domenica 9 maggio 2021

DIRICHLET E IL PRINCIPIO DELLA PICCIONAIA

Il tema portante del prossimo Carnevale della Matematica, l’edizione n.150, che sarà ospitata da Paolo Alessandrini sul blog Mr. Palomar, è “animali”.
Abbiamo già avuto modo di vedere, qui su Scienza e Musica, alcuni collegamenti del mondo animale con la matematica, come per esempio i famosi conigli di Fibonacci (cliccate qui), e sul Tamburo Riparato avevo parlato di “cavallucci marini in geometria”, ovvero degli spidron (cliccate qui).
Oggi parleremo di piccioni e, in particolare, del cosiddetto principio della piccionaia.
Prima di scoprire cosa diavolo sia tal principio, vorrei introdurre l’importante personaggio matematico che, nel 1834, si occupò di questo singolare concetto: Dirichlet.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nacque il 13 febbraio 1805 a Düren, in Germania, un luogo tranquillo sulle rive del fiume Ruhr, ove il padre dirigeva l’ufficio postale.

La sua famiglia paterna proveniva in particolare dal villaggio di Richelle, presso Liegi, in Belgio, da cui derivò il cognome "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelle" = "il ragazzo di Richelle”).
Quando la famiglia cominciò a crescere di numero divenne infatti necessario distinguere alcune generazioni di Dirichlet dalle altre.
Si incominciarono ad usare appellativi come il sopracitato per indicare i nuovi membri e distinguerli dal nonno, il vecchio Dirichlet.
Nonostante al momento della nascita di Peter Gustav esistesse ancora il vecchio Sacro Romano Impero Germanico, la città di Düren risultava occupata dal 1794 dalle truppe rivoluzionarie francesi, che l’avevano convertita in una delle principali città francesi della zona, sino alla loro espulsione definitiva nel 1814.
Dopo la vittoria degli alleati, durante il Congresso di Vienna (1814-1815), venne stabilito che Düren, come il resto del territorio di lingua tedesca ubicato sulla sponda sinistra del Reno, fosse ceduta al regno di Prussia.
In tal modo gli abitanti di questa città (e quindi anche la famiglia Dirichlet) e di altre importanti città vicine, come Bonn e Colonia, smisero di essere francesi e diventarono prussiani.
La famiglia di Johann Peter Gustav era colta e benestante, aspetto che consentì al giovane di avere accesso ad una formazione di certo non alla portata di tutti in quell’epoca.
La scuola primaria prussiana si mostrò insufficiente per le necessità del bambino, che venne iscritto dai genitori ad una scuola privata ove potette ricevere una certa istruzione anche in latino, che risultava fondamentale come preparazione per la scuola secondaria, il Gymnasium.
Tuttavia il suo rapporto con la lingua latina, all’epoca la lingua fondamentale per le pubblicazioni scientifiche, non era (e non sarà mai) dei migliori e ciò rappresentò la sua più grande debolezza in ambito scientifico. Se il latino gli risultava noioso, lo stesso non si poteva dire della matematica, per la quale Dirichlet sviluppò ben presto una grandissima passione.
Nemmeno 12enne spendeva già le mance ricevute nell’acquisto di testi di matematica.
Questo comportamento risultava così poco diffuso tra i ragazzi della sua età da risultare strano e ritenuto quasi nocivo da qualcuno, al punto che alcune persone tentarono di spiegargli che si trattava di acquisti assurdi e al di fuori della sua portata, in quanto non avrebbe potuto mai comprendere quei libri e sarebbe stato meglio conservare il denaro per altre spese.
Il caparbio bambino rispose che avrebbe letto i libri sino a quando non sarebbe stato capace di comprenderli.
Di fronte ai buoni risultati che Dirichlet otteneva nei suoi studi e al potenziale mostrato dalle sue capacità, i genitori decisero, nel 1817, di iscriverlo al Beethoven Gymnasium di Bonn.
I Dirichlet si trasferirono per un breve periodo col figlio a Bonn, dove contattarono un conoscente di famiglia, il teologo e filosofo Peter Joseph Elvenich (1796-1886), allora un brillante studente di filosofia e lingue antiche, cattolico come loro, al quale affidarono la supervisione del loro figlio minore.
Una volta risolte le questioni di vitto e alloggio, i genitori fecero ritorno alla loro casa, lasciando che il figlio si incamminasse per la sua strada da solo.
È vero, Bonn si trova a poche decine di chilometri da Düren, ma dovete tuttavia pensare al fatto che a quei tempi non vi erano treni che collegassero le 2 città e dunque l’impatto psicologico della separazione dai genitori per un bambino di 12 anni fu enorme in un contesto simile.
Nonostante tutto, il soggiorno a Bonn fu davvero piacevole e proficuo. In tale ambiente il ragazzo poté sviluppare, oltre alla propria cultura, una personalità gentile ed educata, che gli consentì di legare facilmente con le altre persone e guadagnarsi rapidamente il loro favore.
Nel 1820 Dirichlet entrò nel Gymnasium gesuita della vicina città di Colonia, dove coltivò i suoi interessi per la matematica e per la storia, con particolare riferimento al periodo della Rivoluzione Francese.
A Colonia ebbe inoltre la fortuna di incontrare Georg Simon Ohm (1789-1854), all’epoca professore al Gymnasium, ma che sarebbe diventato celebre per le leggi che portano il suo nome inerenti alla corrente elettrica.

Grazie alla spinta intellettuale di Ohm e al suo talento, Dirichlet, nonostante la sua giovane età, arrivò a conseguire un bagaglio di conoscenze matematiche incredibilmente ampio.
Rimase un solo anno nel Gymnasium di Colonia, dopo il quale ottenne il suo diploma e smise di frequentare le lezioni.
Di ritorno a casa a Düren, i genitori cercarono di convincerlo affinché i suoi studi si indirizzassero verso il diritto, studi che gli avrebbero garantito una professione redditizia e una elevata posizione sociale, a differenza della matematica, che lo avrebbe condotto con maggiore probabilità ad attraversare difficoltà economiche e a non avere un lavoro stabile.
Dirichlet comprendeva bene il punto di vista dei suoi genitori, ma non riusciva a separarsi dalla matematica.
Acconsentì dunque di incominciare gli studi di diritto, ma lasciò intendere loro che l’avvocatura sarebbe stata solo un mezzo per guadagnarsi il suo sostentamento e che avrebbe in ogni caso continuato anche i suoi studi di natura matematica.
Va messo in evidenza che studiare matematica in Germania in quel periodo non era affatto semplice.
L’unico matematico tedesco di fama mondiale era il mitico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ma nel 1807 costui aveva accettato il posto di professore di astronomia nell’Osservatorio di Gottinga, ove rimase tutta la sua vita, dedicandosi fondamentalmente a studi di astronomia, geodesia e matematica applicata.
Per di più a Gauss non piaceva insegnare; in questa fase della sua vita riteneva che il livello dei suoi alunni fosse eccessivamente basso, pensiero critico che non faceva nulla per nascondere.
In Francia l’ambiente matematico risultava di livello assai superiore: all’Università di Parigi tenevano corsi alcuni tra i migliori matematici di sempre: Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy, solo per citarne qualcuno.
Non a caso Parigi era considerata la capitale mondiale della matematica in quel periodo.
Alla fine i genitori di Dirichlet si convinsero a supportare pienamente la passione per la matematica del figlio, ma la Prussia non poteva appunto offrire le condizioni ottimali che servivano al giovane.
Presero pertanto la decisione di mandarlo a Parigi; nel maggio 1822 il matematico si trasferì nella Ville Lumière e portò avanti i suoi studi nel Collège de France e nella Facoltà delle Scienze, ove ebbe la possibilità di assistere alle conferenze di personalità del calibro di Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette e Louis-Benjamin Francoeur.
Non si conoscono troppi dettagli sul soggiorno di Dirichlet a Parigi, ma è ben noto che oltre ad assistere alle lezioni e a prepararsi sulle materie ordinarie, si focalizzò in uno studio sistematico della famosa opera Disquisitiones arithmeticae (pubblicata nel 1801) di Gauss, grazie alla copia che sua madre gli aveva fatto recapitare a Parigi nel novembre del 1822.

Questo testo rappresentava per Dirichlet quasi un’ossessione, tanto che si dice lo tenesse permanentemente sulla sua scrivania.
Addirittura, secondo il geologo tedesco Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1809-1876), Dirichlet portava con sé la sua copia delle Disquisitiones arithmeticae in tutti i suoi viaggi, così come i sacerdoti portavano con loro il libro di preghiere!
Ironia (o forse no!) della sorte è che lui stesso sarebbe diventato il vero successore di Gauss, anche se inizialmente non si poteva immaginare un successo di tal portata.
Infaticabile, Dirichlet lesse e rilesse il libro svariate volte durante la sua vita, sino a quando non riuscì ad assimilarlo totalmente, apprezzandone ogni minima sfumatura, un po’ come una persona “normale” è sovente fare con il proprio libro/film/serie preferita, con la differenza che qui si tratta di un’opera matematica di altissimo livello.
Mettiamola così, Dirichlet arrivò a conoscere quest’opera di Gauss meglio di casa sua!
Scherzi a parte, finalmente nell’estate del 1823 gli venne offerta un’opportunità di lavoro che gli avrebbe permesso di smettere di dipendere dall’appoggio economico dei genitori.
Infatti il noto generale francese Maximilien Sébastien Foy (1775-1825), eroe delle Guerre Napoleoniche, stava cercando un professore in grado di impartire lezioni di lingua e letteratura tedesca ai suoi figli.
Dirichlet fu raccomandato alla famiglia Foy da un amico comune, conoscente dei suoi genitori e vecchio compagno d’armi del generale.
Il nuovo incarico implicava un carico di lavoro piuttosto modesto, che gli liberò del tempo utile da dedicare agli studi.
Dirichlet si sentì presto a suo agio nell’ambiente accademico parigino e cominciò a collaborare con alcuni dei suoi professori.
La sua prima vera opera di natura accademica fu una traduzione in francese di un articolo inerente all’idrodinamica scritto da Johann Albert Eytelwein (1764-1849), un ingegnere specializzato in idraulica, oltre che professore universitario a Berlino.
Anche se si trattava di un’impresa meno rilevante rispetto a pubblicare un proprio lavoro originale, Dirichlet si sentì molto orgoglioso di tale traduzione e questa rappresentò il primo piccolo ma importante passo che lo trasformerà man mano in un gigante della matematica.
Bisognò aspettare il 1825 per avere la pubblicazione del primo lavoro scientifico originale di Dirichlet, un’opera intitolata Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquème degré, che fu subito accolta con grande entusiasmo nell’ambiente scientifico.
Si trattava di un contributo strettamente legato al celebre ultimo teorema di Fermat il quale, come dovreste ben sapere, afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione




Osserviamo gli interessanti fatti che precedettero tale pubblicazione.
All’epoca si sapeva che l’equazione di Fermat aveva soluzione per gli esponenti interi n = 1 ed n = 2 e si era riusciti a dimostrare che fosse irrisolvibile per n = 3 ed n = 4.
Date queste premesse, Dirichlet si focalizzò sul caso p = 5 (la lettera p denota che ci si sta riferendo ad un numero primo dispari), ossia sull’analizzare la possibile esistenza di soluzioni intere per l’equazione




con A numero intero costante.
Dirichlet studiò l’equazione per vari valori di A e riuscì a confermare che, come congetturato, essa non ammette soluzioni per nessuno di tali valori interi, escluse quelle banali.
Dopo questi test, decise di porre la sua attenzione sulla vera e propria equazione di Fermat con le quinte potenze, cioè




sulla quale lavorò senza sosta finché non pervenne ad una dimostrazione che provasse l’impossibilità della sua risoluzione in numeri interi.
Il lavoro compiuto dal giovane matematico venne così ben accolto al punto che Dirichlet ottenne addirittura il permesso di esporlo ai membri dell’Accademia delle Scienze francese.
L’11 giugno 1825 costui tenne la sua prima conferenza senza che avesse ancora pubblicato alcuna opera e senza essere in possesso di un titolo universitario!
La presentazione fu un successo e la dimostrazione, seppur parziale, sarebbe stata completata più avanti dallo stesso Dirichlet e da Legendre.
I successivi lavori di Legendre e Dirichlet generalizzarono infatti la dimostrazione per coprire tutti i casi possibili (sino alla quinta potenza).
Dirichlet non abbandonò facilmente la problematica del teorema di Fermat; infatti nel 1832, mentre cercava di dimostrare il caso per n = 7, provò la mancanza di soluzioni per n = 14.
Insomma quello dell’ultimo teorema di Fermat fu un dilemma che affascinò i matematici e che perdurò sino al definitivo approccio di Andrew Wiles nel 1994 (pubblicazione della dimostrazione nel 1995).
Alla morte del generale Foy, nel novembre 1825, Dirichlet non riuscì a trovare un altro lavoro che gli permettesse di sostenere le spese in Francia e fu costretto a tornare in Prussia.
Tuttavia Fourier e Poisson lo presentarono al geografo, astronomo, umanista, naturalista ed esploratore tedesco Alexander von Humboldt (1769-1859), il quale, potendo contare sul fatto di essere alla corte di re Federico Guglielmo III di Prussia, nutriva il desiderio di rendere Berlino un centro d’eccellenza nella ricerca scientifica.
Dunque von Humboldt offrì immediatamente tutto il suo supporto al giovane matematico, che ottenne (non con poco sforzo) così, a partire dal 1827, una cattedra all’Università di Breslavia (nell’attuale Polonia).
Va specificato che siccome non aveva superato la dissertazione di dottorato, Dirichlet presentò la sua memoria sul teorema di Fermat come tesi all’Università di Bonn, ma la sua scarsa padronanza del latino lo rese incapace di sostenere la richiesta di pubblica discussione della sua tesi.
L’Università decise alla fine di aggirare il problema assegnandogli un dottorato honoris causa nel febbraio 1827.
Sempre con l’aiuto di von Humboldt, Dirichlet si trasferì a Berlino nel 1828, ove incominciò ad insegnare nell’Accademia Militare il 1 ottobre di quell’anno. Ben presto venne nominato professore all’Università di Berlino ove rimase dal 1828 al 1855.
Nel 1829 Dirichlet pubblicò la sua nota relazione Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (“Sulla convergenza di serie trigonometriche che servono per rappresentare una funzione arbitraria tra alcuni limiti dati”), in cui illustrava una chiara definizione del concetto di funzione, che sarebbe diventata quella standard nei libri di testo.
Infatti va detto che per tanto tempo i matematici non avevano avvertito la necessità di trovare una definizione generale, dato che generalmente lavoravano con funzioni particolari in diversi ambiti di ricerca.
Non entreremo qui nei dettagli, ma diciamo solo che il matematico focalizzò il proprio lavoro sulle funzioni discontinue e fu anche il primo a fornire un esempio di una funzione definita nell’intervallo [0,1] che è discontinua in tutti i suoi punti e che espose in modo che f(x) risulta definita come 0 se x è razionale e come 1 se x è irrazionale”.
Sì, questa appena citata è proprio la funzione nota come funzione di Dirichlet, in simboli definita come segue (in verità è più comune scriverla a parti invertite rispetto a quanto segue):






Tale funzione è di fondamentale importanza anche perché rappresenta l’esempio chiave di una funzione che non risulta integrabile secondo Riemann ma risulta integrabile secondo Lebesgue.
Avremo modo magari in futuro di parlare della teoria di Lebesgue dell'integrazione e capire un po’ meglio questa affermazione; per ora fidatevi. ;)
Nel 1831 fu poi nominato membro dell’Accademia Prussiana delle Scienze di Berlino e divenne in tal modo, a soli 27 anni, il membro più giovane di quella prestigiosa Accademia.
Gli anni a Berlino furono tra i più felici nella vita del matematico sia da una prospettiva professionale sia da quella privata.
Von Humboldt ebbe il ruolo cruciale di presentare a Dirichlet colei che sarebbe diventata la donna della sua vita.
In quel periodo, nella capitale prussiana, scienziati, umanisti, economisti, artisti, politici e militari erano soliti riunirsi regolarmente in grandi saloni al fine di socializzare e scambiare idee ed opinioni.
Fu così che von Humboldt portò Dirichlet nella casa dei Mendelssohn Bartholdy, un vero e proprio punto di riferimento per l’élite culturale di Berlino.
Ecco, questo cognome non dovrebbe risultare nuovo agli appassionati di musica classica.
Stiamo proprio parlando della famiglia Mendelssohn che ha dato i natali al famoso compositore Felix Mendelssohn (1809-1847) e a sua sorella Fanny (1805-1847), altra straordinaria compositrice e pianista, purtroppo meno nota al grande pubblico del fratello, ma non di meno talento!
Cogliamo l’occasione per ascoltare l’eccezionale Allegro molto agitato di Fanny Mendelssohn, tratto dalla sua Piano Sonata in G minor, interpretato da Heather Schmidt.

Meno conosciuti furono i fratelli più piccoli, ovvero Paul e Rebecca.
Quest’ultima si innamorò di Dirichlet e la coppia convolò a nozze nel maggio del 1832.
Il matrimonio comportò in un certo senso dello scompiglio; infatti, sempre nel 1832, Gauss aveva deciso di nominare Dirichlet come successore del suo defunto collega, il matematico Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832) a Gottinga, ma non appena seppe la notizia delle nozze, cancellò immediatamente i suoi propositi, giacché pensò che Dirichlet non sarebbe stato disposto, a quel punto, ad abbandonare Berlino.
Il 2 luglio 1833 la felice coppia ebbe il primo figlio, Walter.
Il nonno materno, Abraham Mendelssohn Bartholdy, ricevette la lieta notizia della nascita durante un viaggio di commerci a Londra.
In una lettera nella quale si congratulava con sua figlia Rebecca, non poté fare a meno di ammonire il genero asserendo: “Non mi congratulo con Dirichlet, almeno non per iscritto, poiché ha avuto il coraggio di non scrivermi una sola parola, perfino in questa occasione; almeno avrebbe potuto scrivere 2 + 1 = 3”.
Dirichlet ebbe un importante amico per tutta la vita: il matematico Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).



I 2 studiosi si erano conosciuti nel 1829 durante un viaggio a Halle.
A quei tempi Jacobi occupava una cattedra a Königsberg, ma si recava spesso a visitare la sua famiglia a Potsdam, vicino a Berlino, e talvolta sfruttava tali occasioni per vedersi con Dirichlet e conversare con lui sui più disparati problemi matematici.
Avevano dei caratteri totalmente opposti; Jacobi era estroverso, vivace, ingegnoso e talvolta anche brusco, mentre Dirichlet era più raffinato, introverso e riservato, ma ciò non impedì alla loro amicizia di perdurare per sempre.
Nel 1843 Jacobi si ammalò gravemente e i medici, dopo avergli diagnosticato il diabete mellito, gli consigliarono il massimo riposo.
In particolare, gli venne consigliato di trascorrere del tempo in Italia dove il clima lo avrebbe aiutato a riprendersi.
Tuttavia Jacobi non era un uomo ricco e Dirichlet, dopo aver fatto visita all’amico e aver scoperto la sua situazione, scrisse a von Humboldt chiedendogli di aiutarlo a ottenere assistenza finanziaria per Jacobi da Federico Guglielmo IV di Prussia.
Il sovrano acconsentì e Dirichlet ottenne un congedo da Berlino per 18 mesi per poter partire, nell’autunno 1843, per l’Italia insieme a Jacobi e al matematico tedesco Carl Wilhelm Borchardt (1817-1880), alunno di Dirichlet e dottorando di Jacobi, che finì per diventare professore all’Università di Berlino.
Ad essi si unirono altri 2 grandi matematici svizzeri, Jakob Steiner (1796-1863), colui noto per il teorema sui momenti d’inerzia in assi paralleli (teorema di Huygens-Steiner) e anch’egli affetto da problemi di salute, e Ludwig Schläfli (1814-1895), uno degli ideatori della geometria multidimensionale, assieme a Cayley e Riemann, ma che in quell’occasione fece da interprete per il gruppo di illustri matematici.
Dopo essersi fermati in diverse città e aver partecipato a una riunione di matematica a Lucca, il gruppetto di intellettuali giunse a Roma il 16 novembre 1843.
Dirichlet non rimase a Roma per tutto il periodo, ma visitò la Sicilia e poi trascorse l’inverno 1844/1845 a Firenze prima di tornare a Berlino nella primavera del 1845.
Come detto, egli rimase come professore all’Università di Berlino sino al 1855, anche se negli ultimi anni non celava le sue lamentele per il carico di lavoro troppo pesante che era costretto a sopportare.
Infatti in una lettera al suo allievo Kronecker mostrò il suo malcontento per dover sostenere ben 13 lezioni alla settimana oltre a numerosi altri doveri.
Fu quindi leggermente sollevato quando, alla morte di Gauss nel 1855, gli fu offerta la sua cattedra a Gottinga.
Non accettò immediatamente l’offerta di Gottinga, ma la sfruttò per cercare di ottenere condizioni migliori a Berlino; tuttavia le sue richieste non vennero accolte celermente, il che lo spinse alla fine ad accettare di diventare il successore di Gauss a Gottinga.
La vita più tranquilla a Gottinga sembrava più confacente al bisogni di Dirichlet. Aveva più tempo per la ricerca e poteva contare su alcuni studenti ricercatori di livello eccezionale.
Questa serenità non durò purtroppo a lungo; nell’estate del 1858 tenne una conferenza a Montreux, ma mentre si trovava nella città svizzera ebbe un attacco di cuore.
Ritornò a Gottinga, con le maggiori difficoltà, e dovette assistere alla tragedia della morte della moglie per colpa di un ictus.
Dopo diversi mesi dal triste evento, anche Dirichlet esalò l’ultimo respiro il 5 maggio 1859 a Gottinga.
Il suo cervello è conservato nel dipartimento di fisiologia dell’Università di Gottinga, assieme al cervello di Gauss.
L’Accademia di Berlino lo onorò con un discorso commemorativo formale presentato da Kummer nel 1860, e in seguito ordinò la pubblicazione delle sue opere raccolte a cura di Kronecker e Lazarus Fuchs.
Bene, dopo questo interessantissimo excursus biografico, è giunto finalmente il momento di parlare del principio della piccionaia (qualche volta chiamato pure principio della colombaia).
Ricordiamo che esso venne rigorosamente spiegato da Dirichlet nel 1834, ma egli si riferì ad esso come Schubfachprinzip, ovvero “principio dei cassetti”
In verità è possibile trovare un riferimento a tal concetto che risale a ben 2 secoli prima, nello specifico in un libro del 1624 attribuito a Jean Leurechon. Infatti, nel 2014, Rittaud Benoît e Albrecht Heeffer hanno pubblicato un articolo su The Mathematical Intelligencer, intitolato The pigeonhole principle, two centuries before Dirichletin cui resero evidente tale precisazione storica. 
In ogni caso, il principio divenne famoso con il contributo formale fornito da Dirichlet.
La denominazione “principio della piccionaia” si deve invece al matematico statunitense Raphael Mitchel Robinson (1911-1995), che la utilizzò nel 1940 in un importante periodico del settore.
Detto in parole povere, il principio stabilisce che se ci sono m casette di piccioni ed n piccioni, allora si può affermare con certezza che, se n > m, almeno una casetta ospiterà più di un piccione!
Vediamo una bella rappresentazione visiva tratta da Wikipedia:



















Apparentemente quanto detto sembra qualcosa di stupidissimo, ma ha avuto svariate applicazioni, che vanno dalla compressione dei dati informatici sino a problemi concernenti insiemi infiniti tra cui non si può stabilire una corrispondenza biunivoca.
Inoltre, il suddetto principio venne generalizzato ad applicazioni probabilistiche, cosicché se n piccioni vengono distribuiti casualmente in m casette, con una probabilità uniforme di 1/m, allora almeno una casetta ospiterà più di un piccione con una probabilità di






Per n = 0 e per n = 1 (con m > 0) tale probabilità è nulla, mentre per n > m è 1, coincidendo così con il tradizionale principio della piccionaia.
Una piccola nota: fate attenzione a non far riferimento al principio della piccionaia con la denominazione “principio di Dirichlet”, perché con quest’ultimo generalmente ci si riferisce ad un importante contributo dell’illustre matematico con applicazioni nella teoria del potenziale (abbiamo parlato brevemente di questo argomento qui).
Scrive infatti Umberto Bottazzini nel testo di storia della matematica Il flauto di Hilbert:
 
“I metodi variazionali di Gauss ebbero un’importanza enorme per gli sviluppi della teoria del potenziale, ricondotta ad essere un ramo particolarmente significativo del più generale calcolo delle variazioni. Alle idee di Gauss si ispirò Dirichlet nei corsi sulla teoria del potenziale, che tenne a Gottinga dove era stato chiamato alla morte di Gauss nel 1855. Nelle Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte (Lezioni sulle forze agenti secondo l’inverso del quadrato della distanza), pubblicate postume nel 1876, Dirichlet prendeva le mosse dalle legge newtoniana di gravitazione per introdurre poi il concetto di potenziale e le sue proprietà, le applicazioni al problema dell’attrazione degli ellissoidi e alla teoria dell’elettricità e del magnetismo terrestre. Egli affrontava poi, analogamente a Gauss, il problema di dimostrare che esiste sempre una distribuzione di particelle su una superficie chiusa tale che il potenziale in ogni punto della superficie assuma un valore prefissato. Dirichlet traduceva esplicitamente la questione fisica in termini matematici: si trattava allora di provare che «c’è sempre una e una sola funzione u di x,y,z per un dominio chiuso arbitrario, che è continua insieme alle sue derivate di prim’ordine, che internamente al dominio soddisfa l’equazione Δu = 0 e che assume in ogni punto della superficie un valore dato» (Dirichlet 1876, 127). La via seguita per risolvere il «problema di Dirichlet» era analoga a quella suggerita da Gauss: «il compito di trovare quella funzione u non è risolubile», osservava Dirichlet; si poteva «solo parlare di una dimostrazione di esistenza. Quest’ultima non presenta alcuna difficoltà»…Questo procedimento dimostrativo — che si richiamava direttamente a Gauss, ma che ancora oggi è noto col nome di «principio di Dirichlet» attribuitogli da Riemann — fu all’epoca largamente adottato nelle dimostrazioni di esistenza nella teoria dell’equazione di Laplace e nei campi ad essa intimamente collegati. Ispirandosi alle idee di Gauss, allo stesso «principio» ricorreva nel 1847 Lord Kelvin nei suoi primi lavori in cui dimostrava l’esistenza di una soluzione per l’equazione di Laplace applicata a problemi di idrodinamica e teoria dell’elettricità e del magnetismo.E ancora quel «principio» svolgeva un ruolo essenziale nella teoria delle funzioni di variabile complessa che in quegli stessi anni andava elaborando Bernhard Riemann (1826-1866).”

Specifichiamo che il simbolo Δ usato da Bottazzini in tal contesto si riferisce al laplaciano, che invece, su questo blog, siamo soliti denotare col simbolo ∇ ².
Dopo questo doveroso excursus sul contributo di Dirichlet alla teoria del potenziale, torniamo al simpatico principio della piccionaia.
Illustriamo un semplice esempio che ne fa uso e che porta ad un risultato abbastanza controintuitivo.
A causa del suddetto principio, ci devono essere almeno 2 persone a Roma (o qualunque città preferiate, è solo un esempio!) con lo stesso numero di capelli in testa. Non ci credete?












Procediamo nel seguente modo ad una sorta di dimostrazione. Sappiamo che una persona ha in media 150 mila capelli e Roma ha più di 1 milione di abitanti.
È ragionevole ipotizzare che nessun abitante di Roma abbia più di 1 milione di capelli.
Proviamo ora a immaginare i capelli come le casette dei piccioni e le persone come piccioni e di preparare un gigantesco schedario avente un milione di cassetti.
Il principio garantisce che troveremo sempre almeno 2 persone da classificare nello stesso cassetto, ossia con lo stesso numero di capelli.
Attenzione però perché, nel 2014, un gruppo di scienziati guidati dal fisico israeliano Yakir Aharonov (Premio Wolf per la fisica nel 1998 e celebre per l'effetto Aharonov-Bohm) ha dimostrato, in un articolo intitolato The quantum pigeonhole principle and the nature of quantum correlations, che (almeno) in meccanica quantistica il principio dei cassetti può essere violato!
Per maggiori dettagli vi rimando al post di Marco Malaspina su MEDIA INAF (cliccate qui).
Naturalmente quanto abbiamo detto sulla figura di Dirichlet non è, per ovvie ragioni, esaustivo, dato l'ampio numero di contributi che la sua mente brillante è riuscita a produrre nel corso della sua vita.
Prima di passare alla conclusione del post, è doveroso però sottolineare (dato che non l'abbiamo fatto per non disperderci troppo nel racconto biografico) che Dirichlet fu anche il fondatore di quel settore della matematica noto come teoria analitica dei numeri, il quale, come lascia immaginare la denominazione, si occupa di problemi di teoria dei numeri facendo uso di strumenti dell'analisi matematica.
In particolare, il matematico fu in grado di dimostrare, sfruttando la potenza dell'analisi matematica, l'esistenza di infiniti numeri primi in una qualsiasi progressione aritmetica, risultato spesso chiamato teorema di Dirichlet, da egli provato nel 1835 con l'introduzione delle cosiddette L-serie di Dirichlet; il teorema costituisce una naturale estensione del famoso teorema di Euclide sull'infinità dei numeri primi.
Vorrei concludere il lungo post con un po’ di musica.
Parlando di piccioni vi aspettereste forse che vi linkassi il video della canzone (vincitrice del Festival di Sanremo 2006) di Giuseppe Povia dal titolo Vorrei avere il becco che intona “Più o meno come fa un piccione…”, ma qui su Scienza e Musica difficilmente siamo così scontati e vi segnalo invece Skyline Pigeon (Piano Version), letteralmente “piccione all’orizzonte”, di Elton John, quello che è generalmente considerato il primo (in ordine cronologico) grande brano dello straordinario cantautore britannico.
La versione originale (con accompagnamento di clavicembalo) risale al 1968 e fu contenuta, come ottava traccia, nell’album Empty Sky dell’anno seguente, mentre la versione (con accompagnamento di pianoforte) da ascoltare qui sotto risale al 1972 e venne distribuita come B - Side di Daniel nel 1973.

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Fonti essenziali:

- Dirichlet. Il concetto moderno di funzione (collana Geni della matematica, RBA) di José Carlos Varela Peña
- Il libro della matematica di Clifford A. Pickover
- Il flauto di Hilbert di Umberto Bottazzini

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