L'ECLISSI TRA SCIENZA E CULTURA VARIA

Se c’è un fenomeno particolarmente suggestivo che ha come protagonista il nostro satellite naturale, la Luna, è sicuramente l’eclissi (o eclisse).  

Abbiamo già avuto modo di approfondire un po’ sul moto della Luna nel post “La Luna, Keplero e i draghi”, che consiglio di rileggere (cliccando qui) come premessa a quanto segue ora.
Cominceremo il nostro viaggio dagli aspetti scientifici, andando a scoprire un po’ in dettaglio come si originano le eclissi, dopodiché amplieremo la nostra prospettiva alla cultura in generale, andando a capire come il fenomeno dell’eclissi abbia avuto rilevanti influenze in ambito letterario, cinematografico, artistico, musicale e persino nel mondo dei manga/anime.
Incominciamo con delle semplici definizioni, che dovreste già ben conoscere, ma è bene ricordare.
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si trova tra la Luna e il Sole.
Una eclisse di Sole si verifica invece quando è la Luna a frapporsi tra la Terra e il Sole.
Una domanda interessante è la seguente: perché le eclissi sono dei fenomeni abbastanza rari?
Per rispondere, ricordiamo che il Sole, durante l’anno, descrive sulla sfera celeste un cerchio massimo denominato eclittica, nome derivante dal fatto che la Luna viene a trovarsi su tal cerchio durante le eclissi.
Beh se adesso supponessimo per un attimo che l’orbita della Luna si trovi perfettamente sul piano dell’eclittica, allora avremmo un’eclissi lunare ad ogni plenilunio ed un’eclissi solare ad ogni novilunio.
Sarebbe suggestivo no?
La natura non funziona in generale come noi vorremmo e l’orbita della Luna risulta inclinata di 5°9’ sul piano dell’orbita terrestre.
Ciò implica che le eclissi si manifestano soltanto quando la Luna alle sigizie, e naturalmente pure il Sole, si trovano in vicinanza dei nodi.

Con la trigonometria sferica si potrebbe dimostrare che per il verificarsi di un’eclisse lunare, anche parziale, è necessario che la distanza Sole-nodo (denotiamola con ∆λ) sia in generale minore di circa 9°,9’, mentre per un’eclisse totale la suddetta distanza deve essere inferiore (4°,6).
Per il verificarsi di un’eclissi solare serve invece che, in generale, ∆λ < 15°,5.
Ne consegue che le eclissi di Sole sono più frequenti di quelle lunari. Ce ne sono infatti almeno 2 ogni anno e, in casi eccezionali, possono arrivare anche a 5, mentre in un anno si possono verificare da 0 a 3 eclissi lunari.
ATTENZIONE: qui si sta parlando di eclissi nel significato più generale della parola; è chiaro che se considerassimo soltanto le eclissi totali di Sole, quelli sì sono eventi di straordinaria rarità, tanto che possono trascorrere secoli prima di poterne apprezzare un’altra dallo stesso luogo. Già un’eclissi parziale di Sole richiede in media 2,5 anni per poterla osservare in un certo luogo.
Per eclisse solare totale intendiamo quel fenomeno per cui la Luna riesce a sovrapporsi perfettamente al disco del Sole che osserviamo in cielo, cosa che può avvenire perché dovete pensare che è vero che il nostro satellite naturale è molto più piccolo del Sole, ma allo stesso tempo c’è un’immensa distanza che separa tali corpi celesti e dunque, anche se molto raramente, tale “magia” può accadere.  
L’ultima eclissi totale solare visibile dall’Italia si ebbe il 15 febbraio 1961. Di seguito un filmato d'epoca meraviglioso che illustra la suddetta eclissi vista dalla spiaggia di Roseto degli Abruzzi, il tutto accompagnato dallo stupendo Tema di Limelight, composizione colonna sonora dell'omonimo film del 1952 di Charlie Chaplin, composta da Chaplin stesso, qui interpretata dalla Mantovani Orchestra. Nella parte finale del filmato vengono riportati alcuni dettagli dell'evento, con accompagnamento musicale fornito dal Pas De Deux (Atto 1 n.5), tratto dal balletto Giselle di Adam, suonato dalla Filarmonica di Vienna sotto la direzione nientemeno che di Herbert von Karajan. Insomma un video letteralmente da pelle d'oca!
Un’eclisse totale di Sole può durare al massimo 7,5 minuti nelle regioni equatoriali, mentre la durata delle eclissi parziali può superare anche le 3 ore.
Facendo ritorno ad una trattazione generale, dato che il Sole impiega circa 6 mesi per andare da un nodo all’altro, le eclissi risultano distribuite in 2 gruppi, cioè nelle cosiddette stagioni delle eclissi, distanti 6 mesi l’una dall’altra.
Il tempo che impiega il Sole per passare allo stesso nodo è chiamato anno delle eclissi.
Siccome il nodo anticipa di 19°,35 in un anno, a causa del fenomeno della retrogradazione dei nodi, il Sole impiega 19 o 18 giorni meno dell’anno solare per passare 2 volte al medesimo nodo.
La media è di 18,63 giorni.
Ergo l’anno delle eclissi è formato da 365,25 - 18,63 = 346,62 giorni.
Ne consegue che il passaggio del Sole da un nodo all’altro avviene ogni 346,62/2 = 173,31 giorni, ovvero ogni circa 6 mesi, come già detto.
In ogni caso, sin dall’antichità era possibile prevedere tali fenomeni, per esempio in Cina e ovviamente nell’antica Grecia.
Il meccanismo delle eclissi fu infatti compreso da svariati filosofi greci, tra cui Anassagora, Filolao ed Empedocle, dalla metà del V secolo a.C.
Nel secolo seguente, Aristotele considerò l’eclissi come una prova del fatto che la Terra fosse sferica.
Egli infatti scrisse, nel 350 a.C. nel trattato cosmologico in 4 libri intitolato De caelo, cioè “Sul cielo”, quanto segue:

“È la forma della superficie della Terra che, essendo sferica, determina la forma di questa linea.” (De caelo, II, 14)

A seguito di questa introduzione di carattere generale, analizziamo un po’ meglio le eclissi solari e quelle lunari.

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN FORMA OPERATORIALE E REGOLE DI COMMUTAZIONE

Qualche mese fa abbiamo fornito su questo blog una prima “semplice” introduzione all’equazione di Schrödinger, cioè all’equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica (cliccate qui per leggere il post).
Cerchiamo ora di ampliare un po’ la nostra visione su tale singolare equazione (e non solo), andando a parlare brevemente di strumenti matematici a dir poco essenziali nell’ambito della fisica quantistica: gli operatori.
Nei termini più semplici possibili, possiamo pensare ad un operatore come ad una funzione speciale che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati.
Come dice la denominazione stessa, lo spazio degli stati (detto anche spazio delle fasi) è lo spazio di un sistema (avente n gradi di libertà) i cui punti vanno a rappresentare in modo univoco tutti e soli i possibili stati del sistema stesso.
In particolare, quelle che noi in meccanica classica consideriamo le osservabili (energia, velocità, momento angolare, ecc.), in meccanica quantistica vanno considerate come operatori, non come semplici funzioni o numeri.
Per esempio, in meccanica classica, se dovessimo scrivere l’equazione che va a rappresentare l’energia totale 𝛜 di una singola particella, scriveremmo una formula del tipo:

 

dove p denota la quantità di moto (detta anche momento lineare o impulso), m la massa della particella e V(r) è l’energia potenziale; in meccanica quantistica, data questa formula, andremmo a compiere delle sostituzioni formali del tipo
Qui ∇ è il solito operatore nabla, che affiancato ad una funzione scalare ne fornisce il gradiente.
Abbiamo in pratica sostituito l’energia e il momento lineare con degli operatori; la scelta non è stata fatta a caso, ma è dettata dall’applicazione delle trasformate di Fourier tra lo spazio reale e lo spazio reciproco (ciò lo vedremo un po' meglio magari in un post futuro).
In meccanica quantistica, infatti, o si lavora nello spazio reale, cioè nello spazio delle coordinate, oppure si lavora nello spazio dei momenti. Sono 2 spazi che fondamentalmente non si parlano direttamente. Il "telefono" che consente una "comunicazione" tra i suddetti spazi sono proprio le trasformate di Fourier.
Per adesso ci stiamo riferendo allo spazio reale.
Possiamo allora definire altri operatori:
Va sottolineato che il momento lineare p è indipendente dalla posizione r e vive nel suo spazio reciproco, ma siccome ci stiamo riferendo allo spazio reale, la sua espressione viene “tradotta” nello spazio reale come -iℏ∇. L’operatore H è chiamato operatore hamiltoniano e riveste un ruolo cruciale nell’ambito della meccanica quantistica.
Tutto ciò permette di riscrivere l’equazione di Schrödinger generale come:

Si noti l’eleganza di questa formulazione operatoriale dell’equazione di Schrödinger rispetto a quella a cui eravamo pervenuti nel precedente post.
Spesso introdurre nuovi concetti come gli operatori (dunque complicare inizialmente le cose) serve poi a rendere maggiormente semplice ed elegante ciò che si sta studiando.

IL SINCROTRONE: LA RADIAZIONE, LA MACCHINA E LE APPLICAZIONI

Volevo condividere con i lettori di Scienza e Musica una presentazione che mi sono trovato a realizzare relativamente al sincrotrone, dove si parla nello specifico della radiazione di sincrotrone, di come è costituita la macchina sincrotrone e vengono illustrate alcune delle più interessanti applicazioni.

Piccola nota: è comune errore (purtroppo capitato pure al sottoscritto) scrivere "sincrotone" invece di sincrotrone. Il termine corretto è sincrotrone! Ho provveduto a sistemare tale refuso nei vari punti dove era presente e non mi ero inizialmente accorto.

Vediamo ora alcune precisazioni che possono essere utili al lettore non esperto per una piena comprensione della suddetta presentazione, in cui alcuni dettagli vengono dati per scontato.

LA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ E IL CONTRIBUTO DEL FISICO FRANCESCO ZANTEDESCHI

Il presente post nasce da una segnalazione via Twitter da parte di Marco Fulvio Barozzi (alias il mitico Popinga) di un thread dedicato alla figura di Francesco Zantedeschi, un abate e fisico italiano, che apportò, come vedremo, importanti contributi nell'ambito dell'elettromagnetismo.
In passato abbiamo già narrato alcune vicende essenziali nella storia dell'elettromagnetismo, come per esempio la disputa tra Galvani e Volta (cliccate qui) e gli esperimenti di Ørsted, Faraday e Ampère (cliccate qui).
In particolare, abbiamo avuto modo di analizzare alcuni contributi essenziali e parte della biografia del grande fisico e chimico britannico Michael Faraday (1791-1867) nel post "Faraday e l'elettrolisi".
Qui ci focalizzeremo su un'importantissima equazione, la legge spesso chiamata di Faraday-Neumann-Lenz e scopriremo il contributo essenziale del poco conosciuto Zantedeschi.
Innanzitutto presentiamo un po' meglio il personaggio protagonista del post.

Figlio di Bartolomeo e Domenica Loro, «ricca commerciante famiglia che per le vicende della guerra di Rivoli precipuamente fu ridotta in gravi ristrettezze di fortuna», Francesco Zantedeschi nacque a Dolcè (in provincia di Verona) il 18 agosto 1797.
Seguì la strada del sacerdozio e fu ordinato sacerdote dal Vescovo di Verona Innocenzo Maria Lirutti nel marzo del 1822.
Zantedeschi si dedicò subito all'insegnamento, cominciando nel Liceo Bagatta di Desenzano, ove insegnò per 4 anni fisica e storia naturale.
A questi anni risale il suo trattatello Geologia dei terreni che circondano il lago di Garda, rimasto inedito.
Nel 1827 venne chiamato a Pavia dal vescovo Luigi Tosi, che gli affidò le cattedre di matematica e fisica nel seminario vescovile e dove frequentò l'università assistendo alle lezioni di eminenti professori come Antonio Maria Bordoni, Giuseppe Moretti, Bartolomeo Panizza, Giacomo Zendrini o l'abate Pietro Configliachi e stringendo con loro rapporti di studio e d'amicizia.
Fu proprio qui a Pavia che Zantedeschi effettuò i suoi primi esperimenti con i magneti, di cui parleremo meglio in seguito.
La sua carriera di fisico venne interrotta dal vescovo di Verona Giuseppe Grasser, che nel 1829 lo chiamò ad insegnare filosofia teoretica e pratica nel suo seminario.
Questa "parentesi filosofica" non fu del tutto improduttiva: oltre a pubblicare (e poi rieditare) gli Elementi della sua filosofia e una dissertazione sui Principii generatori delle umane cognizioni «accolta con molto favore dall'Accademia delle Scienze di Berlino», Zantedeschi non rinunciò agli studi e alle ricerche di fisica riprendendo con l'abate Giuseppe Zamboni, suo vecchio maestro, alcuni esperimenti sui magneti, interessandosi alle osservazioni meteorologiche e al fenomeno della rugiada e ricevendo una medaglia d'oro dall'Ateneo di Brescia per le sue Ricerche sul termo-elettricismo dinamico, luci-magnetico ed elettrico.
La "parentesi filosofica" ebbe termine nella primavera del 1838 quando Zantedeschi venne chiamato a ricoprire la cattedra di fisica e matematica applicata al liceo di Santa Caterina di Venezia (ora noto come liceo classico "Foscarini").
Si dedicò a questo insegnamento con passione: egli stesso attesta che alle sue lezioni partecipavano addirittura sino ad 80 studenti.
Fu un periodo propizio anche per ricominciare con efficacia gli studi e le pubblicazioni su varie tematiche della fisica.
Nel luglio 1849, a seguito della morte di Antonio Perego, fino a quel momento titolare della cattedra di Fisica, Zantedeschi ottenne l'importante cattedra all'Università di Padova, cattedra mantenuta sino al 1857. Da qualche anno iniziò infatti a manifestare gravi problemi alla vista; venne privato della cattedra, la quale fu prontamente ceduta a Bernardino Zambra.
Zantedeschi avvertì tale privazione come un'ingiustizia alla quale non volle rassegnarsi; tentò pure di appellarsi al Governatore Generale, l'Arciduca Ferdinando Massimiliano, ma senza esito.
In ogni caso, oltre all'insegnamento, durante gli anni trascorsi a Padova il fisico si dedicò a far restaurare svariati apparecchi dell'Università e ne fece costruire di nuovi, valendosi dell'abile opera di Angelo Sonda, meccanico alle sue dipendenze, come pure di collaboratori esterni.
Zantedeschi continuò ad interessarsi alla fisica sino a quasi la fine della sua vita, occupandosi di temi svariati.
Sono infatti numerosi i suoi scritti fino al 1870 (l'elenco totale delle sue pubblicazioni comprende oltre 250 scritti).
Successivamente sopravvenne un declino fisico accentuato, che lo costrinse in letto.
Il fisico italiano esalò l'ultimo respiro, a Padova, il 29 marzo 1873.
Due anni più tardi le sue ceneri vennero traslate a Verona, nel pantheon "Ingenio claris" del cimitero.
A Dolcè, suo paese natale, è stata murata una lapide con un suo busto in bronzo all'interno del palazzo municipale, nel 1914.
Il Comune di Verona gli ha dedicato anche una strada nel 1960.
Durante la sua vita fu socio di numerose accademie e società scientifiche rilevanti, tra cui anche l'Accademia delle Scienze di Torino dal 1837, e l'Accademia dei Lincei dal 1849.
Bene, è giunto il momento di focalizzarci sulla fisica e in particolar modo sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz.
Per una piena comprensione della suddetta equazione e delle vicende ad essa legate è tuttavia necessario prima compiere una breve premessa sugli aspetti essenziali del magnetismo, argomento che non abbiamo mai avuto modo di trattare esplicitamente su questo blog.

L'EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER: UNA "SEMPLICE" INTRODUZIONE

Tante volte nel corso degli anni in questo blog abbiamo citato la famosa equazione di Schrödinger alla base della meccanica quantistica, tuttavia non siamo mai entrati nel dettaglio. In particolare, non abbiamo mai visto da dove esce fuori.

In questo post cerchiamo finalmente di capire come si arriva a definire tale equazione.

In realtà per il momento ci accontenteremo di ricavarla nel caso più semplice possibile, dato che ci sono innumerevoli modi in cui poter scrivere e ricavare la celebre formula.

Come premessa alla narrazione che seguirà, consiglio il lettore di rileggere l'introduzione storica alla meccanica quantistica (e non solo) del Carnevale della Fisica n.42 (cliccate qui) e il post relativo alla figura di de Broglie e il dualismo onda-corpuscolo (cliccate qui) che compare in meccanica quantistica.

La meccanica quantistica parte dall'idea essenziale che tutto quanto (materia e radiazione) possa essere espresso in termini di onde.

In particolare, la meccanica quantistica (o meglio una sua formulazione nota come meccanica ondulatoria) ruota attorno al concetto di funzione d'onda

che si suppone di variabile complessa e dipendente da una posizione r e da un tempo t.

Una funzione d'onda è ciò che va a descrivere il sistema in esame, qualunque esso sia (naturalmente ricordiamo che la meccanica quantistica rende davvero rilevanti i suoi effetti solo nell'ambito del mondo microscopico).

Ma cosa significa veramente la funzione d'onda?

L'interpretazione più comune è quella fornita da Max Born (1882-1970) nel 1926.

Costui la definì come l'oggetto per il quale

rappresenta la probabilità di trovare la particella in questione nella posizione r (tridimensionale) al tempo t, a seguito di una misura di posizione.

Infatti, se scomponiamo l'espressione appena scritta, la parte

denota una densità di probabilità, la quale moltiplicata appunto per un volumetto dr restituisce una probabilità.

Qual è la situazione più semplice per ricavare l'equazione di Schrödinger?

Beh è il caso di una particella libera, ovvero in assenza di qualsivoglia forma di potenziale.

Per pervenire al nostro obiettivo, dobbiamo innanzitutto fornire un'espressione del momento lineare p (ossia la quantità di moto) della particella:

ove ℏ è la costante di Planck ridotta e

è il vettore d'onda mentre λ designa la lunghezza d'onda.

Abbiamo per semplicità considerato solo i moduli di queste quantità (che dovrebbero essere scritte in forma vettoriale).

Un altro aspetto che ci interessa è esprimere l'energia E.

Ricordiamo la nota legge

in cui h è la costante di Planck (in versione non ridotta) e ν è la frequenza; possiamo tuttavia esprimere l'espressione in forma più comoda per i nostri fini.

Ricordiamo infatti che

e

ove ω è la pulsazione.

Se fate le opportune (banali) sostituzioni, vi renderete subito conto che

Ci chediamo a questo punto: qual è l'onda più semplice della quale è possibile definire in maniera esatta il vettore d'onda k e l'energia E?

Risposta: l'onda piana (che per semplicità andiamo a considerare in una singola dimensione spaziale).

Il passaggio che vi potrebbe risultare oscuro è la definizione della velocità v.

Questa è una cosiddetta velocità di fase e si esprime con la semplice relazione

Concentriamoci adesso sull'energia E. Siccome abbiamo detto che stiamo considerando il caso della particella libera, non sussiste alcun potenziale e l'unico contributo energetico è quindi quello di natura cinetica.

Sapete (spero) bene che l'energia cinetica è fornita da

In realtà c'è un modo equivalente di esprimerla in termini di momento lineare:

Questa è l'energia che ci interessa. In verità, andando a sostituire la facile espressione di p fornita poco fa e ricordando che (nella forma più generale possibile)

possiamo scrivere quella che viene chiamata relazione di dispersione:

in cui viene ben evidenziata la dipendenza della pulsazione ω dal vettore d'onda k.

Bene rifocalizzate ora la vostra attenzione sull'espressione dell'onda piana ψ.

Proviamo a farne la derivata rispetto al tempo:

Come vedete, è molto semplice, dato che la derivata di un esponenziale ci restituisce l'esponenziale stesso (quindi la funzione), coefficienti particolari a parte.

Facciamo un banale passaggio algebrico per isolare in un membro dell'equazione la ψ:

Qualcuno potrebbe avere delle perplessità sul fatto che l'unità immaginaria -i presente nel secondo membro è diventata in sostanza +i nell'altro membro della relazione.

In realtà la questione è molto semplice, basta ricordare come funziona la divisione tra numeri complessi.

Se non ricordate, potete vedere qui. Applicate la definizione al nostro caso e noterete che tutto torna!

A questo punto, siccome ci piace derivare, riprendiamo l'onda piana e deriviamo non una, ma ben 2 volte rispetto alla posizione x. Si ottiene semplicemente:

Anche qui preferiamo isolare ψ in un membro:

Abbiamo isolato la ψ in entrambe le operazioni di derivazione in maniera, adesso, da poter eguagliare le formule risultanti:

Andate ora a ridare un'occhiata alla relazione di dispersione.

Fatto?

Bene, tale fondamentale relazione ci consente di riscrivere tutto come:

A questo punto, facendo le ovvie semplificazioni e andando a moltiplicare entrambi i membri per ℏ², si ottiene in definitiva:

Eccola qui: questa è l'equazione di Schrödinger per una particella unidimensionale libera!

Una domanda lecita adesso sarebbe: ma se volessimo considerare pure le altre dimensioni spaziali, come potremmo esprimerla?