Qualche mese fa abbiamo fornito su questo blog una prima “semplice” introduzione all’equazione di Schrödinger, cioè all’equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica (cliccate qui per leggere il post).
Cerchiamo ora di ampliare un po’ la nostra visione su tale singolare equazione (e non solo), andando a parlare brevemente di strumenti matematici a dir poco essenziali nell’ambito della fisica quantistica: gli operatori.
Nei termini più semplici possibili, possiamo pensare ad un operatore come ad una funzione speciale che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati.
Come dice la denominazione stessa, lo spazio degli stati (detto anche spazio delle fasi) è lo spazio di un sistema (avente n gradi di libertà) i cui punti vanno a rappresentare in modo univoco tutti e soli i possibili stati del sistema stesso.
In particolare, quelle che noi in meccanica classica consideriamo le osservabili (energia, velocità, momento angolare, ecc.), in meccanica quantistica vanno considerate come operatori, non come semplici funzioni o numeri.
Per esempio, in meccanica classica, se dovessimo scrivere l’equazione che va a rappresentare l’energia totale 𝛜 di una singola particella, scriveremmo una formula del tipo:
dove p denota la quantità di moto (detta anche momento lineare o impulso), m la massa della particella e V(r) è l’energia potenziale; in meccanica quantistica, data questa formula, andremmo a compiere delle sostituzioni formali del tipo
Qui ∇ è il solito operatore nabla, che affiancato ad una funzione scalare ne fornisce il gradiente.
Abbiamo in pratica sostituito l’energia e il momento lineare con degli operatori; la scelta non è stata fatta a caso, ma è dettata dall’applicazione delle trasformate di Fourier tra lo spazio reale e lo spazio reciproco (ciò lo vedremo un po' meglio magari in un post futuro).
In meccanica quantistica, infatti, o si lavora nello spazio reale, cioè nello spazio delle coordinate, oppure si lavora nello spazio dei momenti. Sono 2 spazi che fondamentalmente non si parlano direttamente. Il "telefono" che consente una "comunicazione" tra i suddetti spazi sono proprio le trasformate di Fourier.
Per adesso ci stiamo riferendo allo spazio reale.
Possiamo allora definire altri operatori:
Va sottolineato che il momento lineare p è indipendente dalla posizione r e vive nel suo spazio reciproco, ma siccome ci stiamo riferendo allo spazio reale, la sua espressione viene “tradotta” nello spazio reale come -iℏ∇. L’operatore H è chiamato operatore hamiltoniano e riveste un ruolo cruciale nell’ambito della meccanica quantistica.
Tutto ciò permette di riscrivere l’equazione di Schrödinger generale come:
Si noti l’eleganza di questa formulazione operatoriale dell’equazione di Schrödinger rispetto a quella a cui eravamo pervenuti nel precedente post.
Spesso introdurre nuovi concetti come gli operatori (dunque complicare inizialmente le cose) serve poi a rendere maggiormente semplice ed elegante ciò che si sta studiando.
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