JOHN VENN E I SUOI DIAGRAMMI

Se doveste chiedere ad un passante di parlare almeno 30 secondi riguardo ad Einstein, Pitagora, Newton o Gauss ci sarebbe una discreta probabilità che qualche minima parola su un aneddoto biografico, citazione o contributo più particolare che li riguarda venga fuori.

Se, invece, chiedeste di parlare di John Venn sono abbastanza convinto che nel migliore (e forse raro) dei casi, a meno che non becchiate un vero appassionato di matematica, la risposta sarebbe "Ah Venn, forse quello dei diagrammi con gli insiemi" e stop!

Trovo abbastanza singolare che di un matematico (ma anche logico e filosofo) che abbia introdotto un concetto così essenziale e semplice (almeno nelle sue fondamenta), tanto da essere studiato ancora oggi generalmente sin dalla prima media, si sappia, ad eccezione degli esperti o patiti di storia della matematica, praticamente nulla.

Questo post sarà incentrato dunque sulla biografia di Venn e poi su qualche aspetto più particolare riguardante i celebri diagrammi.

Innanzitutto, per chi non ricordasse molto riguardo i diagrammi di Venn e le operazioni insiemistiche basilari, ecco di seguito un buon video riassuntivo presente sul canale YouTube di Agostino Perna. 

Siamo ora pronti per tornare nell'Inghilterra del XIX secolo e scoprire la vita di Venn.
John Venn nacque il 4 agosto 1834 nella città portuale inglese Kingston upon Hull (o semplicemente Hull). Aveva una sorella, Henrietta, nata quasi 2 anni prima, nello specifico l'8 ottobre 1832.

La madre, Martha Sykes, morì nel 1840, quando il bimbo era ancora molto piccolo. 

Per quanto concerne il padre, il reverendo Henry Venn, questi era il rettore della parrocchia di Drypool, vicino a Hull, ai tempi della nascita del figlio.

È interessante notare come la famiglia Venn provenisse da una lunga eredità gemella di natura clericale ed evangelica.

Infatti il nonno paterno, anch'esso chiamato John Venn, fu ministro alla famosa confraternita nota come Clapham Sect; un altro Henry Venn, suo bisnonno, fu l'autore di The Complete Duty of Man, un trattato del XVIII secolo che per molte generazioni costituì un manuale pratico fondamentale per il sistema evangelico dei valori cristiani.

Più o meno all'epoca della nascita del futuro matematico, suo padre Henry Venn aggiunse due sermoni alla biografia del proprio nonno (scritta da John Venn di Clapham, ma lasciata incompiuta), sermoni che hanno ulteriormente stabilito l'importanza della religione di famiglia e le responsabilità religiose reciproche di tutti i membri della famiglia.

Con una premessa del genere è lecito aspettarsi che il nostro John ricevette un'educazione molto rigorosa ed indirizzata in prospettiva di un futuro percorso sacerdotale
Egli frequentò prima la Sir Roger Cholmley's School di Highgate, poi la Islington Preparatory School, una scuola privata.

Durante la prima metà dei suoi circa 6 anni trascorsi a scuola, ossia tra il 1846 e il 1853, Venn non fu proprio uno studente modello: era inattivo, aveva cattivi compagni, non mostrava nessun interesse per nessuna materia e restò in una classe bassa nonostante il livello di rendimento della scuola fosse tutt'altro che alto.

In un giorno d'estate del 1850 Venn cominciò ad interessarsi all'algebra e ben presto fece straordinari progressi in matematica, arrivando a leggere una quantità di testi decisamente fuori dal comune per un normale studente.

Tuttavia gli stimoli esterni per continuare in tale direzione non furono molti, giacché non aveva concorrenti che sfidassero il suo talento matematico e nessuno degli alunni più grandi sembrava mostrare alcun interesse per la materia.

Il suo nuovo zelo accademico non passò però inosservato. Ne conseguì infatti un suo trasferimento alle classi superiori, ove strinse peraltro amicizie durature.

Per completezza va detto che, accanto all'istruzione formale appena descritta, Venn ricevette anche una notevole "istruzione informale", a casa, da parte di insegnanti privati.

Quando Venn fu ammesso al Gonville and Caius College il 25 giugno 1853, e immatricolato a Cambridge nell'ottobre dello stesso anno, rappresentò l'ottava generazione della dinastia dei Venn a conquistare l'accesso all'università.

Dopo aver vinto una borsa di studio in matematica al secondo anno di studi, si laureò (a seguito di una prova che consistette in circa 27 ore di risoluzione di 113 problemi) come "sixth Wrangler" nei Mathematical Tripos del 1857, ovvero si classificò al sesto posto tra quegli studenti che avevano conseguito una laurea di prima classe in matematica.

Durante i suoi anni universitari le simpatie evangeliche di Venn, coltivate all'interno della casa di famiglia e ancorate dal timore reverenziale e dal rispetto che provava nei confronti di suo padre, rimasero saldamente al loro posto.

Alla fine degli anni '50 Venn apparteneva ancora al partito evangelico anche se a quel tempo si era fatto altri amici al di fuori delle loro fila, con i quali era solito trascorrere molto tempo.

Inoltre, poco dopo essersi laureato, venne eletto Fellow del Gonville and Caius College, dopodiché, nei 2 anni successivi, fu ordinato sacerdote. 

Già nel 1858 era stato ordinato diacono a Ely, poi, dopo la sua ordinazione sacerdotale, aveva prestato servizio dapprima come curato a Cheshunt, nell'Hertfordshire, e successivamente per un anno come curato a Mortlake, Surrey.

E giungiamo così al 1862. È sicuramente curioso notare come, a differenza di alcuni dei suoi contemporanei più prodigiosi che produssero i loro primi articoli da studenti, all'età di 27 anni Venn non aveva scritto nulla, né per uso privato né per la pubblicazione, a parte lettere settimanali e sermoni.

Tuttavia, ad un certo punto, nel 1861, Venn decise di approfondire circa una questione che lo aveva colpito due anni prima durante la lettura del libro VI ("Sulla logica delle scienze morali") dell'opera, datata 1843, Sistema di logica raziocinativa e induttiva, in cui John Stuart Mill discuteva della "possibilità astratta di una scienza della sociologia, e in particolare di predire il corso delle azioni umane".

Tale ricerca si concretizzò appunto nella prima opera pubblicata, proprio nel 1862, da Venn, cioè Science of History.

Sempre in quell'anno lo studioso fece ritorno all'Università di Cambridge come docente di scienze morali, studiando e insegnando logica e teoria della probabilità.

Oltre al sopracitato trattato di Mill, Venn si era interessato in quegli anni alla logica, filosofia e metafisica, leggendo le opere pure di De Morgan, Boole (di lui abbiamo parlato qui) e John Austin.

Nel primo periodo da docente universitario Venn era preoccupato di non riuscire ad attirare studenti verso le sue lezioni sulle scienze morali e dubitava delle proprie abilità nell'insegnamento.
Ma presto, in particolare a partire dal 1867, le cose cambiarono in suo favore, ottenendo addirittura il permesso di accettare studenti di altri college alle sue lezioni.
Nel 1867 anche la vita privata del matematico ricevette un bello scossone: sposò infatti Susanna Carnegie Edmonstone, la figlia del reverendo Charles Edmonstone.
La coppia ebbe un figlio, John Archibald Venn (1883-1958), che divenne presidente del Queen's College di Cambridge nel 1932 e collaborò col padre alla redazione dell'opera in 10 volumi (pubblicati tra 1922 e 1953) Alumni Cantabrigienses, ossia un registro biografico degli ex membri dell'Università di Cambridge.

Tornando al nostro Venn, va poi detto che il 1866 vide la pubblicazione della sua The Logic of Chance, opera che l'economista John Maynard Keynes (1883-1946) descrisse come "sorprendentemente originale" e che "influenzò notevolmente lo sviluppo della teoria della statistica".

Infatti questo pionieristico trattato, apparso in 3 edizioni tra il 1866 e il 1888, trattava della teoria della probabilità, coprendone i fondamenti, la portata e l'applicazione alla scienza morale e sociale, e soprattutto dimostrò che l'argomento non era solo matematico ma pure filosofico, toccando concetti che stanno al centro del lavoro dei filosofi religiosi Joseph Butler e William Paley e di quello dei metodologi scientifici Whewell e Mill.
Oltre a ciò, The Logic of Chance rappresentò la prima esposizione sistematica della cosiddetta probabilità frequentista, che costituiva un nuovo modo (a posteriori) di affrontare l'argomento probabilità rispetto alla definizione classica di probabilità (che valuta invece gli eventi a priori).
Quanto appena raccontato ci fa comprendere come, verso la fine degli anni '60 dell'Ottocento, l'identità accademica acquisita da Venn (quale insegnante di scienze morali, scrittore di un libro di testo sulla logica e membro di circoli di intellettuali) incominciò a sovrapporsi alla sua identità ereditata di eminente evangelico!

Con grande rammarico del padre, Venn si ritrovò così circondato da "onesti dubbiosi" la cui religiosità risultava decisamente non dogmatica.
Allo stesso tempo, egli emerse sulla piattaforma evangelica pubblica a Cambridge e dintorni.
Non solo continuò ad assumere incarichi ecclesiastici occasionali e prestò servizio come preside junior e senior del Caius College, ma partecipò anche alla società evangelica e contribuì alle pagine del periodico evangelico Christian Observer.
Insomma, l'eredità come pensatore evangelico di Venn, dovuta a suo padre, andò di pari passo con il suo stesso sviluppo come scrittore religioso critico dell'evangelismo!

Già The Logic of Chance includeva diverse discussioni sulla religione naturale e rivelata; ivi si dimostrava che la probabilità non poteva essere utilizzata per argomentazioni progettuali o applicata a casi di testimonianza riguardanti miracoli.

Poi, nel 1869, Venn tenne le sue Hulsean Lectures, pubblicate l'anno successivo. 

Le suddette lezioni vennero presto dimenticate, ma risultano comunque interessanti per aver stabilito una prima forma di "pragmatismo" che ha preceduto il lavoro dei celebri pragmatisti americani Peirce e William James, sia nel nucleo essenziale che in alcune delle sue implicazioni, in particolare sulla razionalità della fede religiosa e la visione della verità in termini di abitudini di azione.

Inoltre, tali lezioni mostravano esplicitamente questa sorta di dualità nella posizione di Venn concernente la religione. 

Da una parte infatti accontentò suo padre, il quale si aspettava che mostrasse quell'irragionevolezza dell'incredulità, basata sui principi dei razionalisti.

Dall'altro lato, però, piuttosto che fornire prove inconfutabili a favore della fede cristiana, i sermoni difendevano la razionalità di vivere religiosamente anche quando mancava la fede nella verità scritturale. 

L'essenza del credo, sosteneva Venn, risiede nelle abitudini a cui dà origine.

Poi sopraggiunse l'importante periodo compreso tra gli anni '70 e la fine degli anni '80 del XIX secolo, periodo in cui Venn si dedicò totalmente allo studio e all'insegnamento della logica, diventando a tutti gli effetti un logico professionista ed ampliando la sua cerchia intellettuale a colleghi di altre università, sia in patria che all'estero, aventi interessi accademici professionali simili.

Sia Symbolic Logic (1881) che The Principles of Empirical or Inductive Logic (1889), i due manuali scritti dopo The Logic of Chance, furono il risultato delle sue lezioni a Cambridge e della pubblicazione, tra il 1874 e il 1880, di alcuni dozzine di articoli su riviste accademiche come Mind, la prima rivista filosofica specializzata in Inghilterra, fondata nel 1876 da Alexander Bain.

In particolare, Symbolic Logic costituì il risultato (di 450 pagine) di un tentativo durato ben due decenni di fornire un senso alla logica algebrica.

Il libro (ritenuto da Keynes come "probabilmente il suo lavoro più duraturo sulla logica") apparve in un momento in cui la riforma booleana della logica, dopo circa 30 anni di silenzi e incomprensioni, iniziava finalmente a concretizzarsi. 

Venn cercò di mettere in contatto il lavoro di Boole con i suoi predecessori continentali e con i suoi seguaci e rivali britannici, americani e tedeschi. 

Ne scaturirono 2 obiettivi peculiari del testo:

1) sostenere che l'originalità di Boole non fosse così completa come si supponeva comunemente; 

2) difendere il sistema di Boole nella sua integrità, mettendo in discussione le modifiche effettuate da Peirce, Schröder e J. Neville Keynes, e protestando contro le alternative di Jevons, MacColl e Frege.

Ma al di là di tutto ciò, lo scopo davvero essenziale dell'opera era quello di mostrare, presumibilmente per la prima volta, cosa fosse veramente la logica algebrica: una logica.
Non la logica, ma una logica; insomma non un'applicazione o una branca della matematica, ma uno sviluppo peculiare della logica tradizionale.

È davvero interessante constatare come Venn si presentò come un "risoluto difensore" e un "ammiratore" di Boole, più booleano di quanto Boole fosse mai stato! 

Con Symbolic Logic Venn introdusse nello specifico una nuova teoria della portata esistenziale, una proposta originale di macchina ragionante e riportò pure la famosa rappresentazione a diagrammi delle proposizioni logiche che ben conosciamo, diagrammi concepiti dal matematico come uno strumento pedagogico, che potremmo paragonare all'utilizzo degli esperimenti per comprendere le leggi della fisica.

Ecco, forse Venn non poteva immaginare che nel XXI secolo i suoi diagrammi sarebbero stati utilizzati persino per creare meme come il seguente!

Immagine tratta da: https://bit.ly/41i9Znp

Tornando alle cose serie, Venn ebbe quindi il grosso merito di portare la logica di Boole (argomento con cui entrò in contatto già a partire dal 1858 mediante il suo vecchio tutor di matematica Todhunter) ad ottenere la giusta attenzione a Cambridge, dove venivano offerti corsi di logica elementare e avanzata all'interno dei Moral Sciences Tripos. 

Symbolic Logic affascinò persino W. E. Johnson, che avrebbe letto la bozza della seconda edizione (datata 1894), e un giovane studente, uno qualunque 😁, di nome Bertrand Russell (parlammo di lui qui).

Nel 1883 Venn venne eletto Fellow della Royal Society e, nello stesso anno, fu insignito del titolo di Doctor of Science da parte dell'Università di Cambridge. 

In questo periodo la sua carriera prese una svolta improvvisa poiché, nel medesimo anno in cui fu eletto alla Royal Society, lasciò il sacerdozio, rimanendo tuttavia per tutta la vita un uomo di sincera convinzione religiosa.

Il matematico cominciò inoltre a sviluppare un intenso interesse nei confronti della storia, non solo della logica formale ma anche della sua famiglia, del college e dell'università.

Il malinconico senso del passare del tempo e lo zelante desiderio di catturarlo, tabularlo e persino misurarlo lo portò infatti a dedicarsi sempre più alla ricerca antiquaria, biografica e storica. 

Quasi fino al giorno della sua morte, occorsa il 4 aprile 1923, lavorò pazientemente e meticolosamente, insieme alla moglie e al figlio, ad una dozzina di opere storiche che spaziano da Admissions to Gonville and Caius College (1887) ad Annals of a Clerical Family (1904), sino alla monumentale e già citata Alumni Cantabrigienses, sviluppata a partire dal 1922.

Venn possedeva anche altre abilità e interessi, inclusa una rara abilità nella costruzione di macchine, come per esempio una macchina per lanciare palle da cricket. 

Una volta il figlio John Archibald raccontò che il padre "fu per tutta la vita un ottimo camminatore e alpinista, un appassionato botanico e un eccellente parlatore e linguista".

Tirando le fila del discorso, quella di Venn fu una lunga vita ricca di svariati interessi e contributi in diversi rami della cultura, da quelli scientifici sino a quelli umanistici e religiosi.

È giunto ora il momento di parlare di alcuni aspetti particolari e meno noti dei diagrammi di Venn.

Il primo aspetto che mi preme analizzare è la denominazione stessa della famosa nozione.

Infatti sovente si parla di diagrammi di Eulero-Venn invece che semplicemente di diagrammi di Venn. Perché? 

C'è qualche precisazione che va compiuta in merito.

L'introduzione da parte di Venn dei diagrammi che prendono il suo nome avvenne grazie ad un articolo del 1880, da egli pubblicato sul Philosophical Magazine and Journal of Science, intitolato On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings.

Venn originariamente immaginò 3 dischi, denotiamoli per esempio con $R$, $S$ e $T$, che facevano da sottoinsiemi di un insieme $U$.

Considerando le intersezioni dei suddetti dischi e i loro complementi si ottiene una suddivisione di $U$ in 8 regioni non sovrapponibili, le cui unioni danno vita a ben 256 diverse combinazioni booleane dei 3 sottoinsiemi di partenza $R,S,T$. 

Cliccando qui potete osservare la rappresentazione diagrammatica di tutte le 256 combinazioni possibili.

Tuttavia diagrammi assai simili erano già stati utilizzati dal famosissimo Eulero nel XVIII secolo, anche se, volendo essere pignoli, la storica della matematica Margaret Baron (1915-1996) constatò l'esistenza di diagrammi (rimasti per lo più non pubblicati) quasi analoghi già per opera di Leibniz, nel XVII secolo, e persino per mano di Ramon Llull, nel XIII secolo.

Peraltro, nel suo scritto, Venn si riferì a tali diagrammi come "cerchi euleriani".

Dunque quale diavolo è la denominazione corretta?

Wikipedia chiarisce ogni dubbio: dobbiamo ufficialmente distinguere tra diagrammi di Venn (detti anche di Eulero-Venn), che mostrano tutte le possibili relazioni tra diversi insiemi, e diagrammi di Eulero, i quali mostrano solo le relazioni rilevanti.

Insomma quelli che indichiamo come diagrammi di Venn (i quali devono, in termini tecnici, contenere tutte le $2^n$ zone di sovrapposizione logicamente possibili tra le proprie $n$ curve rappresentanti tutte le combinazioni di inclusione/esclusione dei propri insiemi costituenti) non sono altro che una forma più restrittiva dei più semplici diagrammi di Eulero.

Sempre da Wikipedia riporto di seguito uno splendido esempio illustrativo di come alcuni diagrammi di Venn possano trasformarsi nei corrispettivi diagrammi di Eulero.

Un altro aspetto assai interessante è il fatto che Venn cercò in tutti i modi di generalizzare il più possibile i diagrammi allo scopo di poter raffigurare più insiemi con aree di intersezione, ma riuscì a rappresentarne un massimo di 4 grazie all'uso di ellissi.

Domanda lecita: è possibile usare 5 ellissi? La risposta è sì, ma ottenere tale estensione fu tutt'altro che banale. 

Dovette infatti passare quasi un secolo prima che il matematico croato Branko Grünbaum, nell'articolo Venn Diagrams and Independent Families of Sets (potete leggerlo cliccando qui), datato 1975, mostrò che risulta possibile costruire diagrammi di Venn (per di più con simmetria rotazionale) tramite 5 ellissi congruenti.

Di seguito potete osservare una bella rappresentazione dei diagrammi di Venn alla Grünbaum tratta da WOLFRAM Demonstrations Project.

Per ulteriori chiarimenti ed approfondimenti su tali costruzioni vi segnalo qui sotto un bel video tratto dal canale Snarky Math.

 

Come avete potuto osservare voi stessi, quello che è un argomento tipicamente da prima media si può affrontare ad un livello di comprensione e complessità assai superiore e diventare oggetto di ricerca matematica ad altissimo livello. 

Questo è uno degli innumerevoli aspetti che rende la matematica estremamente affascinante: da un concetto o enunciato/teorema apparentemente molto semplice possono derivare ricerche in grado di mettere a durissima prova anche le menti più geniali o persino sconvolgere le basi stesse della matematica (basti pensare all'ultimo teorema di Fermat o ai teoremi di incompletezza di Gödel, i quali ripartirono addirittura dall'aritmetica dei numeri naturali per far crollare ogni certezza sui fondamenti della matematica stessa!).

Non abbiamo però finito qui con le curiosità non banali inerenti ai diagrammi di Venn.

Nel 1963 David Wilson Henderson dimostrò che i diagrammi caratterizzati da una simmetria rotazionale $n$-fold possono essere rappresentati soltanto attraverso un numero primo di "petali".

Per capire meglio, osservate la seguente rappresentazione di vari diagrammi di Venn.

Fonte: https://bit.ly/3MCUgvc

Nel primo caso abbiamo un diagramma con 2 insiemi (raffigurati grazie a cerchi) che presenta una simmetria rotazionale 2-fold: infatti se ruotiamo il diagramma di un semicerchio resta invariante rispetto a tale trasformazione.

Nel caso del diagramma costituito da 3 cerchi se proviamo a ruotarlo di $\frac{1}{3}$ o $\frac{2}{3}$ di cerchio, esso rimane lo stesso, dunque si parla di simmetria rotazionale 3-fold.

L'ultimo caso è sostanzialmente il diagramma formato da 5 ellissi congruenti proposto da Grünbaum, il quale presenta simmetria rotazionale 5-fold.

Naturalmente, dato che 4 non è un numero primo, non è possibile costruire un diagramma con 4 curve che presenti simmetria rotazionale 4-fold.

Oltre a quanto detto in precedenza, Henderson dimostrò esplicitamente la simmetria rotazionale di generici diagrammi nei casi $n = 5$ ed $n = 7$.

Più tardi, nel 2002, Peter Hamburger costruì il caso $n=11$ e, l'anno seguente, Griggs, Killian e Savage provarono l'esistenza dei diagrammi simmetrici di Venn per tutti i restanti numeri primi.

Gli interessati agli aspetti più tecnici di questa strepitosa ricerca relativa ai diagrammi di Venn simmetrici possono leggere (cliccando qui) uno splendido articolo di Ruskey, Savage e Wagon.

Molto suggestivo e visivamente spettacolare è pure il paper del 2012, intitolato A New Rose: The First Simple Symmetric 11-Venn Diagram, di Mamakani e Ruskey, nel quale non solo viene costruito addirittura un diagramma simmetrico con 11 curve, ma con la caratteristica di essere pure "semplice", nel senso che al massimo due curve si intersecano in ogni punto.

Potete leggere l'articolo appena menzionato cliccando qui, ma voglio riportare direttamente qui sotto l'immagine dell'incredibile risultato grafico ottenuto dagli autori.

Inoltre, chi voglia approfondire circa i diagrammi di Venn in generale può consultare l'ottimo sito "A Survey of Venn Diagrams" realizzato da Ruskey e Weston.

Credo non ci sia modo migliore di concludere il post che con una nota citazione di Venn tratta dall'opera Symbolic Logic:

"We endeavour to employ only symmetrical figures, such as should not only be an aid to reasoning, through the sense of sight, but should also be to some extent elegant in themselves."

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Fonti essenziali:

- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Venn/

- John Venn: A Life in Logic di Lukas M. Verburgt

- https://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram