L'ESPERIMENTO DI FRANCK-HERTZ

Agli inizi del XX secolo si discuteva sulla validità dei vari modelli atomici esistenti, tra cui quello “a panettone” di Thomson, che prevedeva l’atomo come costituito da una distribuzione di carica positiva all’interno della quale sono inserite le cariche negative, e quello di Rutherford, un “modello planetario” che congetturava un piccolo nucleo positivo centrale attorno a cui ruotavano gli elettroni e che evolveva il “modello saturniano” proposto da Nagaoka (per gli appassionati di anime, fisico citato peraltro nell'episodio n.14 di GTO - Great Teacher Onizuka), il quale supponeva un nucleo molto più massiccio.

Venne mostrato che il modello più prossimo alla realtà era quello proposto da Rutherford, ma esso non era esente da problemi.

Infatti il suddetto modello, che era basato sulla fisica classica, soffriva di una pesante instabilità. L'elettrodinamica classica stabilisce che quando una particella accelera, essa rilascia energia sotto forma di onde elettromagnetiche.

Dunque, siccome l’elettrone, nel suo girare intorno al nucleo positivo, è sottoposto a un’accelerazione, esso irraggia energia elettromagnetica della stessa frequenza del proprio moto di rivoluzione, il che comporta una perdita della sua energia e la sua caduta sul nucleo con un moto a spirale nel suddetto modello atomico.

Per risolvere la questione, Niels Bohr propose nel 1913 un modello atomico basato sulla recente teoria quantistica e, in particolare, ipotizzò che gli atomi avessero una struttura a livelli energetici discreti.

In sostanza, l’emissione di energia veniva spiegata in termini di “salti” degli elettroni da un livello energetico a quello inferiore. 

Se desiderate approfondire riguardo i vari modelli atomici, vi rimando all'introduzione del Carnevale della Chimica n.34 (cliccate qui).

La conferma sperimentale di tale ipotesi avvenne proprio con l’esperimento che James Franck e Gustav Ludwig Hertz presentarono nel 1914 e per il quale vinsero il Nobel per la fisica nel 1925.

Nello specifico, ciò che i due scienziati si proposero di verificare erano i seguenti punti:

a) che fosse possibile eccitare gli atomi mediante un bombardamento con elettroni a bassa energia;

b) che l’energia trasferita dagli elettroni agli atomi avesse sempre valori discreti;

c) che i valori così ottenuti per i livelli energetici fossero in accordo con i risultati spettroscopici.

La loro idea fu quella inviare una sonda avente una certa energia sull’atomo di mercurio (Hg) e vedere quanta energia questa sonda perdesse nell’interazione con l’oggetto dell’indagine.

Franck e Hertz hanno a tal proposito sparato degli elettroni all’interno di un vapore di mercurio e ipotizzato la presenza di urti anelastici con gli atomi di Hg; supponendo ci siano dei livelli energetici discreti, l’atomo potrà cedere energia solamente nel momento in cui la propria energia sia almeno uguale (o superiore) a quella che separa i due livelli.

Se ciò accade, si può avere uno scambio di energia tra l’elettrone (che la perde) e l’atomo che la acquisisce. Naturalmente l’energia totale del processo si conserva.

L’utilizzo del mercurio si deve al fatto che esso può vantare le buone peculiarità di essere monoatomico (se infatti l’esperimento venisse condotto con un vapore molecolare, sarebbe possibile per gli elettroni trasferire energia ai livelli energetici molecolari che formano quasi un continuo), di presentarsi liquido a temperatura ambiente e di manifestare un equilibrio liquido-vapore con densità del vapore ben modulabile a temperature facilmente ottenibili.

In particolare, l’ultima caratteristica si può ottenere specialmente se si considera un recipiente chiuso con all’interno del mercurio in cui viene fatto il vuoto al fine di minimizzare le interazioni con le molecole gassose presenti nell’aria.

Nell’esperimento gli elettroni vengono emessi da un filamento caldo e vengono accelerati verso un elettrodo griglia G posto ad un potenziale V_G.

Bisogna infatti ricordare che uno dei modi con cui produrre un flusso di elettroni è quello di sfruttare il cosiddetto effetto termoionico (o termoelettronico), cioè il fatto che una temperatura elevata (solitamente dell'ordine di 1000-2000 K) possa provocare il rilascio di elettroni da parte di un materiale.

Questo effetto venne studiato da Owen Willans Richardson (1879-1959) e poi da Enrico Fermi (1901-1954).

In particolare, nel 1901, Richardson pubblicò i risultati dei suoi esperimenti, notando che la corrente elettrica emessa da un filo metallico riscaldato dipende esponenzialmente dalla temperatura del filo in una forma matematica simile all'equazione di Arrhenius, che illustra la dipendenza esponenziale della velocità di reazione chimica dall'inverso della temperatura e di cui abbiamo parlato qui.

Si arrivò perciò a quella che oggi chiamiamo legge di Richardson-Fermi, la quale ci dice come possiamo calcolare la densità di corrente di emissione J da parte di una lamina metallica:

dove A₀ è una costante universale, T denota la temperatura, k la costante di Boltzmann e W è il lavoro di estrazione (per saperne di più cliccate qui).
La più semplice tra le valvole termoioniche (dispositivi che si basano appunto sull'effetto termoionico) è il diodo a vuoto, costituito da 2 elettrodi:

1) un catodo, che emette elettroni;

2) un anodo, che li riceve.

Lo strumento utilizzato nell'esperimento di Franck-Hertz ricorda tuttavia una valvola più complessa, il triodo, il quale oltre ai 2 elettrodi sopracitati è dotato di un ulteriore elettrodo, la griglia, il cui nome deriva proprio dal fatto che esso è costituito da una griglia, cioè da una maglia metallica che va ad imporre un certo potenziale V_G rispetto al catodo.

Trattasi, in particolare, di una maglia "semitrasparente", ossia abbastanza fitta per rappresentare una superficie equipotenziale ma avente abbastanza fori per far sì che gli elettroni possono attraversarla.

Gli elettroni emessi dal catodo possono dunque attraversare la griglia e giungere all'anodo.
Se si pensa al catodo e alla griglia come a delle lastre piane idealmente infinite orientate verticalmente (il che permette di poter, in prima approssimazione, trascurare gli effetti di bordo), il campo elettrico accelerante che si stabilisce tra i due è uniforme.

Ad ogni distanza gli elettroni hanno un’energia cinetica derivante dalla posizione e dal potenziale elettrico a cui sono sottoposti.
Alcuni di essi passano attraverso i fori della griglia e giungono sull'anodo purché la loro energia cinetica sia sufficiente a superare un piccolo potenziale ritardante applicato tra griglia ed anodo. 

Il tutto è posto, nell'esperimento di Franck-Hertz, entro un’ampolla riempita da vapori di mercurio a bassa pressione.

Ciò che viene misurato è il flusso di elettroni che arrivano sull'anodo, ovvero la corrente I che passa nel circuito in funzione del potenziale accelerante V_G.
Inizialmente I cresce al crescere di V_G, ma una volta che quest’ultimo raggiunge i 4.9 V (primo massimo nella curva di Franck-Hertz) si ha una rapida riduzione della corrente.
Riportiamo infatti da Wikipedia il grafico delle curve di Franck-Hertz:

Quanto detto si interpreta in termini di un’interazione tra gli elettroni e gli atomi di Hg, a seguito della quale una frazione significativa degli elettroni eccita gli atomi di Hg e nel far ciò perde totalmente l’energia cinetica posseduta.
Se V_G è di poco superiore a 4.9 V, il suddetto processo avviene appena prima della griglia G: dopo l’eccitazione gli elettroni non possono acquisire energia cinetica sufficiente a superare il potenziale ritardante e giungere sull'anodo; dunque la corrente va teoricamente a 0, assumendo il modello ideale di avere sezione d’urto infinita, il che significa un’interazione da parte di TUTTI gli elettroni.
Nel caso di sezione d’urto finita (quello consistente con la realtà sperimentale), invece, interagisce soltanto una frazione degli elettroni, con la conseguenza del mantenimento di un valore sempre diverso da 0 della corrente elettronica (infatti nel grafico riportato sopra potete vedere chiaramente che la curva parte da 0 ma non torna mai a 0).
Per valori maggiori di V_G il processo di eccitazione avviene parecchio prima della griglia, il cui potenziale è in grado di accelerare ancora gli elettroni che riescono così a pervenire sull'anodo, e la corrente comincia a risalire. Viene raggiunto un secondo massimo che corrisponde ad un’energia di circa 9.8 eV.
La netta diminuzione prima sottolineata della corrente rende evidente il fatto che elettroni aventi energia minore di 4.9 eV non riescono a trasferire la loro energia ad un atomo di Hg, il che è consistente con l’esistenza in tale atomo di stati con energia discreta.
Assumendo che il primo livello eccitato dell’atomo Hg si trovi 4.9 eV al di sopra dello stato fondamentale, allora si conclude che un atomo di Hg non possa assorbire energia dal fascio elettronico a meno che gli elettroni posseggano appunto 4.9 eV di energia.
Inoltre, se la separazione tra stato fondamentale e primo livello eccitato è 4.9 eV, allora nello spettro di emissione di Hg si deve teoricamente trovare una linea corrispondente a questa energia come conseguenza della transizione dal livello eccitato allo stato fondamentale.
Franck ed Hertz riscontrarono in effetti che bombardando il gas con elettroni aventi meno di 4.9 eV di energia, i vapori di mercurio presenti nell’ampolla non emettevano alcuna linea spettrale, mentre aumentando l’energia del fascio al di sopra di tale soglia, compariva una singola linea con λ = 2536 Å (riga di risonanza), corrispondenti proprio a 4.9 eV.
Tirando le fila del discorso, l’importanza dell’esperimento di Franck e Hertz si deve al fatto che non solo fornì una notevole evidenza sperimentale della quantizzazione dell’energia negli atomi prevista da Bohr, ma costituì pure un metodo per la misura diretta della differenza di energia tra i vari livelli atomici ottenibile dalla semplice lettura di un voltmetro.

DIRICHLET E IL PRINCIPIO DELLA PICCIONAIA

Il tema portante del prossimo Carnevale della Matematica, l’edizione n.150, che sarà ospitata da Paolo Alessandrini sul blog Mr. Palomar, è “animali”.
Abbiamo già avuto modo di vedere, qui su Scienza e Musica, alcuni collegamenti del mondo animale con la matematica, come per esempio i famosi conigli di Fibonacci (cliccate qui), e sul Tamburo Riparato avevo parlato di “cavallucci marini in geometria”, ovvero degli spidron (cliccate qui).
Oggi parleremo di piccioni e, in particolare, del cosiddetto principio della piccionaia.
Prima di scoprire cosa diavolo sia tal principio, vorrei introdurre l’importante personaggio matematico che, nel 1834, si occupò di questo singolare concetto: Dirichlet.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nacque il 13 febbraio 1805 a Düren, in Germania, un luogo tranquillo sulle rive del fiume Ruhr, ove il padre dirigeva l’ufficio postale.

La sua famiglia paterna proveniva in particolare dal villaggio di Richelle, presso Liegi, in Belgio, da cui derivò il cognome "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelle" = "il ragazzo di Richelle”).
Quando la famiglia cominciò a crescere di numero divenne infatti necessario distinguere alcune generazioni di Dirichlet dalle altre.
Si incominciarono ad usare appellativi come il sopracitato per indicare i nuovi membri e distinguerli dal nonno, il vecchio Dirichlet.
Nonostante al momento della nascita di Peter Gustav esistesse ancora il vecchio Sacro Romano Impero Germanico, la città di Düren risultava occupata dal 1794 dalle truppe rivoluzionarie francesi, che l’avevano convertita in una delle principali città francesi della zona, sino alla loro espulsione definitiva nel 1814.
Dopo la vittoria degli alleati, durante il Congresso di Vienna (1814-1815), venne stabilito che Düren, come il resto del territorio di lingua tedesca ubicato sulla sponda sinistra del Reno, fosse ceduta al regno di Prussia.
In tal modo gli abitanti di questa città (e quindi anche la famiglia Dirichlet) e di altre importanti città vicine, come Bonn e Colonia, smisero di essere francesi e diventarono prussiani.
La famiglia di Johann Peter Gustav era colta e abbastanza benestante, aspetto che consentì al giovane di avere accesso, anche se con qualche sacrificio, ad una formazione di certo non alla portata di tutti in quell’epoca.
La scuola primaria prussiana si mostrò insufficiente per le necessità del bambino, che venne iscritto dai genitori ad una scuola privata ove potette ricevere una certa istruzione anche in latino, che risultava fondamentale come preparazione per la scuola secondaria, il Gymnasium.
Tuttavia il suo rapporto con la lingua latina, all’epoca la lingua fondamentale per le pubblicazioni scientifiche, non era (e non sarà mai) dei migliori e ciò rappresentò la sua più grande debolezza in ambito scientifico. Se il latino gli risultava noioso, lo stesso non si poteva dire della matematica, per la quale Dirichlet sviluppò ben presto una grandissima passione.
Nemmeno 12enne spendeva già le mance ricevute nell’acquisto di testi di matematica.
Questo comportamento risultava così poco diffuso tra i ragazzi della sua età da risultare strano e ritenuto quasi nocivo da qualcuno, al punto che alcune persone tentarono di spiegargli che si trattava di acquisti assurdi e al di fuori della sua portata, in quanto non avrebbe potuto mai comprendere quei libri e sarebbe stato meglio conservare il denaro per altre spese.
Il caparbio bambino rispose che avrebbe letto i libri sino a quando non sarebbe stato capace di comprenderli.
Di fronte ai buoni risultati che Dirichlet otteneva nei suoi studi e al potenziale mostrato dalle sue capacità, i genitori decisero, nel 1817, di iscriverlo al Beethoven Gymnasium di Bonn.
I Dirichlet si trasferirono per un breve periodo col figlio a Bonn, dove contattarono un conoscente di famiglia, il teologo e filosofo Peter Joseph Elvenich (1796-1886), allora un brillante studente di filosofia e lingue antiche, cattolico come loro, al quale affidarono la supervisione del loro figlio minore.
Una volta risolte le questioni di vitto e alloggio, i genitori fecero ritorno alla loro casa, lasciando che il figlio si incamminasse per la sua strada da solo.
È vero, Bonn si trova a poche decine di chilometri da Düren, ma dovete tuttavia pensare al fatto che a quei tempi non vi erano treni che collegassero le 2 città e dunque l’impatto psicologico della separazione dai genitori per un bambino di 12 anni fu enorme in un contesto simile.
Nonostante tutto, il soggiorno a Bonn fu davvero piacevole e proficuo. In tale ambiente il ragazzo poté sviluppare, oltre alla propria cultura, una personalità gentile ed educata, che gli consentì di legare facilmente con le altre persone e guadagnarsi rapidamente il loro favore.
Nel 1820 Dirichlet entrò nel Gymnasium gesuita della vicina città di Colonia, dove coltivò i suoi interessi per la matematica e per la storia, con particolare riferimento al periodo della Rivoluzione Francese.
A Colonia ebbe inoltre la fortuna di incontrare Georg Simon Ohm (1789-1854), all’epoca professore al Gymnasium, ma che sarebbe diventato celebre per le leggi che portano il suo nome inerenti alla corrente elettrica.

Grazie alla spinta intellettuale di Ohm e al suo talento, Dirichlet, nonostante la sua giovane età, arrivò a conseguire un bagaglio di conoscenze matematiche incredibilmente ampio.

Rimase un solo anno nel Gymnasium di Colonia, dopo il quale ottenne il suo diploma e smise di frequentare le lezioni.
Di ritorno a casa a Düren, i genitori cercarono di convincerlo affinché i suoi studi si indirizzassero verso il diritto, studi che gli avrebbero garantito una professione redditizia e una elevata posizione sociale, a differenza della matematica, che lo avrebbe condotto con maggiore probabilità ad attraversare difficoltà economiche e a non avere un lavoro stabile.
Dirichlet comprendeva bene il punto di vista dei suoi genitori, ma non riusciva a separarsi dalla matematica.
Acconsentì dunque di incominciare gli studi di diritto, ma lasciò intendere loro che l’avvocatura sarebbe stata solo un mezzo per guadagnarsi il suo sostentamento e che avrebbe in ogni caso continuato anche i suoi studi di natura matematica.
Va messo in evidenza che studiare matematica in Germania in quel periodo non era affatto semplice.
L’unico matematico tedesco di fama mondiale era il mitico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ma nel 1807 costui aveva accettato il posto di professore di astronomia nell’Osservatorio di Gottinga, ove rimase tutta la sua vita, dedicandosi fondamentalmente a studi di astronomia, geodesia e matematica applicata.
Per di più a Gauss non piaceva insegnare; in questa fase della sua vita riteneva che il livello dei suoi alunni fosse eccessivamente basso, pensiero critico che non faceva nulla per nascondere.
In Francia l’ambiente matematico risultava di livello assai superiore: all’Università di Parigi tenevano corsi alcuni tra i migliori matematici di sempre: Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy, solo per citarne qualcuno.
Non a caso Parigi era considerata la capitale mondiale della matematica in quel periodo.
Alla fine i genitori di Dirichlet si convinsero a supportare pienamente la passione per la matematica del figlio, ma la Prussia non poteva appunto offrire le condizioni ottimali che servivano al giovane.
Presero pertanto la decisione di mandarlo a Parigi; nel maggio 1822 il matematico si trasferì nella Ville Lumière e portò avanti i suoi studi nel Collège de France e nella Facoltà delle Scienze, ove ebbe la possibilità di assistere alle conferenze di personalità del calibro di Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette e Louis-Benjamin Francoeur.

Non si conoscono troppi dettagli sul soggiorno di Dirichlet a Parigi, ma è ben noto che oltre ad assistere alle lezioni e a prepararsi sulle materie ordinarie, si focalizzò in uno studio sistematico della famosa opera Disquisitiones arithmeticae (pubblicata nel 1801) di Gauss, grazie alla copia che sua madre gli aveva fatto recapitare a Parigi nel novembre del 1822.

Questo testo rappresentava per Dirichlet quasi un’ossessione, tanto che si dice lo tenesse permanentemente sulla sua scrivania.

Addirittura, secondo il geologo tedesco Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1809-1876), Dirichlet portava con sé la sua copia delle Disquisitiones arithmeticae in tutti i suoi viaggi, così come i sacerdoti portavano con loro il libro di preghiere!
Ironia (o forse no!) della sorte è che lui stesso sarebbe diventato il vero successore di Gauss, anche se inizialmente non si poteva immaginare un successo di tal portata.
Infaticabile, Dirichlet lesse e rilesse il libro svariate volte durante la sua vita, sino a quando non riuscì ad assimilarlo totalmente, apprezzandone ogni minima sfumatura, un po’ come una persona “normale” è sovente fare con il proprio libro/film/serie preferita, con la differenza che qui si tratta di un’opera matematica di altissimo livello.
Mettiamola così, Dirichlet arrivò a conoscere quest’opera di Gauss meglio di casa sua!
Scherzi a parte, finalmente nell’estate del 1823 gli venne offerta un’opportunità di lavoro che gli avrebbe permesso di smettere di dipendere dall’appoggio economico dei genitori.
Infatti il noto generale francese Maximilien Sébastien Foy (1775-1825), eroe delle Guerre Napoleoniche, stava cercando un professore in grado di impartire lezioni di lingua e letteratura tedesca ai suoi figli.
Dirichlet fu raccomandato alla famiglia Foy da un amico comune, conoscente dei suoi genitori e vecchio compagno d’armi del generale.
Il nuovo incarico implicava un carico di lavoro piuttosto modesto, che gli liberò del tempo utile da dedicare agli studi.
Dirichlet si sentì presto a suo agio nell’ambiente accademico parigino e cominciò a collaborare con alcuni dei suoi professori.
La sua prima vera opera di natura accademica fu una traduzione in francese di un articolo inerente all’idrodinamica scritto da Johann Albert Eytelwein (1764-1849), un ingegnere specializzato in idraulica, oltre che professore universitario a Berlino.
Anche se si trattava di un’impresa meno rilevante rispetto a pubblicare un proprio lavoro originale, Dirichlet si sentì molto orgoglioso di tale traduzione e questa rappresentò il primo piccolo ma importante passo che lo trasformerà man mano in un gigante della matematica.

PERCHÉ ESSERE FIERI DELLA MATEMATICA?

Il tema del prossimo Carnevale della Matematica, che si svolgerà sul sito MaddMaths! con la solita attenta supervisione di Roberto Natalini, è “l’orgoglio matematico” o, se volete, in inglese, “Mathematics pride”.

 

 

 

 

 

 

 

 

Viene richiesto in sostanza perché essere fieri di occuparsi di matematica, di averla studiata, letta o addirittura sognata ed immaginata.
Vi racconterò in breve perché io mi ritengo fiero della matematica.
Sin da bambino ho sempre adorato il mondo dei numeri; mi divertivo a fare operazioni più complesse di quelle che generalmente vengono studiate a scuola.
Alle scuole medie tendevo ad andare avanti sugli esercizi di matematica, facendone molti più di quelli assegnati in classe, dato che quelli troppo semplici mi annoiavano.
Una parte della passione la devo anche al mio prozio, che era un insegnante di matematica bravissimo e con la battuta sempre pronta.
Quelle volte in cui ci veniva a trovare a casa ne approfittavo per ricevere lezioni da lui e spingermi avanti con la conoscenza matematica.
Mi introdusse le equazioni (di primo grado) ben prima che le affrontassi ufficialmente nell’ultimo anno di scuola media e rimasi affascinato da questo argomento.
Ormai la matematica non era più soltanto numeri e semplice geometria, ma si presentava come un linguaggio vero e proprio.
Al liceo scientifico tutto ciò si è reso ancora più evidente. La passione crebbe così tanto che arrivai a studiarmi i rudimenti di argomenti avanzati come la trigonometria, i limiti, le derivate e gli integrali ben prima del regolare tempo scolastico. Iniziai a capire che la matematica, oltre a possedere una bellezza intrinseca, è anche quel linguaggio che ci permette di descrivere ciò che ci circonda.
Nutrivo già una forte passione per i fenomeni naturali terrestri e l’astronomia, ma capì presto che la matematica e la fisica (il cui linguaggio è la matematica stessa) consentivano di indagare sui fenomeni più affascinanti dell’Universo, tra cui ciò che accade nel mondo degli atomi e delle particelle sino a oggetti misteriosi come i buchi neri.
Una delle peculiarità più incredibili della matematica è dunque quella di essere allo stesso tempo un linguaggio di pura astrazione, in cui possiamo fare persino riferimento, per esempio, ad un numero imprecisato n di dimensioni (mentre fisicamente quelle che concretamente avvertiamo sono 3 spaziali ed una temporale), ed un linguaggio concreto, mediante il quale la scienza evolve.
Questa dualità tra astratto e concreto si manifesta anche in quelle che forse sono l’emblema della matematica avanzata stessa: le dimostrazioni.
Le dimostrazioni sono spesso un processo di pura astrazione coadiuvate dal ragionamento deduttivo.
Pensate per esempio che per dimostrare il famoso ultimo teorema di Fermat, su cui per secoli brillanti menti matematiche hanno dibattuto senza arrivare ad un risultato definitivo, il britannico Andrew Wiles dovette far riferimento a robe complicatissime come geometria algebrica, teoria di Galois, teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari.
Insomma costui sfruttò tutte queste nozioni per molti astruse al fine di dimostrare (nel 1994) un’affermazione apparentemente elementare come

 

se n > 2.
D’altro canto la solidità di una dimostrazione sta nel fatto che quando un enunciato matematico viene dimostrato la validità di questo rimane per sempre!
Questo è in un certo senso l’aspetto concreto delle dimostrazioni: ci consentono di apprezzare a pieno il lavoro svolto dai matematici anche centinaia e migliaia di anni fa.
Basti pensare che gran parte della comune geometria che viene studiata nella scuola dell’obbligo altro non è che la geometria illustrata e dimostrata da Euclide nella sua monumentale opera Elementi del 300 a.C. circa.
In altre parole, la geometria euclidea è ancora oggi, nel 2021, validissima. È chiaro che nel corso del tempo abbiamo assistito ad una sua evoluzione, come la geometria analitica cartesiana, e ad una sua estensione, nel senso che si è provato che possano esistere delle geometrie non euclidee, ma ciò non toglie che l’opera di Euclide sia ancora un caposaldo nel contesto appropriato.
Per chi fosse interessato, nel post “Di Elementi e ponti degli asini” (cliccate qui per leggerlo) abbiamo analizzato un po’ tale aspetto, fornendo anche la dimostrazione della proposizione n.5 del libro I degli Elementi.  
Molto spesso è facile sentire che esista nelle persone una certa avversione nei confronti della matematica, considerata arida, difficile, persino inutile e non è raro trovare qualcuno che si fa addirittura vanto di non sapere nulla di matematica!
Talvolta si dice pure che ogni formula matematica presente in un libro di divulgazione scientifica ne riduca drasticamente il numero di potenziali lettori.
Preciso qui che nessuno nega che, ad un certo livello, la matematica non abbia un suo grado di complessità elevato e che magari non sia per tutti (d’altronde esistono persino diversi problemi irrisolti talmente intricati la cui risoluzione porterebbe ad un premio di 1 milione di dollari oltre che alla fama eterna), però trovo che partire dal pregiudizio che la matematica, in generale, sia difficile sia un atteggiamento sbagliato.
Proseguendo infatti nei miei studi mi sono sempre più accorto che sebbene il formalismo matematico diventasse man mano più complicato, in realtà tutto questo, in certi contesti, comporta una semplificazione di ciò che si sta facendo.
Si pensi per esempio alla notazione bra-ket di Dirac. Inizialmente può sembrare strana, bizzarra, ci si potrebbe chiedere per quale ragione si debba conoscere.
Tuttavia non appena si inizia a studiare seriamente la meccanica quantistica e ad applicare più concretamente la suddetta notazione, si può constatare la sua grande semplicità ed eleganza.
Molto spesso capita d'altronde che strumenti matematici a primo impatto complicati rendano poi le cose molto più semplici da studiare e da capire.
Altro aspetto essenziale per cui sono fiero della matematica è la sua universalità e la sua trascendenza dai pregiudizi sociali e culturali.
La matematica (insieme alla musica, che poi sostanzialmente anch’essa è matematica!) è infatti l’unico linguaggio che può accomunare senza alcun tipo di problema di traduzione una persona che vive in Italia con una che vive negli Stati Uniti con una che vive in Giappone e così via.
La matematica è poi al tempo stesso qualcosa di estremamente razionale ed artistico.

BANANA FISH: DRAMMA E MATEMATICA!

Solitamente sul blog Scienza e Musica l’argomento centrale di un post è di carattere scientifico-matematico o musicale o entrambe le cose.
Oggi però ci concentriamo sul mondo degli anime/manga e in particolare sull’opera intitolata Banana Fish. Quella che segue è una sorta di recensione/analisi, ma alla fine si parlerà anche di qualche riferimento matematico.
Di primo acchito il nome sembra richiamare qualcosa di divertente e ambiguo; ecco, qualche spezzone a parte, l’opera è tutt’altro che una commedia!
Banana Fish nasce come manga, classificato abbastanza impropriamente come shōjo (ovvero come una storia rivolta principalmente ad un pubblico femminile) per opera del fumettista giapponese Akimi Yoshida, che lo pubblicò dal 1985 sino al 1994.
L’opera è stata citata da Frederik L. Schodt nel suo libro Dreamland Japan come "uno dei pochi manga shōjo che un uomo può leggere senza vergognarsi”.
Nel 2018 è stato finalmente mandato in onda l’anime omonimo, formato da 24 episodi, basato sulle vicende del manga.

Proviamo qui a sfatare un pregiudizio: i cartoni animati non sono sempre e solo per i bambini o gli adolescenti.
Certamente ognuno di noi ricorda opere meravigliose adatte a tutta la famiglia, come per esempio i classici Disney.
Una buona parte degli anime giapponesi, però, è costituita da opere molto dure, dense di tematiche complesse persino più di gran parte della filmografia e delle serie tv che vanno normalmente in onda.
Vengono trattate tematiche per niente banali come bullismo, depressione, suicidio, terrore, violenze, razzismo, omofobia, pedofilia, sete di potere, disabilità, utilizzo improprio della scienza, significato della vita e della morte e così via.
Alcuni di questi manga/anime scavano così a fondo che la crudezza delle immagini è quasi secondaria rispetto alla profondità dei temi analizzati.
Banana Fish è tra le opere che meglio riassume tutto ciò.
Questo non significa che durante la visione o lettura dell’opera non ci siano, come detto, momenti più leggeri, di comicità tipicamente giapponese, che spezzano un po’ il dramma (o che non esistano anime/manga con tematiche più frivole), ma l’attenzione alla fine si concentra tutta sul dramma stesso.
D’altronde dai drammi spesso nascono capolavori: si pensi per esempio all’atto III dell’opera lirica Tosca di Giacomo Puccini (1858-1924) dove viene intonata la struggente aria E lucevan le stelle, che si conclude con l’emblematica sequenza di parole:

E muoio disperato!
E non ho amato mai tanto la vita!
Tanto la vita!

Ma di cosa parla nello specifico Banana Fish?
Evitando di fornire grossi spoiler e basandomi sull’anime (che è quello che ho visto personalmente), la storia si concentra sulle vicende di un 17enne, Ash Lynx, beniamino di un boss mafioso molto importante nella città di New York, Dino Golzine.
Il vero incipit della storia però non avviene a New York, bensì in Vietnam, ove 12 anni prima del filone principale della vicenda un soldato americano impazzisce improvvisamente, tanto da uccidere alcuni suoi compagni d’armi. Il suddetto soldato è il fratello maggiore di Ash, Griffin Callenreese.
Facendo ritorno al presente, Ash è sempre seriamente intenzionato a scoprire cosa sia davvero successo al fratello, in particolare dopo che per strada un uomo gli è morto dinanzi agli occhi pronunciando come ultime parole l’emblematica dicitura “Banana Fish” e consegnandogli un piccolo flacone con all’interno una polvere bianca.
Questo flacone è il casus belli della storia iniziale: Dino Golzine è infatti intenzionato a recuperarlo a tutti i costi, persino se ciò dovesse significare mettersi contro il suo "prediletto" Ash.
Nel frattempo arriva a New York un giornalista giapponese, Ibe Shunichi, assieme al suo giovane assistente 19enne Okumura Eiji. I 2 giapponesi sono seriamente intenzionati ad intervistare Ash al fine di realizzare un reportage sulle gang giovanili.
Tuttavia, ad un certo punto irrompe nel locale dove si stava realizzando l’intervista una banda di manigoldi commissionata da Golzine.
Nella confusione, Eiji viene rapito assieme a Skip, amico di Ash. Quest'ultimo si lancia subito all’inseguimento della banda e da quel momento in poi incomincia una serie di vicende da mozzare il fiato.
Questa è la premessa dell’intrigante vicenda. Sarebbe però riduttivo affermare che si tratti soltanto di una storia di mafia, sparatorie ed inseguimenti.
Il vero nocciolo della questione risiede nella vita che il giovane Ash si trova purtroppo ad intraprendere, non da quel momento, ma da quando era appena un bambino innocente.
Il piccolo Ash è vittima di continue violenze sessuali da parte di uomini (anche per via della sua grande bellezza), tra cui il boss Golzine, che lo tratta come fosse un giocattolo con cui divertirsi e non un essere umano! In una scena molto pesante Ash afferma di essere “il gabinetto” di Golzine! Come se questo non bastasse, non solo il giovane subisce violenze inimmaginabili, ma questi atti di violenza vengono persino registrati!
Insomma le sofferenze del piccolo Ash ricordano quelle di Gatsu, il protagonista del manga/anime Berserk, di cui abbiamo parlato un po' nel post L’eclissi tra scienza e cultura varia (cliccate qui per leggerlo). In particolar modo nel manga Berserk (infatti nell'anime del 1997 questo dettaglio è solamente intuibile) viene data la rappresentazione di questi atti immondi nei confronti del piccolo Gatsu e da quel momento in poi Gatsu, così come Ash, avrà alcuni momenti di reazione di immensa rabbia qualora qualcuno lo provi anche solo a toccare con un dito. Di seguito la parte più "soft" della terribile scena dal manga Berserk.

I parallelismi tra Banana Fish e Berserk non finiscono qui: se ricordate ho raccontato come l’evento dell’eclissi in Berserk fosse la rappresentazione dell’orrore puro, al di là dell’elemento fantasy ivi presente.
Bene, in un episodio compreso tra le prime 10 puntate di Banana Fish (rimango vago così da non spoilerare troppo) si assiste ad una lunga scena che è equiparabile a quella dell’eclissi, anzi forse è pure più agghiacciante!
L’impatto emotivo di quella scena è dilaniante e ciò che la rende forse ancora più straziante è il fatto che l’elemento che porta a tutto ciò è un frutto della ricerca scientifica (non posso dire di più) adoperato per scopi politici-militari, un po’ come (nella realtà) la bomba atomica e il gas iprite (arma supervisionata dal chimico tedesco Fritz Haber durante la Prima Guerra Mondiale; se volete approfondire circa la figura di Haber potete leggere, cliccando qui, l'ottimo post di Popinga). 

MECCANICA QUANTISTICA: PACCHETTI D'ONDA E FUNZIONI D'ONDA DI PIÙ PARTICELLE

Continuiamo il nostro viaggio inerente ai rudimenti essenziali della meccanica quantistica.
Prima di far ciò, l’elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: “L’equazione di Schrödinger: una “semplice” introduzione”;
- puntata 2: “Equazione di Schrödinger in forma operatoriale e regole di commutazione”.

Per introdurre l’equazione di Schrödinger ci siamo riferiti a delle onde piane in una singola dimensione spaziale del tipo  
Dal punto di vista matematico le onde piane sono ottime (con il piccolo difetto di essere normalizzabili solo alla delta di Dirac, ma non preoccupiamoci troppo di questo dettaglio per ora).
Il problema si presenta dal punto di vista fisico: l’onda piana infatti è un’entità totalmente delocalizzata nello spazio!
Che diavolo significa?
Significa semplicemente che tali onde si estendono in modo infinito nello spazio.
Vediamo questa bella animazione sulla propagazione di un’onda piana presa da Wikipedia:

Dunque se si cerca qualcosa che abbia un maggiore significato fisico, cioè un’entità localizzata nello spazio, l’onda piana non è sicuramente lo strumento adeguato.
La soluzione a tale problema si trova nel concetto di pacchetto d’onda.
Sostanzialmente quello che si va a fare è considerare un pacchetto d’onda che abbia appunto un’estensione finita Δx e una durata finita Δt. Guardiamo a tal proposito un’altra animazione presa da Wikipedia:

Avete quindi potuto osservare come il pacchetto sia ben localizzato tra 2 estremi.
Senza ancora immettere i dettagli relativi alla meccanica quantistica, diciamo che il numero di oscillazioni (cicli) N contenute nel nostro pacchetto è fornito dalle seguenti relazioni:

ove λ è la lunghezza d’onda e T il periodo. In particolare, possiamo esprimere il vettore d’onda (in questo caso potremmo chiamarlo più propriamente numero d’onda) k e la pulsazione ω del pacchetto come:

Se ammettiamo che N non sia un numero fissato, ma presenti invece una certa indeterminazione (assumiamo per semplicità che sia ΔN = 1), allora avremmo le seguenti indeterminazioni:

Ricordando poi che
dove ν (lettera greca "ni") denota la frequenza, allora con semplici passaggi algebrici si constata che:
Quello che si può concludere è che l’onda piana ha i parametri fondamentali k, ω, ν fissati, mentre il pacchetto (come si nota dalle “relazioni di indeterminazione” appena scritte) risulta caratterizzato da una banda (range) di frequenze e numeri d’onda nell’intorno di k e ν.
Nell’ambito quantistico quale funzione può essere usata per definire un pacchetto d’onda?
Beh è sufficiente considerare una combinazione lineare continua di onde piane (che abbiamo già avuto modo di introdurre in un post precedente):
Naturalmente il fatto di considerare combinazioni lineari di onde piane non è l’unico modo di ottenere dei pacchetti; esistono per esempio i pacchetti d’onda gaussiani.
Per i nostri scopi accontentiamoci però del pacchetto definito dalla formula precedente.
Vi starete forse chiedendo: ma come è possibile che combinando varie onde piane (che abbiamo detto essere entità delocalizzate) si possa ottenere un’entità limitata nello spazio come il pacchetto?