ARMONOGRAFI, CURVE DI LISSAJOUS E MUSICA!

In questo post parleremo di un particolare strumento meccanico, l'armonografo, il quale può rendere palese lo stretto legame sussistente tra musica e matematica, più volte sottolineato in questo blog.
Innanzitutto, cos'è precisamente un armonografo?
Trattasi di un'apparecchiatura che, attraverso dei pendoli, disegna singolari curve.

Armonografo

In una delle sue varianti, un pendolo muove una penna, mentre un altro sposta una superficie su cui è fissato un foglio di carta.
La combinazione degli effetti dei 2 pendoli produce un moto complesso (così come 2 note musicali danno vita insieme a un suono complesso), il quale, a causa dell'attrito, si riduce man mano degenerando in un singolo punto.
Il tratto che la penna lascia ad ogni oscillazione si trova molto vicino a quello tracciato nell'oscillazione precedente, tanto da conferire alla raffigurazione finale un aspetto ondulatorio simile a una ragnatela.
Variando il rapporto delle frequenze dei 2 pendoli e il loro sfasamento (angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase, per esempio il massimo oppure il minimo, da parte di 2 oscillazioni) si possono generare curve di molteplici aspetti, più o meno complesse.

Raffigurazione dello sfasamento tra 2 onde

Fu Galileo Galilei, osservando l'oscillazione di una lampada nella cattedrale di Pisa, a comprendere che la frequenza di un pendolo dipende dalla sua lunghezza: più è lungo, minore è la frequenza.
Infatti, per piccole oscillazioni, la frequenza f di un pendolo semplice (costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e da una massa puntiforme fissata a una sua estremità) si può definire attraverso la formula





dove g designa l'accelerazione di gravità sul pianeta Terra, mentre l la lunghezza del filo.
Di conseguenza, la frequenza può essere modificata a piacimento fissando il peso del pendolo a diverse altezze.
Ed ecco un magnifico video relativo all'armonografo in azione:



Nella versione più semplice, i tracciati realizzati dall'armonografo vengono catalogati come curve di Lissajous.
Le curve (o figure) di Lissajous, dette anche figure di Bowditch o curve del gioco di Alice, sono eleganti curve piane, costruite come composizione di 2 oscillazioni armoniche (abbiamo parlato di moto armonico nel post intitolato "Helmholtz e la dissonanza", che consiglio vivamente di rileggere a chi non ricordasse i dettagli di tale tipologia di moto) perpendicolari.
Esse presentano equazioni parametriche del tipo:





Potevano anche essere scritte attraverso la sola funzione coseno oppure mediante il solo seno, dato che è possibile passare dal seno al coseno in modo molto semplice, giacché la sinusoide altro non è che una cosinusoide sfasata di un angolo di 90°.

La forma di una curva di Lissajous dipende appunto da vari parametri:

• A, B rappresentano le ampiezze di tali moti;
• ωx, ωy ne rappresentano le frequenze angolari;
• φx, φy ne rappresentano le fasi.

Nel caso particolare in cui ωx = ωy la curva in questione è un'ellisse, la quale diviene una circonferenza nel caso in cui si abbiano anche le uguaglianze







La curva si riduce poi a un segmento se, oltre ad avere ωx = ωy, si ha anche



 


Un'altra semplice figura che è possibile ottenere è la parabola; ciò avviene quando
































Inoltre, una curva di Lissajous si chiude se e solo se il rapporto





è un numero razionale.

L'animazione appena riportata mostra l'adattamento della curva a un progressivo incremento di 0,01 del suddetto rapporto (nell'animazione chiamato a/b), a partire da 0 fino a 1.
Le suddette curve furono oggetto di studi da parte dell'astronomo e matematico statunitense Nathaniel Bowditch (1773-1838) e, successivamente, vennero ampiamente studiate pure dal matematico francese Jules Antoine Lissajous (1822-1880).
Andiamo a scoprire un po' meglio questi 2 personaggi; in particolare, la biografia del primo è davvero molto interessante e merita di essere approfondita per bene.

Nathaniel Bowditch nacque il 26 marzo 1773 a Salem, Massachussets, città di pescatori.

A 10 anni il piccolo Nathaniel fu costretto ad abbandonare la scuola perché l'attività di suo padre, Habakkuk, era fallita e dunque egli si ritrovò ad aiutare il padre in officina.
Nonostante ciò, Bowditch, ragazzino estremamente curioso, non interruppe gli studi da autodidatta, con particolare predilizione verso la matematica.
Infatti, nel 1787, all'età di 14 anni, incominciò a studiare l'algebra e 2 anni dopo arrivò persino a impartirsi da solo i fondamenti del calcolo differenziale e integrale.
Nel 1791, diciottenne, Bowditch ebbe un gran colpo di fortuna: un concittadino di Salem, proprietario di una nave corsara con licenza di attaccare navi nemiche, intercettò e catturò una nave inglese, che aveva a bordo la biblioteca di un certo Richard Kirwan, della Royal Society.
Bowditch ebbe la possibilità di accedere a tale biblioteca, allargando i suoi orizzonti culturali.
Nel 1790 imparò il latino e nel 1792 il francese; tali studi gli consentirono di leggere importanti lavori matematici, tra cui la magistrale opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) di Newton.
Bowditch fu persino in grado di:

• riscontrare migliaia di errori nell'opera The New Practical Navigator di John Hamilton Moore;
• copiare tutti gli articoli matematici che trovò nei Philosophical Transactions of the Royal Society of London.

Tra il 1795 e il 1799 si imbarcò per ben 4 volte su navi mercantili e nel 1802 prese addirittura il comando di un mercantile, del quale divenne comproprietario.
Nei lunghi tempi della navigazione perfezionò il francese e affrontò l'ardua impresa di traduzione dell'imponente opera in 5 volumi Meccanica Celeste di Pierre-Simon de Laplace (la cui pubblicazione era cominciata nel 1799), una traduzione critica nei confronti dello sviluppo dell'astronomia negli Stati Uniti.
In totale Bowditch compì 8 viaggi.
Nel frattempo, nel 1798, aveva sposato Elizabeth Boardman, la quale però morì 7 mesi dopo le nozze.
Egli si risposò nel 1800 con sua cugina Mary (Polly) Ingersoll Bowditch e la coppia ebbe 6 figli maschi e 2 femmine.
Nel 1804 il matematico terminò il suo periodo di marinaio e divenne presidente della Essex Fire and Marine Insurance Company a Salem, posizione che avrebbe mantenuto sino al 1823, anno in cui avvenne il suo trasferimento a Boston, prima come tecnico attuariale, poi come presidente della Massachusetts Hospital Life Insurance Company.
Nel 1829 diede finalmente inizio alla pubblicazione, con una spesa personale di circa 12.000 dollari, delle sue traduzioni della Meccanica Celeste laplaciana (la traduzione dei primi 4 volumi era stata terminata nel 1818), il suo contributo scientifico più importante.
Ma quando focalizzò la sua attenzione sulle spettacolari curve che portano anche il suo nome? Nella memoria, datata 1815, denominata Sul moto di un pendolo sospeso fra due punti.
L'argomento, come già accennato, venne poi ripreso, negli anni 50' dell'Ottocento, da Jules Antoine Lissajous.
Nato a Versailles il 4 marzo 1822, Lissajous studiò all'École normale supérieure, divenne professore di matematica al liceo Saint-Louis di Parigi e, in un secondo momento, rettore dell'Accademia di Chambéry e di quella di Besançon.

Studioso di ottica e acustica, Lissajous si occupò di onde prodotte da lamine vibranti e ne esaminò il comportamento otticamente facendo riflettere un raggio di luce sulle forcelle di uno o più diapason, sui quali erano fissati piccoli specchi (che vibravano a frequenze diverse), osservando pertanto la traiettoria del raggio riflesso su uno schermo.

In questo modo ottenne appunto le curve che prendono il suo nome, le quali presentavano un aspetto differente a seconda delle frequenze di vibrazione dei 2 diapason.
Ciò portò all'invenzione, da parte dello stesso Lissajous, di strumenti tra cui l'armonografo, realizzato in forma rudimentale per la prima volta nel 1857.
Il vero e proprio armonografo con i pendoli venne infatti inventato anni dopo dal fisico e matematico scozzese Hugh Blackburn (1823-1909).

Blackburn, settimo degli 8 figli del mercante John Blackburn e di Rebecca Leslie Gillies, nacque il 2 luglio 1823 nel villaggio di Torryburn, in Scozia.
Studiò in primis alla Edinburgh Academy e all'Eton College, dopodiché frequentò il Trinity College di Cambridge, a partire dal 1840.
Qui conobbe quello che sarebbe stato un suo grande amico per tutta la vita, William Thomson (più noto come Lord Kelvin), e inventò il pendolo che prende il suo nome, "Blackburn pendulum".
Nel 1849 diventò professore di matematica all'Università di Glasgow, ruolo che avrebbe ricoperto fino al 1879.
Curiosità: Blackburn fu il marito di Jemima Wedderburn, figlia di James Wedderburn, Procuratore generale di Scozia, ma soprattutto cugina di James Clerk Maxwell, sì quello delle celebri 4 equazioni!
L'armonografo, come già anticipato, è uno strumento intimamente legato alla musica.
Esso è infatti in grado di far visualizzare gli intervalli musicali (ad esempio, l'ottava, l'unisono, la quarta, ecc.) alla stregua di forme geometriche meravigliose.
Prima abbiamo avuto modo di osservare l'armonografo in cui 2 pendoli risultano fissati a 2 fori praticati su un piano e oscillano in direzione ortogonale l'uno all'altro.
Ricordiamo inoltre che al di sopra del piano il manico di un pendolo regge un ripiano su cui è fissato un foglio, mentre il manico dell'altro pendolo regge un braccio con una penna, la quale traccia sul foglio le figure di Lissajous.
Questa tipologia di armonografo è detta armonografo laterale.
Inizialmente i 2 pendoli hanno la medesima lunghezza, ma si possono ottenere forme diverse se uno viene accorciato portando il peso verso l'alto e assicurandolo con una pinza in vari punti.
In tal maniera, uno a uno, si possono raffigurare i rapporti armonici.
Nulla però impedisce di realizzare un armonografo con 3 pendoli, il cosiddetto armonografo rotatorio.

Mediante questo, possono essere combinati 2 moti circolari, o rotatori, con risultati interessanti.
Qual è il meccanismo alla base dell'armonografo rotatorio?
Ebbene, 2 pendoli oscillano perpendicolarmente come prima, però ora un braccio li collega entrambi alla penna, che risponde ai movimenti tracciando semplici circonferenze.
Al di sotto della penna rotante, il terzo pendolo variabile è montato su una sospensione cardanica, la quale si comporta come un sostegno rotante che consente al pendolo a cui è agganciato il ripiano di oscillare producendo una seconda circonferenza sotto la penna.
Quando la penna viene abbassata, le tracce delle 2 circonferenze si sovrappongono sul foglio.
Anche in questo caso le varianti possono essere tantissime, in quanto i movimenti circolari possono avvenire nello stesso verso (concordi) oppure in verso contrario (discordi).



Andiamo ad osservare come appaiono 2 importanti intervalli musicali (l'unisono e l'ottava) nelle raffigurazioni realizzate dagli armonografi.
Partiamo dall'unisono (1:1) realizzato da un armonografo laterale.
Per ottenere la figura desiderata, basta avere 2 pendoli della stessa lunghezza e il ripiano fermo.
Con la penna staccata dal foglio, i 2 pendoli vengono allungati al massimo, dopodiché si lascia andare il primo, e, quando questo è a metà percorso, pure il secondo.
La penna viene dunque abbassata sul foglio per ottenere una circonferenza che diviene poi spirale.
Se i 2 pendoli vengono rilasciati nello stesso istante, sul foglio comparirà una linea retta diagonale rappresentante la fase "chiusa" dell'armonia, mentre la fase "aperta" risulta circolare.
Le fasi intermedie produrranno invece forme ellittiche.

Lo smorzamento dei pendoli corrisponde esattamente allo scemare del suono prodotto da corde pizzicate, e può anche essere visto come rappresentazione grafica della cosiddetta "freccia del tempo", termine introdotto nel 1927 dall'astronomo inglese Sir Arthur Eddington per indicare l'inesorabile direzione del cambiamento, legata all'asimmetria del tempo (passato-presente-futuro).

L'unisono prodotto invece dall'armonografo rotatorio è all'inizio abbastanza deludente: sul foglio, l'unisono nel moto discorde genera una linea retta, come una fase chiusa dell'unisono laterale.
Dal moto concorde deriva invece un punto che si trasforma in una linea retta, la quale si muove in direzione centripeta, mentre la penna e il foglio girano assieme.
Tuttavia, una leggera modifica ai pendoli produrrà un cosiddetto "quasi unisono" spettacolare.
Il moto discorde produce infatti una varietà di meravigliose forme, che assomigliano a conchiglie, con fini ombreggiature incrociate.

Il moto sfasato concorde genera, al contrario, figure sferiche o a forma di uovo.

Ora andiamo a scoprire le creazioni geometriche dell'intervallo di ottava (2:1).
Incominciamo dall'ottava laterale!
Quando un pendolo ha un ritmo doppio e oscilla ortogonalmente all'altro, in fase aperta l'ottava prende la forma di un otto (pura coincidenza), le cui dimensioni si riducono man mano che il pendolo si smorza.















Se i 2 pendoli vengono rilasciati nello stesso momento per produrre una fase chiusa, il risultato è una linea a forma di coppa che si trasforma in una splendida figura alata con fini ombreggiature incrociate e figure di interferenza.

Ma i disegni più belli in assoluto che si possono produrre con un armonografo sono sicuramente quelli inerenti all'ottava rotatoria.
Tutto ciò che accade altro non è che la somma di 2 moti circolari, uno con velocità esattamente doppia dell'altro.
Il moto discorde dà vita a una forma a trifoglio dalle raffinate variazioni.

Se si comincia con una dimensione o ampiezza più piccola e una rotazione maggiormente veloce si ottiene un triangolo, o una piramide.

In moto concorde l'ottava produce una forma a cuore con un semplice avvitamento all'interno.

Concludiamo il post con una curiosità e un video!
La curiosità è questa: Clifford A. Pickover, nel suo romanzo The Heaven Virus, immagina addirittura uno strambo armonografo alieno con "una penna che oscilla su una piattaforma, che oscilla su un'altra piattaforma, che oscilla su un'altra piattaforma, e così via fino a dieci diverse piattaforme".
Lo spettacolare video, intitolato "The Beauty of the Harmonograph", lo potete visualizzare di seguito.



-----------------------------------------------------------------------------------------
Fonte principale:

- QUADRIVIUM. Numero, geometria, musica e astronomia a cura di John Martineau