LA FISICA DIETRO CERTI EVENTI ESTREMI: L'EQUAZIONE DI CLAUSIUS-CLAPEYRON

Negli ultimi anni sentiamo parlare sempre più spesso di “eventi estremi”: alluvioni improvvise, uragani intensi, ecc.

Immagine tratta da: bit.ly/4rFDdJU

È naturale chiedersi se dietro questa intensificazione ci sia solo variabilità climatica o anche una legge fisica precisa. 

La risposta passa per un’equazione formulata nell’Ottocento: l'equazione di Clausius-Clapeyron, che stabilisce come la quantità massima di vapore acqueo nell’aria cresca con la temperatura. E cresce in modo quasi esponenziale. 

Prima di capire i dettagli di ciò abbiamo tuttavia bisogno di spiegare il concetto fisico di calore latente.

Tutti abbiamo un'idea basilare riguardante i cambiamenti di stato; sappiamo per esempio che l'acqua può solidificare in forma di ghiaccio o evaporare come vapore acqueo.

Immagine tratta da: bit.ly/4axsKts

Ci sembrano per lo più fenomeni abbastanza banali, ma in realtà lo studio delle transizioni di fase (termine più generale e rigoroso per esprimere lo stesso concetto) può essere anche estremamente complesso.

Analizzare alcune tipologie di transizioni di fase richiede infatti strumenti matematici avanzati, tra cui il funzionale di Ginzburg-Landau e il gruppo di rinormalizzazione di Wilson.

Non vi spaventate: qui ci interessano per fortuna solo le cosiddette transizioni di fase del primo ordine, le quali coinvolgono appunto un calore latente.

Giusto per completezza, diciamo che esistono anche transizioni di fase del secondo ordine (ad es. la transizione ferromagnetica e la transizione superfluida), che non sono associate ad alcun calore latente.

LA SPAGHETTIFICAZIONE

Il 6 dicembre 2024 è uscita la versione early access del videogame Path of Exile 2 (abbreviato PoE2), il sequel di un famoso action RPG.

Si potrebbe a lungo parlare della relazione tra PoE e la matematica, dato che per esempio il gigantesco albero delle abilità (skill tree) presente sia nel gioco originale che nel suo sequel potrebbe essere analizzato dal punto di vista della teoria dei grafi, la cui origine risale ad un articolo scritto da Eulero nel lontano 1736. 

Skill tree in PoE2.

Ma in questo post non ci focalizzeremo su questo aspetto, ma su un preciso nodo di quel monumentale skill tree che ci connette direttamente anche alla fisica moderna! Di seguito l'immagine che lo descrive.

Trattasi di un nodo piuttosto potente ed utile, specialmente nelle build che si appoggiano su un altro nodo assai significativo chiamato "Chaos Inoculation". Quest'ultimo è un nodo che infatti consente di rendersi immune a qualsiasi fonte di danno di tipo chaos (rendendo quindi quel malus -13% alla resistenza al chaos di Spaghettification totalmente insignificante) a patto di portare la vita del personaggio ad un valore pari a 1, cosa decisamente fattibile se le difese del personaggio che si sta portando avanti vengono basate su altre meccaniche come l'energy shield oppure il mana.

Io stesso ho infatti inserito (tramite un procedimento detto "instilling") il nodo Spaghettification sull'amuleto del mio Gemling Legionnaire, amuleto che potete ammirare qui di seguito.

Ma cosa diavolo significa spaghettificazione in fisica?

Per capirlo abbiamo bisogno di riferirci alla famosa relatività generale di Einstein, una teoria datata 1915 e che descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo (avevamo parlato un po' in dettaglio di spaziotempo qui). 

Le equazioni fondamentali della suddetta teoria sono le equazioni di campo di Einstein:

Esse mettono in relazione la geometria dello spaziotempo (1° membro della formula sopra riportata, in cui per semplicità abbiamo omesso la presenza della celebre costante cosmologica) e la distribuzione di materia-energia (2° membro dell'equazione).

Analizzare in modo dettagliato l'aspetto tecnico di tali equazioni (sottolineiamo che il plurale è d'obbligo, anche se la formula riportata è singola, perché in modo esplicito quella formula rappresenta un sistema di ben 10 equazioni differenziali alle derivate parziali) va ben oltre lo scopo divulgativo di questo post.

Ci basti qui sapere che sussistono 2 modi fondamentali per provare a risolvere tali complicate equazioni: 1) sfruttando specifiche simmetrie 2) facendo uso dell'analisi numerica (cioè usando approssimazioni).

La più semplice soluzione non banale che conosciamo è certamente la metrica pubblicata nel 1916 da Karl Schwarzschild, ossia in simboli:

Qui abbiamo assunto il caso specifico di simmetria sferica (immaginate per esempio la geometria al di fuori di una stella sferica) nel vuoto (ossia il 2° membro delle equazioni di campo di Einstein è 0).

La metrica di Schwarzschild è utile per descrivere buchi neri statici (cioè non rotanti, a differenza dei buchi neri di Kerr) che non posseggono una carica elettrica. Per gli scopi del post ci accontenteremo di considerare solo la "semplice" metrica di Schwarzschild, un modello matematico ideale, ma tenete ben presente che i reali buchi neri astrofisici sono decisamente non statici.  

Quando la coordinata radiale $r$ è uguale a $2GM/c^2$, ovvero al cosiddetto raggio di Schwarzschild (generalmente indicato con $r_s$), ciò che stiamo descrivendo è l'orizzonte degli eventi della situazione.

Attenzione: $r = r_s$ è una singolarità apparente, non una singolarità fisica (mentre $r = 0$ è davvero una singolarità fisica, dunque qui la curvatura diventa infinita).

La chiamiamo apparente (in inglese "coordinate singularity") perché tale singolarità è presente solo in specifici sistemi di coordinate (nel nostro caso quello di Schwarzschild).

Se infatti immaginiamo un raggio di luce che si avvicina al punto $r = r_s$ (si veda immagine qui sotto) nelle coordinate di Schwarzschild, sembrerebbe che esso non arrivi mai ad $r_s$, ma tutto ciò è solo una mera illusione!

Coni di luce nel sistema di coordinate di Schwarzschild.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.

 

La verità è che un raggio di luce non ha alcun problema nel raggiungere $r_s$, è semplicemente una questione di coordinate.

Difatti si potrebbero introdurre differenti sistemi di coordinate, come il sistema di Eddington-Finkelstein, ove la superficie $r = r_s$ risulta perfettamente regolare, ma globalmente rappresenta un punto di non ritorno giacché sappiamo che un orizzonte degli eventi è una struttura causale. 

Coni di luce nel sistema di coordinate di Eddington-Finkelstein.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019. 

Ora, dato che nulla (inclusa la luce) può fuggire dall'orizzonte degli eventi, non siamo in grado di vedere cosa c'è dentro!

In altre parole, stiamo definendo i buchi neri come regioni dello spaziotempo separate da $r = \infty$ (la cosiddetta regione asintotica) da un orizzonte degli eventi.

Se immaginiamo adesso di dirigerci vicino al centro di un buco nero, inizieremmo ad avvertire intense forze di marea.

Immagine tratta da https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_marea.

Nello specifico, riceveremmo uno stiramento verticale bilanciato da una compressione orizzontale, che porta gli oggetti ad assumere forme lunghe e sottili come quella degli spaghetti! Questo è appunto il processo noto come spaghettificazione.

Immagine presa da https://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification#. 

Si noti che una diversa massa dei buchi neri presi in considerazione andrebbe a condizionare notevolmente tale fenomeno poiché questo parametro influenzerebbe il punto in cui le forze di marea diventano rilevanti.

Infine, segnaliamo che recentemente, nell'articolo https://arxiv.org/pdf/2404.09381, sono state condotte svariate interessanti simulazioni inerenti a questo fenomeno.

Concludiamo in musica con un iconico pezzo dei Soundgarden, datato 1994, intitolato Black Hole Sun.

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Il post che avete letto è una versione estesa del thread che ho pubblicato in inglese il 2 dicembre 2024 su Bluesky.

LA LAGRANGIANA DI HEISENBERG-EULER E NUOVI SVILUPPI NELLA FISICA

Dato che in questo periodo sto lavorando alla mia tesi di laurea magistrale in fisica (percorso "fisica teorica e computazionale"), volevo provare a condividere con i lettori del blog una rapida panoramica storico-divulgativa dell'argomento nocciolo della tesi: la Lagrangiana di Heisenberg-Euler (e la corrispondente azione efficace).

Avevamo già introdotto brevemente il fondamentale concetto di Lagrangiana in fisica qui. 

La Lagrangiana di Heisenberg-Euler è uno dei primissimi concetti non banali sviluppati nell'ambito della cosiddetta elettrodinamica quantistica, spesso abbreviata come QED, ovvero la teoria quantistica del campo elettromagnetico, su cui Richard Feynman (1918-1988) non solo fornì contributi a dir poco essenziali, ma ci scrisse pure un testo divulgativo (pubblicato nel 1985), di brillante chiarezza, intitolato in italiano QED: La strana teoria della luce e della materia.

Tale Lagrangiana risale, nello specifico, ad un articolo pubblicato nel 1936 da Werner Karl Heisenberg (1901-1976), quello del celebre principio di indeterminazione, e dal suo studente di dottorato Hans Heinrich Euler (1909-1941), che potete visionare nella traduzione in inglese cliccando qui.

Ma quale fu il background storico che portò alla realizzazione di tale fondamentale articolo?

Beh, innanzitutto fu ovviamente fondamentale lo sviluppo della meccanica quantistica negli anni '20 del XX secolo da parte di figure come Schrödinger, Born, Pauli, lo stesso Heisenberg e diversi altri pilastri della fisica moderna.

E poi ci fu, nel 1928, la mitica equazione di Dirac e la conseguente scoperta del positrone (la prima antiparticella), di cui abbiamo parlato qui. 

Proprio in questo clima di grosso fermento culturale si cominciarono a gettare le basi per la QED, teoria che tuttavia presentava difficoltà assai spinose, ossia divergenze (in parole povere risultati infiniti che andrebbero rinormalizzati) che venivano fuori nei calcoli e che portarono inizialmente svariati fisici, tra cui persino Dirac, a non nutrire fede sul futuro della suddetta teoria.

Per farvi intuire il grado di complessità della questione, torniamo un attimo sull'equazione di Dirac

Ciò che l'equazione di Dirac esprime matematicamente in modo elegante, ma decisamente non banale, è l'elettrone visto come un pezzo di carica elettrica in un punto nel vuoto spaziale quantistico.

Il problema è che la realtà della QED è molto più complessa di questo "semplice" modello.

Infatti la QED prevede che l'elettrone sia in verità circondato da campi elettromagnetici, a cui bisogna pure aggiungere coppie di elettroni e positroni virtuali che emergono dentro e fuori dal vuoto (un fenomeno in gergo tecnico chiamato polarizzazione del vuoto, dimostrato sperimentalmente nel 1997 dall'acceleratore di particelle TRISTAN in Giappone).

Pertanto ciò che i fisici sperimentali interpretano come massa dell'elettrone non è quella dell'elettrone "nudo" descritto dall'equazione di Dirac, bensì il risultato dell'interazione del suddetto col proprio campo elettromagnetico e con questa bizzarra polarizzazione del vuoto.

Giungiamo all'anno 1934, anno in cui Heisenberg, prima con lettere scritte a Pauli e Weisskopf, poi con un articolo, Remarks on the Dirac theory of the positron, arriva a formulare qualcosa di molto vicino ad una QED rinormalizzata (poi effettivamente realizzata da altri studiosi alla fine degli anni '40).

Insomma, in questa atmosfera decisamente tesa, Heisenberg propone al suo studente Euler di studiare, come argomento di tesi, lo scattering di 2 fotoni facendo uso di un particolare formalismo (quello della matrice densità) che egli aveva perfezionato per la QED nell'articolo poco fa menzionato.  

Oltre a ciò, Euler lavorò, assieme ad un altro degli studenti di Heisenberg, Bernhard Kockel (1909-1987), ad una analisi dell'ampiezza di scattering fotone-fotone nel limite di bassa frequenza.

Tale studio servì in particolare a mostrare che il vuoto quantistico possa essere visto come un mezzo (teoricamente rilevabile in laboratorio, ma nella pratica tale rilevazione risulta assai complicata) e che le relazioni tra campi elettrici e magnetici fossero non lineari in questa teoria.

Tutto ciò aprì la strada al lavoro sopramenzionato di Heisenberg ed Euler del 1936, nel quale pervennero a quella che oggi chiamiamo proprio in loro onore Lagrangiana di Heisenberg-Euler (d'ora in poi li abbrevieremo con H-E), un oggetto matematico formidabile, capace di fornirci tante informazioni nell'ambito della teoria quantistica dei campi, e che in forma compatta si può esprimere come segue.

 

Non entreremo nei dettagli della discussione e derivazione di tale formula, che vanno ben al di là degli scopi divulgativi di questo post.

Ciò su cui vorrei invece soffermarmi è una recente sorprendente scoperta, riportata da Gies e Karbstein in un articolo (lo trovate cliccando qui, per chi fosse interessato a leggerlo) pubblicato nel 2017, inerente a tale Lagrangiana e alla corrispondente azione efficace.

In parole povere, Gies e Karbstein hanno constatato che, quando si va ad analizzare un'espansione a loop della Lagrangiana di H-E, risultano non nulli dei contributi (i cosiddetti "1PR contributions", dove 1PR sta letteralmente per "one-particle reducible") che prima si riteneva invece svanissero considerando campi elettromagnetici costanti!

Immagino che chiunque abbia più o meno idea di cosa sia un loop in un contesto generico. Interi episodi di serie tv (da Star Trek a Streghe, da Supernatural ad Agents Of S.H.I.E.L.D., da Russian Doll a Triage e tante altre) per esempio sono dedicati a situazioni in cui i personaggi si risvegliano ogni giorno nel medesimo giorno in cui accadono le stesse cose, i cosiddetti loop temporali, cercando disperatamente di uscire fuori da questo ciclo infinito.

Bene, nell'ambito della teoria quantistica dei campi, i loop sono raffigurazioni (spesso di forma circolare) all'interno dei diagrammi di Feynman che costituiscono correzioni quantistiche (matematicamente espresse da integrali sui momenti) rispetto alla teoria classica dei campi (cioè quella in cui la famosa costante ℏ tende a 0).

Il più semplice esempio di loop in tale contesto si ritrova nel tadpole (letteralmente "girino"), il cui diagramma di Feynman riportiamo qui di seguito nella rappresentazione tratta da Wikipedia.

 

 

Ciò che hanno riscontrato Gies e Karbstein nello specifico è che, andando a valutare l'azione efficace di H-E a 2 loop, viene fuori un risultato rappresentabile come segue.

 

Questo significa che, all'ordine correttivo di 2 loop, l'azione efficace di H-E viene fornita da un contributo 1PI (letteralmente "one-particle irreducible"), cioè irriducibile, che visualizziamo a sinistra del "+", e da un contributo 1PR, che possiamo vedere a destra del "+".

Vi potreste magari chiedere perché il primo contributo è chiamato irriducibile, mentre il secondo è detto riducibile.

Beh la risposta è piuttosto semplice. Potete facilmente notare, osservando i due diagrammi, che se proviamo a tagliare il secondo (quello a destra) con una linea immaginaria nel mezzo otterremmo 2 diagrammi ancora sensati, mentre nel caso del diagramma 1PI siamo impossibilitati a compiere questo "taglio" (non si può spezzare un loop a metà!).

Come già detto, il risultato ottenuto da Gies e Karbstein è davvero sorprendente poiché, fino alla pubblicazione del loro articolo, tutta la comunità dei fisici credeva che il contributo del diagramma 1PR sopra rappresentato fosse nullo, invece non lo è!

E ciò spalanca le porte per nuovi rilevanti studi.

Sempre nel 2017, infatti, Edwards e Schubert, nell'articolo (cliccate qui per leggerlo) One-particle reducible contribution to the one-loop scalar propagator in a constant field, non solo hanno derivato nuovamente il risultato di Gies e Karbstein per mezzo del cosiddetto worldline formalism (ne parlammo qui), riottenendo l'elegantissima formula

 

ma si sono spinti oltre andando a calcolare il contributo 1PR ad un loop nel caso del propagatore scalare.

E teoricamente, come sto facendo nella mia tesi, sempre mediante l'uso del worldline formalism, ci si può spingere ancora oltre, andando per esempio a considerare cosa succede ai contributi 1PR della Lagrangiana di H-E se invece dello scambio di fotone (particella di spin 1 rappresentata dalla linea ondulata nel diagramma di cui sopra) si considerasse per esempio lo scambio di uno scalare (particella il cui spin è pari a 0) o addirittura di un gravitone (particella ipotetica di spin 2 mediatrice dell'interazione gravitazionale, su cui recentemente ci sono stati sviluppi teorici in merito alla possibilità di rilevazione, come potete leggere qui)!

Insomma la bellezza della fisica sta anche nel fatto che non finisce mai di sorprenderci e impegnare le menti in una ricerca sempre più profonda della natura delle cose.

Per rimanere in tema gravità, concludiamo in musica con una splendida performance di Gravity, canzone di John Mayer del 2006, nella cover di Clark Beckham e Yebba.

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Fonti essenziali per i dettagli storici:

- QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga di S. S. Schweber

- The Infinity Puzzle. Quantum Field Theory and the Hunt for an Orderly Universe di F. Close

- Early Quantum Electrodynamics: A Source Book di A. I. Miller.

IL PARADOSSO DI BERTRAND

Tra i grandi problemi della matematica c'è sicuramente il paradosso di Bertrand (così denominato da Poincaré).

Esso fu formulato per la prima volta dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) nella sua opera, datata 1889, intitolata Calcolo delle probabilità.

Immaginiamo di possedere 3 scatole identiche, ciascuna avente 2 scompartimenti ed una medaglia inserita in ciascuno di essi.

Supponiamo che:

- cassa n.1: contiene 2 medaglie d'oro;

- cassa n.2: contiene 1 medaglia d'oro ed 1 d'argento;

- cassa n.3: contiene 2 medaglie d'argento.

Scegliendo una scatola a caso ne consegue ovviamente che la probabilità che i compartimenti della scatola selezionata contengano medaglie diverse è 1/3.

Ma ci si potrebbe anche chiedere quale sia la probabilità che nel secondo scompartimento della scatola vi sia una medaglia diversa dal primo scompartimento.

Ingenuamente si potrebbe immaginare che il primo scompartimento, per esempio, contenga una medaglia d'oro, dunque il secondo una d'oro o d'argento, con relativa probabilità pari a 1/2, il 50%, come quella del lancio di una moneta.

Tuttavia tale soluzione è sbagliata (la soluzione corretta è 1/3)! Perché?

Beh, non abbiamo stabilito che vi sia equiprobabilità tra i casi possibili.

In altre parole, gli errori a cui ci conducono tali ingenue argomentazioni si devono al fatto che non abbiamo definito sin dal principio in modo rigoroso lo spazio campionario, ovvero l'insieme totale dei risultati per un esperimento aleatorio.

Da Wikipedia osserviamo la seguente buona rappresentazione del problema appena descritto (il cosiddetto paradosso delle 3 scatole di Bertrand, spesso introdotto come paradosso delle 3 carte) con la richiesta opposta (cioè la probabilità di trovare una medaglia dello stesso tipo).

Il suddetto esempio è davvero uno standard nella teoria della probabilità, tanto che la soluzione risulta intimamente legata ai cosiddetti assiomi di Kolmogorov, per la cui spiegazione vi rimando a Wikipedia. 

Analoghe fallacie si manifestano se l'esperimento di natura aleatoria che stiamo analizzando non è correttamente definito e può quindi essere interpretato in modi diversi, risultando decisamente ambiguo.

Quanto appena descritto rappresenta l'idea alla base del vero e proprio paradosso di Bertrand.

Tale paradosso è decisamente rilevante non solo in ambito puramente matematico ma anche nel mondo della fisica, in quanto ci mostra chiaramente l'ambiguità di alcune idee apparentemente intuitive spesso invocate a sproposito in ambito fisico.

Ad esempio sarebbe senza senso buttare a caso una frase del tipo "è naturale assumere che una densità di probabilità sia uniforme" senza una rigorosa spiegazione di natura fisica.

A tal proposito è di frequente utilizzo in ambito fisico il cosiddetto "principio di indifferenza" di Laplace, il quale viene definito dall'economista britannico John Maynard Keynes, in A Treatise on Probability (1921), come segue:

"If there is no known reason for predicating of our subject one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability".   

Il principio di indifferenza, volente o nolente, è stato usato efficacemente in una moltitudine di applicazioni, dal lancio di monete e giochi d'azzardo al conteggio delle configurazioni nella meccanica statistica. 

Ciò però non ha azzerato i dibattiti filosofici sulla sua applicabilità e correttezza; basti pensare proprio agli studi effettuati da Bertrand.

Scopriamo ora la versione originale del paradosso di Bertrand, di natura geometrica, che riportiamo nell'ottima descrizione effettuata da Boffetta e Vulpiani nel testo Probabilità in Fisica:

"Si consideri il problema: dato un cerchio di raggio unitario si disegni una corda a caso. Calcolare la probabilità che la lunghezza della corda sia maggiore di $\sqrt{3}$ (il lato del triangolo equilatero inscritto).

Prima risposta. Prendiamo un punto $P$ sul bordo del disco. Tutte le corde che partono da P sono parametrizzate da un angolo $\theta$, vedi Fig. 1.3a.

Se si vuole che la corda sia più lunga di $\sqrt{3}$ l'angolo $\theta$ deve essere compreso in un settore di 60 gradi in un intervallo di 180, quindi la probabilità è 60/180 = 1/3.

Seconda risposta. Consideriamo un punto $P$ su un raggio e la corda passante per $P$ e perpendicolare al raggio, vedi Fig. 1.3b. La corda è più lunga di $\sqrt{3}$ se il suo centro $P$ è nella parte interna (di lunghezza 1/2), quindi poiché il raggio è 1 la probabilità è 1/2.

Terza risposta. Se il centro della corda cade nel disco di raggio 1/2 allora la corda è più lunga di $\sqrt{3}$, vedi Fig. 1.3c, poiché l'area di questo cerchio è π/4 mentre l'area totale è π, la probabilità è 1/4.

Qual è la risposta giusta? Semplicemente la domanda è mal posta, perché “si disegni una corda a caso” è decisamente troppo vago, ed in ognuna delle tre risposte c'è un'assunzione nascosta che sembra naturale, ma è invece arbitraria. Nella prima si è assunto che l'angolo $\theta$ sia uniformemente distribuito, nella seconda che il centro della corda sia uniformemente distribuito sul diametro, mentre nella terza che il centro della corda sia uniformemente distribuito all'interno del cerchio."

In altri termini, si è constatato come non esista un unico metodo di selezione, pertanto non esiste un'unica soluzione! 

Abbiamo nello specifico 3 soluzioni rinvenute da Bertrand corrispondenti a 3 diversi metodi di selezione e, qualora non ci venga fornita alcuna informazione aggiuntiva, l'unica conclusione logica è che non c'è un metodo (e dunque una soluzione) migliore di un altro.

Abbastanza recentemente, nel 2014, Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de' Bianchi hanno pubblicato un paper (cliccate qui per leggerlo) nel quale hanno mostrato che il paradosso di Bertrand contiene in fin dei conti 2 problemi diversi: un problema "facile" ed uno "difficile"!

Il problema "facile" può essere risolto formulando la domanda di Bertrand in termini sufficientemente precisi, permettendo in tal modo una modellizzazione non ambigua dell’entità soggetta al processo aleatorio.

Dopodiché, una volta risolto il problema "facile", gli studiosi hanno mostrato che si spiana così la strada alla risoluzione del problema "difficile", a patto che il principio di indifferenza venga applicato non ai risultati dell'esperimento, bensì ai diversi possibili “modi di selezionare” un'interazione tra l'entità sotto indagine e quella che ha prodotto la randomizzazione.

Concludiamo riportando il bel video sul paradosso di Bertrand presente sul canale YouTube Numberphile. 

 

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Fonti essenziali:

- Probabilità in Fisica. Un'introduzione di Guido Boffetta e Angelo Vulpiani

- Kolmogorov. La dualità tra caos e determinismo di Manuel García Piqueras

- https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Bertrand

- https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_box_paradox

- Failure and Uses of Jaynes’ Principle of Transformation Groups di Alon Drory

- Solving the hard problem of Bertrand’s paradox di Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de' Bianchi

LA CATENA DI SPIN DI HEISENBERG E I SISTEMI INTEGRABILI: UNA “SEMPLICE” PANORAMICA

In questo post scopriremo l'importante catena di spin di Heisenberg e capiremo in generale cosa sia un sistema fisico integrabile.

Si tratta di argomenti matematicamente e fisicamente piuttosto avanzati, ma qui ci focalizzeremo solo sugli aspetti puramente essenziali e "semplici" e scopriremo gli interessanti dettagli storici attorno a tali concetti. I lettori interessati potranno approfondire gli aspetti maggiormente tecnici guardando i riferimenti segnalati in fondo al post.

Partiamo col dire che la catena di spin di Heisenberg è un modello quantistico costituito da una catena che consiste di un numero $L$ di siti. 

Ciascun sito, che denotiamo con $l$, contiene uno spin $s = 1/2$.

Uno stato di spin può essere rappresentato da $| \downarrow \rangle$ oppure da $| \uparrow \rangle$ o da una qualsivoglia combinazione lineare di questi due.

Catena di spin chiusa unidimensionale. Fonte: bit.ly/4b4uTMx
 

Nello specifico, infatti, la rappresentazione matematica di uno spin $s$ è data dalla semplice relazione:

La catena di spin di Heisenberg è l'esempio fondamentale delle cosiddette catene di spin integrabili.
Per capirci qualcosa dobbiamo prima comprendere cosa sia un sistema fisico integrabile.

Una definizione molto generale di sistema fisico integrabile è quella di un modello fisico che è risolubile in modo esatto, ovvero senza far ricorso a metodi di approssimazione.

Già Newton fu in grado per esempio di risolvere il cosiddetto problema di Keplero in modo esatto, ma per una prima formalizzazione di questo nuovo rilevante ambito di ricerca scientifico si dovette aspettare il XIX secolo con Joseph Liouville.

Il matematico francese fece infatti uso delle cosiddette "quadrature". In sostanza egli si rese conto che sistemi hamiltoniani (dunque siamo nell'ambito della meccanica classica) potessero essere risolti mediante l'uso di un numero finito di operazioni algebriche ed integrazioni.

Il culmine del suddetto studio è fornito dal cosiddetto teorema di Liouville-Arnold, per la cui spiegazione vi rimando direttamente a Wikipedia. 

A noi però interessa entrare nell'ambito quantistico, cioè comprendere in particolare se e quando una teoria quantistica dei campi (abbreviata QFT) possa essere integrabile.

Innanzitutto diciamo che esistono sì teorie quantistiche di campo integrabili, ma esse costituiscono un insieme assai limitato.

Infatti 2 sono le fondamentali peculiarità che una QFT deve avere affinché possa essere integrabile:

1) deve possedere un numero infinito di cariche conservate (qui ci limitiamo a dire che è qualcosa intimamente legato al famoso teorema di Noether);

2) deve essere definita in 1+1 dimensioni, cioè 1 temporale ed una spaziale.

Soffermiamoci un attimo su quest'ultimo punto giacché è assai rilevante e stuzzicante.

Una domanda lecita a questo punto infatti sarebbe: perché dobbiamo considerare proprio 2 dimensioni e non 3, 4 o un qualsivoglia numero?

La risposta risiede nel concetto di matrice S.

S sta per scattering (ne parlammo un po' qui). Cerchiamo qui però di indirizzare un po' meglio, a parole povere, il concetto nell'ambito della QFT.

Lo scattering è il processo di interazione tra varie particelle (ma anche antiparticelle).

Generalmente si definisce uno stato iniziale, ossia quello in cui troviamo le particelle prima che avvenga un'interazione fra loro, ed uno stato finale ove troviamo le particelle risultanti dall'interazione. Si veda a tal proposito la seguente figura.

Illustrazione di uno scattering 2 → 2. Il tempo scorre dal basso verso l'alto. Figura tratta da https://arxiv.org/abs/1607.06110.

Nella figura abbiamo appunto un esempio di scattering di 2 particelle che produce 2 particelle (nel semplice caso raffigurato trattasi di particelle tutte con la stessa massa). Nello specifico si vedono due particelle che costituiscono lo stato iniziale e contraddistinte dai momenti lineari $k_1$ e $k_2$, dopodiché avviene l'interazione, esplicitamente denotata dal cerchio, e infine lo stato finale formato da particelle aventi rispettivamente momenti $k_3$ e $k_4$.

L'oggetto matematico alla base della descrizione dell' interazione tra le particelle è proprio la matrice S, che è un operatore che va dunque a stabilire una mappa tra stato iniziale e stato finale.

In simboli, tale relazione si può esprimere nel seguente modo:

L'aspetto cruciale che caratterizza la matrice S in 1+1 dimensioni è la sua proprietà di "fattorizzabilità" non banale, ovvero il fatto che uno scattering di $n$ particelle che danno luogo ad $n$ particelle possa essere ricondotto ad un prodotto di "semplici" scattering $2 \rightarrow 2$.

Nel 1967 Sidney Coleman e Jeffrey Mandula pervennero ad un importantissimo risultato: il cosiddetto teorema di Coleman-Mandula, cioè un rilevante esempio di "teorema no-go" in fisica.

In tale contesto il suddetto teorema ci dice essenzialmente che se ci spingiamo in 3 o più dimensioni complessive, l'unico modo di avere una QFT integrabile, cioè di avere una matrice S fattorizzabile, è considerare teorie senza la presenza di interazioni fra particelle e con una matrice S banale, ossia equivalente alla matrice identità.

Pertanto, ciò che rende speciale il caso delle 1+1 dimensioni è proprio il fatto di poter considerare teorie che includano interazioni e che abbiano una matrice S avente forma non banale, generando così un intero campo di ricerca per gli studiosi.

PLUTO, L'ODIO-AMORE E L'EFFETTO PELTIER

Dopo Berserk e Banana Fish, ritorniamo nel mondo degli anime con un'analisi di alcuni dei temi presenti nell'opera in 8 episodi intitolata Pluto (di recente pubblicata su Netflix), tratta dall'omonimo manga di Naoki Urasawa (autore di altri capolavori fumettistici tra cui Monster), a sua volta ispirato da un altro celebre manga di Osamu Tezuka, ovvero Astro Boy.

Infatti Urasawa riprende una porzione della storia creata dal collega per narrarla come se fosse un intenso thriller (un marchio di fabbrica delle sue produzioni).

Una caratteristica particolare che sin da subito si può constatare riguardo all'anime Pluto è la durata degli episodi: non hanno il caratteristico minutaggio di poco più di 20 minuti, ma arrivano a durare intorno ad un'ora ciascuno.

Nonostante ciò, la narrazione scorre piuttosto bene, con svariati picchi di pathos nel corso dell'arco narrativo.

Ad una lettura semplicistica Pluto potrebbe sembrare semplicemente un thriller ambientato in un mondo dove coesistono umani e robot. Beh, è molto di più!

Un po' come accade più in breve nel meraviglioso film del 1999 L'uomo Bicentenario (interpretato dal mitico Robin Williams e tratto dall'omonimo racconto di Isaac Asimov), il tema principale non è tanto lo sviluppo incredibile del mondo della robotica (comunque ovviamente presente), ma una riflessione sul concetto di umanità, nel senso più profondo possibile della parola.

Cercheremo dunque, riducendo al minimo i possibili spoiler, di analizzare alcune delle tematiche presenti (mi concederò delle considerazioni personali, che potete condividere o meno, ma che spero vi invitino a riflettere seriamente sulle tematiche affrontate) e nel finale del post osserveremo anche come la fisica e la matematica facciano capolino all'interno del suddetto anime. 

Iniziamo sottolineando come un termine che sentirete/avete sentito ripetuto molte molte volte nel corso degli 8 episodi è "odio".

L'odio è un sentimento tipico degli esseri umani. Tutti prima o poi tendiamo a provarlo in maniera più o meno grande.

Possiamo "odiare" delle cose stupide, come per esempio una giornata di pioggia, un esame andato non come volevamo, una disconnessione durante una partita di un videogame online, il grosso ritardo di un mezzo di trasporto e così via.

Incrementando il grado di intensità di questo "odio", si potrebbe odiare la rottura di una relazione amorosa, la comparsa improvvisa di una grave malattia, la perdita del lavoro o in generale un serio evento spiacevole nella propria vita.

Ma ancora non ci siamo; l'odio profondo di cui narra Pluto è quello che nasce nei confronti dell'altro, verso il diverso (in questo caso i robot), verso ciò che non capiamo, o da una rabbia così divampante che offusca ogni tipo di razionalità e sensibilità, un odio spesso dettato da pregiudizi dannatamente ancorati, quello stesso odio che, nel caso più estremo, contribuisce a scatenare guerre, a scapito degli innocenti civili.

La seguente scena di circa 40 secondi sintetizza in pieno questo scomodo argomento.

Bastano infatti questi 40 secondi per richiamare immediatamente alla nostra mente l'attuale situazione di guerra, devastazione e sofferenza tra Israele e la Palestina, drammatico scenario in cui si aprono distanti e comode tifoserie sui media, come se stessimo assistendo ad una partita di calcio tra due squadre contrapposte, ma dove nel mezzo invece muoiono civili da ambo le parti, inclusi tanti bambini.

In guerra alla fine non vince mai veramente nessuno, sono solo tanti a perdere, è solo tanto il dolore che si accumula giorno dopo giorno. Sarebbe auspicabile che se proprio una parte dell'umanità non riuscisse a fare a meno di farsi la guerra, se la facesse sui videogame, non a scapito spesso di innocenti!   

Un tema questo che ritroviamo anche nella famosissima serie anime (in particolare nella quarta stagione) di Hajime Isayama L'attacco dei giganti (titolo originale Shingeki no kyojin, anche noto col titolo inglese Attack on Titan), ove c'è una stupida e radicata demonizzazione di popoli basata su atti compiuti in un remoto passato e spesso su pregiudizi scambiati ed inculcati per generazioni come certezze indiscutibili.

Riporto di seguito una citazione molto significativa da Attack on Titan in tal prospettiva.

 

E tornando nel concreto, è sufficiente spingersi indietro di circa un secolo per ritrovare nella nostra storia il culmine di questo odio accecante con l'avvento del nazifascismo.

Ogni categoria di persona, come ebrei, omosessuali, disabili (emblematica e dilaniante la scena, dal film Il pianista, dove un anziano sulla sedia a rotelle, impossibilitato ad alzarsi in piedi all'arrivo degli ufficiali tedeschi, viene gettato direttamente e freddamente fuori dalla finestra della sua abitazione). ecc. da ritenere inferiore, su cui scatenare l'odio sociale, su cui perpetrare le peggiori torture o uccidere senza alcun rimorso veniva contraddistinta da uno specifico simbolo (si trova qualcosa di simile pure nell'Attacco dei Giganti) all'interno dei campi di concentramento (cliccate qui per vedere la lista dei simboli dell'orrore nello specifico).

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Notiamo dunque che talvolta è sufficiente una semplice diversità (caratteristica intrinseca non solo dell'essere umano, ma della natura stessa) a innescare la discriminazione e l'odio, che sia per ragioni religiose, razziali, di cultura, di orientamento sessuale o altro non importa, la non contemplazione della diversità è uno dei meccanismi che innescano la propagazione dell'odio negli esseri umani.

Tutto ciò non è mai scomparso (e probabilmente mai scomparirà), anzi persino oggi certi personaggi pubblici si arrogano il "diritto di odiare", più precisamente di diffondere gratuitamente odio sociale, giustificandosi con considerazioni a loro parere "logiche", "statistiche" e "naturali" (come il fatto che una "minoranza", in quanto tale, non debba godere degli stessi diritti di una "maggioranza"), ma spesso fondate sulla più totale ignoranza e su una visione fredda e cinica della realtà.

A questi personaggi risponde indirettamente la splendida canzone di Brandi Carlile intitolata The Joke, che poi è anche parte della colonna sonora del film Joe Bell, tratto da una tragica storia vera di bullismo ed omofobia (leggete qui). 

 

Rilevante in tale direzione è anche una lucida citazione di Aldous Huxley, che riporto di seguito accompagnata dal suggestivo dipinto Inferno realizzato dalla Prof.ssa Annarita Ruberto, aka Nereide.

"That men do not learn very much from the lessons of history is the most important of all the lessons that history has to teach."
(Aldous Huxley from 'A Case of Voluntary Ignorance', in 'Collected Essays')

🎨'Inferno', mixed media on canvas.#scritturebrevi #ventaglidiparole pic.twitter.com/y0f6jcSGJZ

— Nereide (@Nereide) October 22, 2022

Riprendendo come esempio i robot, immaginate che noiosa sarebbe la società umana se fossimo tutti delle macchine fotocopia delle altre, senza alcuna diversità caratteristica (o comunque con una gamma ristretta di differenze), qualcosa che ci fa riconoscere, nel bene e nel male, immediatamente per quel che siamo.

Pensate a quanto la diversità sia per esempio essenziale in ambito musicale. Ogni strumento musicale ha il suo timbro caratteristico, che ci permette di riconoscere un pianoforte da un violino e da un sassofono, per non parlare della voce umana, che è ancora più variegata nelle sue sfumature.

E proprio con la musica al centro dell'attenzione parte Pluto!

IL MODELLO DI DRUDE: UNA BREVE SPIEGAZIONE DIVULGATIVA

Oggi parliamo di un modello molto importante per spiegare la conduzione elettrica: il modello di Drude.
Ho intenzione di presentarlo in una maniera puramente divulgativa, senza dunque approfondire nozioni e formule estremamente tecniche, in modo che anche il lettore non esperto di fisica possa farsi un'idea generale circa l'interessante argomento.

Prima di tutto specifichiamo che nella nostra breve narrazione ci soffermeremo sui metalli.

Tutti più o meno abbiamo un'idea di cosa sia un metallo, ma sareste in grado di darne una definizione fisicamente rigorosa in una singola frase?

Ve la fornisco io: i metalli sono materiali altamente riflettenti (della radiazione elettromagnetica) che presentano una banda elettronica parzialmente occupata.

Ok, cerchiamo di capire un po' meglio.

Innanzitutto osservate il seguente grafico, relativo nello specifico all'argento, tratto dal testo Optical Properties of Solids di Mark Fox.

Potete constatare come nella zona dell'infrarosso (dello spettro elettromagnetico) la riflettività sia altissima (quasi il 100%) e pure nella luce visibile essa resti elevata (sopra l'80%), mentre improvvisamente cala notevolmente nell'ultravioletto.

Ed attenzione perché questo andamento della riflettività non si riscontra solo nell'argento, ma è un andamento generale caratteristico di tutti i metalli convenzionali.

Benissimo, ma cosa significa invece banda elettronica parzialmente occupata?

Beh, quando entriamo nel contesto della fisica della materia condensata, siamo soliti classificare i materiali in 3 fondamentali categorie in base alla loro struttura in bande elettroniche: 

1) metalli;

2) isolanti;

3) semiconduttori.

Grazie a Wikipedia osserviamo a tal proposito la seguente immagine illustrativa.

Potete vedere chiaramente che negli isolanti e nei semiconduttori abbiamo uno spazio vuoto tra le bande (il cosiddetto "band gap") più o meno ampio; la banda più in basso (detta banda di valenza) è totalmente occupata da elettroni, mentre quella più in alto (banda di conduzione) potrebbe venir occupata grazie a meccanismi di eccitazione (non entreremo nei dettagli tecnici di questo fenomeno).

Nei metalli, al contrario, non abbiamo alcun band gap e, nello specifico, abbiamo una banda che si ritrova ad essere parzialmente piena di elettroni e parzialmente vuota!

Ottimo, ora potete dire ai vostri amici di sapere cosa sia davvero un metallo secondo la fisica!

Specifichiamo che l'elettrodinamica dei metalli è dovuta a 2 meccanismi diversi di transizione:

1) transizioni intrabanda: transizioni di elettroni che interessano solo la banda parzialmente occupata;

2) transizioni interbanda: transizioni di elettroni che interessano bande diverse.

Il modello di Drude è intimamente legato alla prima categoria di transizioni, che sono anche, in generale, le più rilevanti per un metallo, mentre le transizioni interbanda sono più interessanti quando parliamo di semiconduttori ed isolanti.

Altra cosa che va specificata sin da subito è che il modello di Drude è un modello classico, nel senso che non fa uso della meccanica quantistica! 

In verità una sua importante estensione, il cosiddetto modello di Drude-Sommerfeld, introdotto dal fisico tedesco Arnold Sommerfeld nel 1927, coinvolge la fisica quantistica (in particolare la statistica di Fermi-Dirac e il concetto di superficie di Fermi).

L'altro grande modello classico che cerca di illustrare concetti come la conducibilità elettrica e la funzione dielettrica (in particolare nel contesto delle transizioni interbanda) è il modello di Lorentz, proposto dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz in un articolo del 1909, basato sulla fantasiosa ma efficace idea di considerare gli elettroni alla stregua di oscillatori armonici smorzati (insomma molle!). 

Si guardi a tal proposito la seguente immagine illustrativa tratta da Wikipedia.

Ma torniamo al protagonista del nostro post, il modello di Drude.

Esso venne proposto dal fisico tedesco Paul Drude in un anno decisamente memorabile: il 1900.

Nel suddetto anno egli pubblicò infatti l'articolo denominato Zur Elektronentheorie der Metalle, pubblicazione che avvenne sulla prestigiosa rivista scientifica Annalen der Physik, sì proprio quella ove 5 anni dopo Einstein avrebbe rivoluzionato il mondo della fisica (e non solo) con magistrali contributi, tra cui l'introduzione della teoria della relatività ristretta.

Ma qual è l'ipotesi fondamentale alla base del modello di Drude?

Se per il modello di Lorentz tale ipotesi consiste nel considerare gli elettroni come molle, con Drude assumiamo invece che il nostro metallo sia un gas pieno di elettroni liberi e visti come particelle classiche, perfettamente distinguibili. 

Tali elettroni si muovono in modo casuale con una certa velocità lungo linee rette fino a quando non avvengono collisioni. Per semplicità il modello va ad ignorare qualsiasi altro tipo di interazione.

Immagine tratta da Wikipedia

Adesso viene il bello: immaginiamo di sottoporre il nostro gas di elettroni all'azione di un campo elettrico esterno.

Cosa succede? Innanzitutto abbiamo una variazione della quantità di moto (chiamata anche momento lineare) $\vec{p}$ del singolo elettrone nel sistema (ricordiamo che la quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità del corpo) dovuta al campo elettrico applicato $\vec{E}$.

Ma abbiamo pure un importante meccanismo di dissipazione di $\vec{p}$ dovuto alle collisioni di questi elettroni con impurezze/difetti cristallini, fononi, altri elettroni, ecc.

Volete un modo sintetico per esprimere tutto ciò? "Facile", basta ricorrere ad un po' di matematica.

Osserviamo infatti attentamente la seguente equazione del moto alla base del modello di Drude:

Chi è abituato al formalismo matematico tipico di questo blog sa bene che a sinistra dell'uguale abbiamo la derivata del momento lineare $\vec{p}$ rispetto al tempo.

Per chi non è avvezzo al calcolo infinitesimale, possiamo semplificare la questione asserendo che si tratta di una variazione nel tempo del momento lineare di un singolo elettrone che stiamo prendendo in considerazione.

A destra dell'uguale abbiamo innanzitutto la forza (nello specifico il termine $-e \vec{E}$, dove $e$ è la carica elettrica fondamentale, cioè quella dell'elettrone) che agisce sul nostro elettrone dovuta al campo elettrico esterno; poi abbiamo un altro termine, ossia $- \frac{\vec{p}}{\tau}$, che rappresenta una forza di attrito viscoso.

In particolare, $\tau$ è il cosiddetto tempo di rilassamento, cioè il tempo medio che intercorre tra 2 collisioni o, in altre parole, la quantità che governa il rilassamento del sistema verso l'equilibrio (condizione in cui la quantità di moto media è 0), dopo che è stato rimosso il nostro fattore perturbativo esterno (cioè il campo elettrico).

E chiaramente l'introduzione di un campo elettrico esterno ha conseguenze pure sulla velocità delle particelle.

Infatti si va a definire la cosiddetta velocità di deriva

dove $m$ indica la massa dell'elettrone.

La cosa importante da notare è che la suddetta velocità mantiene la direzione del campo elettrico $\vec{E}$ ma presenta verso opposto (specificato da quel segno $-$ nell'ultima equazione).

Con un po' di passaggi matematici, tra cui assumere il campo elettrico come alternato e ricordare la celebre legge di Ohm (generalizzata), grazie a tutte queste considerazioni uno può giungere alla quantità fisica protagonista del modello di Drude: la conducibilità elettrica $\tilde{\sigma}$.

Di seguito l'espressione matematica che la definisce:

Notiamo immediatamente che tale quantità è fornita dal prodotto della cosiddetta conducibilità in corrente continua, $\sigma_{dc}$, e di un termine frazionario che coinvolge la frequenza angolare $\omega$ relativa al campo $\vec{E}$, il tempo di rilassamento $\tau$ e l'unità immaginaria $i$ (cliccate qui per dettagli sull'unità immaginaria e i numeri complessi).

Nota per il lettore non esperto: a sinistra dell'uguale le parentesi tonde con dentro $\omega$ non indicano una moltiplicazione, ma semplicemente il fatto che la conducibilità $\tilde{\sigma}$ ha una dipendenza esplicita dalla frequenza $\omega$.

Tuttavia l'aspetto essenziale è il seguente: $\tilde{\sigma}$ è una quantità complessa, dunque scomponibile in una somma di una parte reale $\sigma_1$ e di una parte immaginaria $\sigma_2$, ovvero in simboli:

Ora chiaramente $\sigma_1$ e $\sigma_2$ possono essere espresse da precise relazioni matematiche, ma l'aspetto più interessante è osservare il comportamento di tali quantità rispetto alla frequenza.

A tal proposito guardate la seguente figura.

Fonte immagine: bit.ly/44Kk5yA 

Potete notare come la parte reale ed immaginaria della conducibilità elettrica siano rappresentate da curve diverse e, in particolare, se andiamo a vedere cosa succede quando la frequenza tende a 0, possiamo constatare che $\sigma_1$ tende ad un certo valore che è nient'altro che $\sigma_{dc}$, mentre $\sigma_2$ tende a 0.

Ottimo, ora avete un'idea generale di come si comporta la conducibilità elettrica nei metalli assumendo un modello ideale come quello di Drude.

Dovrebbe poi essere cosa nota che i metalli che sono buoni conduttori di elettricità siano pure buoni conduttori di calore (pensate per esempio all'utilizzo delle pentole con fondo in rame nella cucina).

Ebbene, grazie al modello di Drude-Sommerfeld è possibile dimostrare matematicamente (state tranquilli, non lo faremo qui) una legge sperimentale, scoperta nel 1853, che mette in relazione la conducibilità elettrica $\sigma$ e la conducibilità termica $\kappa_T$: la legge di Wiedemann-Franz.

Nella sua forma più semplice e compatta essa si presenta nel modo seguente:

$\frac{\kappa_T}{\sigma} = LT$

Qui $T$ denota ovviamente la temperatura, mentre $L$ è il cosiddetto numero di Lorenz (scoperto da Ludvig Lorenz nel 1872), una quantità indipendente dal tipo di metallo che viene considerato nelle misurazioni.

A mo' di conclusione, vorrei far notare come nel 2006 un duo di scienziati, Martin Dressel e Marc Scheffler, abbia condotto un'interessante verifica moderna della validità del modello di Drude.

Di seguito l'abstract dell'articolo, pubblicato non a caso su Annalen der Physik. 

Cerco di riassumervi in poche e semplici parole gli aspetti cruciali del suddetto articolo.

Innanzitutto i 2 scienziati hanno osservato come in un regime di frequenza bassa (il nome rigoroso è regime di Hagen-Rubens) misure di riflettività siano state eseguite solamente nei cosiddetti "metalli cattivi", come l'acciaio inossidabile.

La caratteristica essenziale dei "metalli cattivi" è il fatto che presentino un valore basso di $\sigma_{dc}$  ed un valore elevato del rapporto $\frac{1}{\tau}$.

Ne consegue sostanzialmente che la loro riflettività devia molto dal 100% persino in un regime di bassa frequenza; andate per favore a rivedervi all'inizio del post cosa succedeva nel caso dell'argento, ove invece la riflettività era elevatissima nelle basse frequenze (o, equivalentemente, nelle larghe lunghezze d'onda dello spettro elettromagnetico).

Dressel e Scheffler hanno poi riscontrato un problema spinoso: solo nel regime delle microonde e di frequenze di pochi terahertz è possibile misurare la parte reale e la parte immaginaria di $\tilde{\sigma}$ in modo indipendente, tuttavia per i metalli convenzionali il fondamentale rapporto $\frac{1}{\tau}$ è ben al di sopra di tali frequenze!

Una possibile soluzione iniziale è stata quella di osservare cosa succede in semiconduttori moderatamente drogati.

No, non stiamo incentivando all'uso delle sostanze stupefacenti; il termine "drogato" (o, volendo, "doping") nell'ambito dei semiconduttori significa semplicemente che stiamo applicando un certo meccanismo che aumenta il numero di portatori di carica di quel semiconduttore, rendendolo così più simile ad un metallo in termini di conducibilità elettrica di quanto lo fosse originariamente.

Ed effettivamente l'uso del doping ha fornito (nel caso specifico dell'articolo si è fatto riferimento al silicio leggermente drogato) risultati sperimentali in accordo col modello teorico di Drude!

Ma non è finita qui, perché i 2 scienziati hanno giustamente evidenziato che se volessimo dati migliori dovremmo lavorare nel range di frequenze delle microonde.

E per far ciò si sono dovuti attenere ad una teoria più complessa, la teoria del liquido di Fermi, introdotta dal famoso fisico russo Lev Landau nel 1956.

Senza entrare nei complicati dettagli, ciò che è rilevante sapere è che tale teoria si applica stupendamente a particolari materiali intermetallici, i cosiddetti composti di fermioni pesanti.

Dressel e Scheffler hanno pertanto considerato uno di questi composti, chiamato $\mathrm{UPd_2Al_3}$, compiendo analisi in un range di frequenze vastissimo, nello specifico da 50 MHz a 40 GHz, focalizzandosi su temperature vicine allo zero assoluto, in particolare sopra 1.6 kelvin.

Il finale della storia forse è scontato, ma non toglie nulla alla meraviglia di un'importante rilevazione scientifica: anche nel suddetto caso i dati sperimentali hanno confermato un'ottima corrispondenza con il modello teorico di Drude!

Insomma, il duo di scienziati, poco più di 100 anni dopo la formulazione originaria del modello di Drude, ha dimostrato che tale modello, per quanto basilare, è ancora molto buono, in certi regimi di frequenza, nel descrivere il comportamento generale della conducibilità elettrica in metalli e materiali che si avvicinano alle caratteristiche dei metalli.

Ovviamente moderne tecniche più sofisticate fondate sulla meccanica quantistica, come l'approccio a molti elettroni sviluppato dal danese Jens Lindhard nel 1954 basandosi sulla cosiddetta Random-Phase Approximation, portano a risultati più rigorosi in generale.

I lettori esperti interessati possono trovare, cliccando qui, un interessantissimo articolo di Andrade-Neto in cui si mette a diretto confronto il modello di Drude con il più avanzato modello di Lindhard.    

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Fonti essenziali:

- Optical Properties of Solids di M. Fox

- https://en.wikipedia.org/wiki/Wiedemann%E2%80%93Franz_law

- Electrodynamics of Solids di M. Dressel e G. Grüner

- Verifying the Drude Response di M. Dressel e M. Scheffler