MECCANICA QUANTISTICA: NORMALIZZAZIONE ED EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Riprendiamo il nostro viaggio nei rudimenti della meccanica quantistica che avevamo cominciato tempo fa.

Ecco l'elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: "L'equazione di Schrödinger: una "semplice" introduzione";

- puntata 2: "Equazione di Schrödinger in forma operatoriale e regole di commutazione".

- puntata 3: "Meccanica quantistica: pacchetti d'onda e funzioni d'onda di più particelle".

L'obiettivo del presente post è arrivare a derivare l'importante equazione di continuità.

Per far questo, cominciamo dicendo che, poiché $|\psi(\vec{r},t)|^2 \mathrm{d} \vec{r}$ rappresenta una probabilità, allora se noi andiamo ad integrare questa quantità su tutto lo spazio occorre che questa probabilità sia 1:

Non ha mai senso parlare infatti di una probabilità che superi 1, cioè il 100%.

Quella appena scritta prende il nome di condizione di normalizzazione.
La condizione ci fa anche capire che le funzioni d’onda devono essere necessariamente funzioni a quadrato sommabile.
Al tempo iniziale possiamo normalizzare all’unità la funzione d’onda, come appena detto.
Rimane un fattore di fase arbitrario che possiamo fissare a piacere perché, se mantenuto coerentemente, non avrà conseguenze fisiche.
Tuttavia, affinché tutto ciò sia coerente, è necessario che l’equazione di Schrödinger garantisca la normalizzazione nel futuro.
Se dovessimo infatti rinormalizzare la funzione d’onda ad ogni istante, l’equazione non sarebbe più soddisfatta!
Occorre pertanto che:

Andiamo a vedere se l’equazione di Schrödinger garantisce tale conservazione della norma. Partiamo dall’equazione di Schrödinger generale

e dalla sua forma complessa coniugata (quella dell'asterisco è un'altra notazione comune per indicarla)

Moltiplichiamo la prima per $\psi^*$ e la seconda per $\psi$, dopodiché sottraiamo. Ne risulta:

giacché

Adesso andiamo ad integrare quanto ottenuto su un volume $V$:

La norma risulta dunque conservata se vale

Se interpretiamo le funzioni $\psi$ come rappresentazioni di uno spazio vettoriale, questa relazione si può riscrivere come:

cioè la conservazione della norma viene assicurata se l’hamiltoniana è un operatore hermitiano.
Scritta così potreste non aver capito molto, quindi cerchiamo di chiarire meglio cosa sia un operatore hermitiano, che è un concetto importantissimo ai fini della meccanica quantistica.

MECCANICA QUANTISTICA: PACCHETTI D'ONDA E FUNZIONI D'ONDA DI PIÙ PARTICELLE

Continuiamo il nostro viaggio inerente ai rudimenti essenziali della meccanica quantistica.
Prima di far ciò, l’elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: “L’equazione di Schrödinger: una “semplice” introduzione”;
- puntata 2: “Equazione di Schrödinger in forma operatoriale e regole di commutazione”.

Per introdurre l’equazione di Schrödinger ci siamo riferiti a delle onde piane in una singola dimensione spaziale del tipo  
Dal punto di vista matematico le onde piane sono ottime (con il piccolo difetto di essere normalizzabili solo alla delta di Dirac, ma non preoccupiamoci troppo di questo dettaglio per ora).
Il problema si presenta dal punto di vista fisico: l’onda piana infatti è un’entità totalmente delocalizzata nello spazio!
Che diavolo significa?
Significa semplicemente che tali onde si estendono in modo infinito nello spazio.
Vediamo questa bella animazione sulla propagazione di un’onda piana presa da Wikipedia:

Dunque se si cerca qualcosa che abbia un maggiore significato fisico, cioè un’entità localizzata nello spazio, l’onda piana non è sicuramente lo strumento adeguato.
La soluzione a tale problema si trova nel concetto di pacchetto d’onda.
Sostanzialmente quello che si va a fare è considerare un pacchetto d’onda che abbia appunto un’estensione finita Δx e una durata finita Δt. Guardiamo a tal proposito un’altra animazione presa da Wikipedia:

Avete quindi potuto osservare come il pacchetto sia ben localizzato tra 2 estremi.
Senza ancora immettere i dettagli relativi alla meccanica quantistica, diciamo che il numero di oscillazioni (cicli) N contenute nel nostro pacchetto è fornito dalle seguenti relazioni:

ove λ è la lunghezza d’onda e T il periodo. In particolare, possiamo esprimere il vettore d’onda (in questo caso potremmo chiamarlo più propriamente numero d’onda) k e la pulsazione ω del pacchetto come:

Se ammettiamo che N non sia un numero fissato, ma presenti invece una certa indeterminazione (assumiamo per semplicità che sia ΔN = 1), allora avremmo le seguenti indeterminazioni:

Ricordando poi che
dove ν (lettera greca "ni") denota la frequenza, allora con semplici passaggi algebrici si constata che:
Quello che si può concludere è che l’onda piana ha i parametri fondamentali k, ω, ν fissati, mentre il pacchetto (come si nota dalle “relazioni di indeterminazione” appena scritte) risulta caratterizzato da una banda (range) di frequenze e numeri d’onda nell’intorno di k e ν.
Nell’ambito quantistico quale funzione può essere usata per definire un pacchetto d’onda?
Beh è sufficiente considerare una combinazione lineare continua di onde piane (che abbiamo già avuto modo di introdurre in un post precedente):
Naturalmente il fatto di considerare combinazioni lineari di onde piane non è l’unico modo di ottenere dei pacchetti; esistono per esempio i pacchetti d’onda gaussiani.
Per i nostri scopi accontentiamoci però del pacchetto definito dalla formula precedente.
Vi starete forse chiedendo: ma come è possibile che combinando varie onde piane (che abbiamo detto essere entità delocalizzate) si possa ottenere un’entità limitata nello spazio come il pacchetto?

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN FORMA OPERATORIALE E REGOLE DI COMMUTAZIONE

Qualche mese fa abbiamo fornito su questo blog una prima “semplice” introduzione all’equazione di Schrödinger, cioè all’equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica (cliccate qui per leggere il post).
Cerchiamo ora di ampliare un po’ la nostra visione su tale singolare equazione (e non solo), andando a parlare brevemente di strumenti matematici a dir poco essenziali nell’ambito della fisica quantistica: gli operatori.
Nei termini più semplici possibili, possiamo pensare ad un operatore come ad una funzione speciale che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati.
Come dice la denominazione stessa, lo spazio degli stati (detto anche spazio delle fasi) è lo spazio di un sistema (avente n gradi di libertà) i cui punti vanno a rappresentare in modo univoco tutti e soli i possibili stati del sistema stesso.
In particolare, quelle che noi in meccanica classica consideriamo le osservabili (energia, velocità, momento angolare, ecc.), in meccanica quantistica vanno considerate come operatori, non come semplici funzioni o numeri.
Per esempio, in meccanica classica, se dovessimo scrivere l’equazione che va a rappresentare l’energia totale 𝛜 di una singola particella, scriveremmo una formula del tipo:

 

dove p denota la quantità di moto (detta anche momento lineare o impulso), m la massa della particella e V(r) è l’energia potenziale; in meccanica quantistica, data questa formula, andremmo a compiere delle sostituzioni formali del tipo
Qui ∇ è il solito operatore nabla, che affiancato ad una funzione scalare ne fornisce il gradiente.
Abbiamo in pratica sostituito l’energia e il momento lineare con degli operatori; la scelta non è stata fatta a caso, ma è dettata dall’applicazione delle trasformate di Fourier tra lo spazio reale e lo spazio reciproco (ciò lo vedremo un po' meglio magari in un post futuro).
In meccanica quantistica, infatti, o si lavora nello spazio reale, cioè nello spazio delle coordinate, oppure si lavora nello spazio dei momenti. Sono 2 spazi che fondamentalmente non si parlano direttamente. Il "telefono" che consente una "comunicazione" tra i suddetti spazi sono proprio le trasformate di Fourier.
Per adesso ci stiamo riferendo allo spazio reale.
Possiamo allora definire altri operatori:
Va sottolineato che il momento lineare p è indipendente dalla posizione r e vive nel suo spazio reciproco, ma siccome ci stiamo riferendo allo spazio reale, la sua espressione viene “tradotta” nello spazio reale come -iℏ∇. L’operatore H è chiamato operatore hamiltoniano e riveste un ruolo cruciale nell’ambito della meccanica quantistica.
Tutto ciò permette di riscrivere l’equazione di Schrödinger generale come:

Si noti l’eleganza di questa formulazione operatoriale dell’equazione di Schrödinger rispetto a quella a cui eravamo pervenuti nel precedente post.
Spesso introdurre nuovi concetti come gli operatori (dunque complicare inizialmente le cose) serve poi a rendere maggiormente semplice ed elegante ciò che si sta studiando.