Qualcuno ricorderà anche che la base matematica della suddetta teoria è fondata sulle cosiddette trasformazioni di Lorentz (chi non ricordasse bene può leggere qui).
Ricordiamo poi che la relatività ristretta assume 2 postulati fondamentali:

1) l'invarianza di forma delle leggi fisiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2) la luce si propaga (nel vuoto) a velocità costante (denotata con c), indipendentemente da quale sia lo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

Le conseguenze fondamentali di tutto ciò sono 3:

1) la relatività della simultaneità;
2) la contrazione delle lunghezze;
3) la dilatazione dei tempi.

Rinfreschiamo brevemente cosa significano tali concetti.
Quando parliamo normalmente di eventi simultanei, pensiamo chiaramente ad eventi che accadono nello stesso istante temporale.
Ciò è palesemente corretto nell'ambito della fisica classica newtoniana.
Il problema sorge quando si considerano velocità abbastanza vicine a quella della luce.
Supponiamo infatti ci sia un osservatore S, fermo, inerziale, che stia osservando due eventi simultanei:






Adesso però supponiamo ci sia un osservatore S' (sempre inerziale) in movimento rispetto ad S lungo l'asse x con velocità costante V.
Per quest'ultimo, sulla base delle trasformazioni di Lorentz, le coordinate dei 2 eventi saranno:
Primo evento













Secondo evento













ove γ è naturalmente il fattore (o termine) di Lorentz, esprimibile esplicitamente attraverso la relazione:

Avrete notato che per l'osservatore S' tra i 2 eventi risulterà una differenza temporale pari a:





Ecco perché si parla di relatività della simultaneità: eventi simultanei per un osservatore (inerziale) non lo sono per un altro!
La simultaneità è dunque relativa per i sistemi di riferimento inerziali.
Se consideriamo il caso in cui V sia davvero molto piccola comparata alla velocità della luce c, avremmo che:







e pertanto ritroveremmo la simultaneità della fisica classica.
Se andassimo invece a considerare la velocità V davvero vicinissima a quella della luce, l'intervallo temporale misurato da S' tenderebbe ad infinito.
È inoltre palese che gli eventi risultano simultanei per entrambi gli osservatori anche nella teoria della relatività quando x₁ = x₂.
L'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta è la contrazione delle lunghezze (o contrazione di Lorentz-Fitzgerald): il risultato della misura della lunghezza L di un corpo da parte di un osservatore mobile S (con velocità V) è inferiore alla lunghezza L₀ che S' misura nel sistema di riferimento a riposo del corpo considerato.




















La formula alla base del fenomeno è:





Una roba abbastanza simile accade per quanto concerne il tempo: la dilatazione dei tempi.
In particolare, la misura della separazione temporale (t₂' - t₁') tra 2 eventi da parte di un osservatore mobile fornisce intervalli di tempo più lunghi rispetto ad un osservatore solidale con l'orologio.
La legge matematica che sta alla base del fenomeno è:




La prima diretta evidenza sperimentale della dilatazione dei tempi si è manifestata con gli esperimenti di rilevazione dei muoni prodotti nella fasce esterne dell'atmosfera terrestre, ad opera dei raggi cosmici.
I muoni sono particelle elementari che fanno parte, assieme all'elettrone, al tauone e al neutrino, della famiglia di particelle chiamata dei leptoni.
Inoltre sono particelle dotate di spin semintero (di spin abbiamo parlato un po' qui), dunque sono classificate come fermioni.
La loro peculiarità più interessante in tal contesto è data però dal fatto che sono particelle altamente instabili, che decadono dando vita ad altre particelle, con un tempo di dimezzamento di circa




tempo questo misurato nel sistema di riferimento a riposo dei muoni.
Nel 1941 un rilevatore posto sul monte Washington, nel New Hampshire, a circa 1850 metri rispetto al livello del mare, misurò un flusso di circa 570 muoni all'ora.
Gli scienziati inizialmente pensarono che posizionando il rilevatore ad altitudini inferiori si sarebbe dovuto riscontrare un flusso meno intenso.
Si stimava che a livello del mare si sarebbe dovuto riscontrare un flusso di circa 35 muoni all'ora.
ATTENZIONE: se ne osservarono ben 400 di muoni all'ora!
Perchè tale enorme disparità rispetto a quanto si pensava? Come potevano essere sopravvisuti così tanti muoni in un viaggio decisamente lungo se confrontato alla loro vita media?
La risposta sta nel fatto che nel sistema di riferimento dei muoni il tempo trascorso è assai minore a quello misurato da un osservatore solidale con la Terra.
Abbiamo dunque osservato brevemente le conseguenze fondamentali della teoria della relatività ristretta.
Addentriamoci ora nel nocciolo della questione: lo spaziotempo.

BOLTZMANN, LA DISTRIBUZIONE CANONICA E QUELLA DI MAXWELL-BOLTZMANN (1° PARTE)

Nel mese di marzo siamo soliti celebrare il pi greco con post che lo riguardano da vicino, dato che si festeggia il pi day (14 marzo).
Ad esempio, in passato abbiamo parlato, qui su Scienza e Musica, di:

- pi greco in relazione con la formula di Stirling e le torte nuziali;
- pi greco e i calcoli di Newton;
- storia del pi greco,

 e sul Tamburo Riparato di:

- pi greco e il problema delle lenzuola.

Ora non tratteremo di pi greco in maniera diretta, bensì analizzeremo un concetto fisico importante in cui esso fa capolino: la distribuzione di Maxwell-Boltzmann.
Prima di incominciare tale narrazione inerente alla termodinamica statistica, andiamo a introdurre brevemente la figura di Ludwig Eduard Boltzmann.
Non sappiamo bene perché Gottfried Ludwig Boltzmann, nato a Berlino nel 1770, si trasferì da giovane a Vienna per divenire un produttore di carillon.
Qui si sposò ed ebbe un figlio, Ludwig Georg, che diventò un esattore delle tasse e sposò Maria Pauernfeind, figlia di un mercante di Salisburgo, nel 1837.
Il maggiore dei loro figli, Ludwig Eduard Boltzmann, nacque a Vienna il 20 febbraio 1844.
La notte della sua nascità segnò la transizione dal martedì grasso al mercoledì delle ceneri e Boltzmann era solito affermare che la sua data di nascita spiegava perché il suo umore poteva improssivamente passare dall'immensa gioia alla profonda depressione.
Due anni più tardi venne alla luce un secondo bambino, Albert, che purtroppo morì di polmonite nel periodo in cui frequentava la scuola secondaria.
Ludwig aveva anche una sorella, Hedwig; i 3 fianciulli vennero battezzati e crebbero sotto la religione cattolica, professata dalla loro madre, mentre il padre era protestante.
L'educazione elementare di Boltzmann ha avuto luogo nella casa dei genitori sotto l'egida di un insegnante privato.
Il salario del padre era piuttosto carente, ma veniva compensato dal ricco patrimonio della madre.
Boltzmann trascorse gli anni giovanili in piccole città di provincia quali Wels e Linz.
Si dimostrò uno studente provetto e mostrò una grande passione per la matematica e le scienze.
Egli imputò la deteriorazione della sua vista, diventata decisamente grave negli ultimi anni della sua vita, ai lunghi pomeriggi spesi a studiare al lume di candela.
A Linz prese anche lezioni di piano dal compositore Anton Bruckner, lezioni bruscamente interrotte quando la madre si lamentò che il maestro aveva gettato sul letto l'impermeabile bagnato.
Nonostante ciò, Boltzmann continuò a suonare il piano durante il resto della sua vita, coltivando così la propria abilità e facendosi spesso accompagnare da suo figlio Arthur Ludwig al violino.
Il padre di Boltzmann morì di tubercolosi quando questi aveva compiuto solamente 15 anni.
Il tragico evento lasciò un segno indelebile sul resto dell'esistenza del ragazzo.
A 19 anni Ludwig si iscrisse all'Università di Vienna per studiare matematica e fisica.
L'Istituto di Fisica era stato fondato 14 anni prima nientemeno che da Christian Doppler, noto per il celebre effetto Doppler (ne abbiamo parlato brevemente qui).
Qui Ludwig ebbe come maestro Josef Stefan, famoso per i suoi studi relativi alla radiazione di un corpo nero.
3 anni dopo la sua iscrizione all'università, Boltzmann ottenne il PhD (avendo tra l'altro all'attivo già 2 pubblicazioni rilevanti).
E la tesi?
Potrà sembrare strano, ma non era prevista la progettazione di alcuna tesi di laurea nei corsi di filosofia (naturale) dell'Università di Vienna prima del 1872-73.
Nel 1867 Boltzmann divenne assistente universitario e fece amicizia con uno studioso più anziano, Joseph Loschmidt (1821-1895), che fu in seguito tra i primi a fornire valori numerici sulle grandezze molecolari.
Nel 1869 Boltzmann ottenne la cattedra di fisica matematica a Graz, tuttavia si trattenne ben poco in quella città.
Tra il 1869 e il 1871 passò infatti un periodo di tempo a Heidelberg e a Berlino, con Kirchhoff e con Helmholtz.
Una volta Boltzmann disse riguardo a Helmholtz: "Riguardo ad alcuni problemi posso parlare solo con una persona, e quella persona è Helmholtz, ma è troppo distante".
Nel 1873 Ludwig non poté resistere alla tentazione di accettare una cattedra a Vienna come professore di matematica.
Essere un professore a Vienna veniva ritenuto in Austria il massimo obiettivo raggiungibile in una carriera accademica.
Egli rimase lì fino al 1876, dopodiché decise di ritornare a Graz per insegnare fisica sperimentale.
Boltzmann era ormai ben conosciuto e diversi giovani fisici brillanti, tra cui Walther Nernst e Svante Arrhenius (i futuri maggiori esponenti della chimica fisica), si recarono a Graz per studiare con lui.
Nel 1890 Boltzmann si trasferì a Monaco, in un ambiente assai più ampio di quello di Graz, ma pure in tal caso non si trattò di uno spostamento definitivo.
Infatti, nel 1894 prese il posto di Stefan a Vienna.
Successivamente andò a Lipsia per 2 anni, poi ritornò ancora a Vienna, ove rimase sino alla morte.
In un periodo di sconforto, a Lipsia aveva tentato di suicidarsi, ma era sopravvissuto.
Tuttavia il 5 settembre 1906, durante una vacanza a Duino, vicino a Trieste, l'atto di suicidio si concretizzò: si impiccò, ponendo fine alle sue sofferenze fisiche e mentali.
I continui trasferimenti di Boltzmann ci fanno intuire qualcosa a proposito del suo carattere.
Costui andava soggetto a periodi di scoraggiamento, che in alcuni casi si aggravavano diventando veri e propri stati depressivi.
Sebbene fosse riconosciuto come uno dei maggiori fisici del suo tempo, a volte si sentiva, ingiustificatamente, isolato e intellettualmente abbandonato da tutti.
Eppure di grossi riconoscimenti ne aveva ricevuti.
Poteva vantare svariate lauree ad honorem, compresa quella di Oxford, era membro delle maggiori accademie e, in occasione del suo sessantesimo compleanno, fu onorato con una Festschrift contenente contributi di eminenti personalità come:

- Arrhenius;
- van't Hoff;
- Lorentz;
- Mach;
- Nernst;
- Planck;
- Sommerfeld;
- van der Waals;
- Wien e molti altri.

Pur essendo, in fondo all'anima, un fisico teorico, Boltzmann viene ricordato anche per accuratissime misure della costante dielettrica e dell'indice di rifrazione di gas e di solidi.
Ma la sua attività sperimentale veniva ostacolata dalla già accennata grave miopia.
Sempre dal punto di vista caratteriale, egli era estremamente sensibile agli attacchi sul piano intellettuale.
Si offendeva facilmente, ma ciò non deve far pensare che non fosse capace di battagliare in aspre polemiche per far valere la sua ragione.
Per esempio, fece rilevare senza pietà gli errori di Wilhelm Ostwald, il quale caldeggiava la dottrina sballata dell'energetica, ma mantenne sempre rapporti personali cordiali con quest'ultimo.
Nel corso della sua carriera Boltzmann redasse svariati articoli: arrivava a volte a pubblicarne pure 3 o 4 in un anno, oltretutto lunghi e colmi di complessi calcoli (aspetto dei suoi lavori che spaventava i lettori).
Ecco per esempio cosa scriveva in proposito Maxwell al suo amico Tait:

"Pur studiando Boltzmann non sono riuscito a capirlo. Egli non può capirmi a causa della mia brevità, ma la sua lunghezza è parimenti uno scoglio per me: ragion per cui sono molto portato a unirmi alla gloriosa compagnia di coloro che procedono diversamente e a sistemare l'intera faccenda in circa sei righe".

D'altra parte Boltzmann nutriva una profondissima ammirazione (senza voler esagerare, potremmo dire un culto) per Maxwell, sin da quando il suo maestro viennese Stefan gli aveva dato da studiare gli articoli di Maxwell sull'elettricità e una grammatica inglese come ausilio nella lettura.
Questa ammirazione assunse talvolta persino toni poetici.
Infatti, quando il fisico austriaco elaborò una delle prime esposizioni della teoria elettromagnetica (1891-1893), contribuendo validamente alla diffusione delle teorie maxwelliane sul continente europeo, scelse come epigrafe del testo una citazione da Goethe: War es ein Gott der diese Zeichen schrieb? ("È forse un Dio che ha scritto questi simboli?").
Goethe si riferiva a degli incatesimi magici, invece Boltzmann alle equazioni di Maxwell!
Come noto, sul monumento eretto a Vienna in onore di Boltzmann è incisa la celebre formula descrivente l'entropia S


la quale, per la meccanica statistica, ha lo stesso ruolo magico che le equazioni di Maxwell svolgono per la teoria elettromagnetica.
È giunto il momento di illustrare uno dei maggiori contributi di Boltzmann alla meccanica statistica, cioè le distribuzioni che prendono il suo nome.
Incominciamo la trattazione spiegando cosa si intenda innanzitutto per fisica statistica e proseguendo con l'illustrazione di concetti necessari alla comprensione delle distribuzioni in questione.
Avvisiamo il lettore non esperto che d'ora in avanti la narrazione sarà ricca di formule, in cui si dà per scontato la conoscenza di certi strumenti matematici illustrati in vecchi post.