Questa è la seconda chiamata per chi abbia desiderio di partecipare alla prossima edizione del Carnevale della Matematica, la n. 156, che verrà pubblicata proprio su questo blog il 14 gennaio.
Ricordo che il tema portante dell'edizione sarà "Matematica della vita e vita nella matematica", ma naturalmente si è liberi di non seguirlo.
Inviate i vostri contributi (entro le 23:59 del 12 gennaio) all'indirizzo mail
È con grande piacere che vi annuncio ufficialmente che il Carnevale della Matematica n.156 verrà ospitato, il 14 gennaio, proprio qui su Scienza e Musica!!!
Avremo dunque l'onore di inaugurare il ciclo di Carnevali del 2022.
Prima di introdurvi il tema dell'edizione di gennaio, voglio ricordarvi di visionare, per chi non l'avesse già fatto, l'edizione n.155 ottimamente condotta da Roberto Zanasi, sul blog Gli studenti di oggi, con tema "scacchi" (cliccate qui).
Come ormai tradizione per i Carnevali ospitati su Scienza e Musica, la scelta della tematica ricade su un tema ampio e che riesca dunque a racchiudere al suo interno numerose sfumature, che i nostri carnevalisti potranno affrontare o decidere di non affrontare, andando fuori tema!
Il tema del Carnevale n.156 sarà: "Matematica della vita e vita nella matematica".
Ho deciso dunque di proporvi un tema da affrontare da 2 punti di vista tra loro speculari.
Da una parte abbiamo la matematica della vita, quindi di tutti gli esseri viventi, compresi gli esseri umani, un tema che oltretutto è pure di una certa attualità, dato il ruolo che analisi matematiche hanno svolto e continuano a svolgere in questo particolare periodo di pandemia da Covid19.
Se però guardiamo l'altro lato della medaglia, è possibile parlare pure del concetto di vita dedicata alla matematica, che potrebbe essere quella di uno o più grandi matematici del passato, ma anche la propria personale esperienza con l'affascinante disciplina che è la matematica.
Questi sono soltanto alcuni minimi spunti di riflessione; lascio agli interessati il compito di trovare le sfaccettature del tema che più gradiscono analizzare.
Naturalmente, come ogni Carnevale scientifico che si rispetti, sottolineo nuovamente che sono ben accolti anche tutti i contributi palesemente fuori tema; l'importante è che si parli di qualcosa attinente alla matematica in maniera più o meno diretta.
Come si partecipa?
È molto semplice, inviate i vostri contributi (di norma al Carnevale partecipano quelli scritti sui blog, ma in passato abbiamo accettato anche altre tipologie di contributo di carattere matematico/scientifico) entro il 12 gennaio (avete ufficialmente tempo fino alle 23:59 di tale giorno) al seguente indirizzo mail:
leonardo92.universo@gmail.com
In alternativa, chi è iscritto al gruppo Google del Carnevale della Matematica può segnalare i propri contributi anche lì. Sia ben chiaro che al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto.
Appuntamento al 14 gennaio per una vera e propria full immersion sulle possibili sfumature del rapporto tra vita e matematica. Non mancheranno buona musica e momenti divertenti, come in un vero Carnevale. Resto in attesa dei vostri contributi! Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare qui.
Il presente post è una recensione/analisi dell'intensa e meravigliosa serie tv sudcoreana, del 2021, Navillera (letteralmente "Come una farfalla"), con qualche riflessione personale.
Partiamo però con una premessa.
Negli ultimi anni ho cominciato ad immergermi maggiormente nel mondo delle serie tv asiatiche, sia quelle animate (i cosiddetti anime) sia quelle convenzionali, scoprendo grazie a queste anche tanta musica originale di elevata qualità. I primi estesi riferimenti del suddetto tipo in questo blog li ho dedicati ad un paio di anime/manga giapponesi, Berserk e Banana Fish, e ad una serie tv cinese, The Untamed. Certamente tra le produzioni mainstream (principalmente statunitensi) "moderne" (che siano serie tv o film cinematografici) non sono mancati capolavori, come Breaking Bad, The Handmaid's Tale, Schindler's List, L'Uomo Bicentenario (questo purtroppo molto sottovalutato dai più) e Interstellar, giusto per citarne qualcuno. L'andamento generale (ci sono sempre le notevoli eccezioni) della cinematografia mainstream USA (ma il discorso è facilmente estendibile a molte serie/film europei pure) è però quello di proporre dell'intrattenimento leggero (non che sia sempre un male eh!) e talvolta incantare più con gli effetti visivi o elementi cliché che con la profondità delle tematiche trattate (o magari queste sono anche presenti, ma solitamente affrontate in modo troppo superficiale). Capita spesso che molte serie tv o molte saghe cinematografiche (che magari iniziano pure con ottime premesse) vengano spremute sino all'osso, mandandole avanti per anni ed anni, il che porta il più delle volte a un progressivo decadimento della qualità della narrazione (si pensi per esempio all'ultima frettolosa e superficiale ottava stagione di Game of Thrones comparata alle mitiche prime). Negli ultimi mesi è nato il fenomeno Squid Game, una serie tv sudcoreana che ha stracciato ogni record sulla piattaforma Netflix.
Squid Game non lo considero personalmente un capolavoro indimenticabile come quelli prima citati ma comunque una serie molto buona per il suo genere particolare (survival drama) e che soprattutto può vantare il merito di aver fatto conoscere ad un pubblico molto vasto, grazie pure ad una trama sicuramente intrigante e alla brutalità delle scene, alcune delle caratteristiche tipiche delle produzioni asiatiche di alto livello, tra cui il (quasi) sempre elevato livello di recitazione, l'inserimento di tematiche profonde che fanno riflettere persino in un contesto "leggero" o irrealistico, la qualità del sottofondo musicale delle scene cruciali. Una questione che ha creato un grosso dibattito, specialmente in quel di Twitter, è stata quella relativa ai sottotitoli. Ecco, questo probabilmente rappresenta il vero colossale scoglio che le serie/film di origine asiatica devono costantemente superare per poter essere apprezzate dal grande pubblico, dato che non si è generalmente abituati a seguire un'opera leggendo simultaneamente i sottotitoli. Il doppiaggio nelle varie lingue (spesso mancante in tali produzioni) sarebbe sicuramente qualcosa di lodevole e fondamentale per consentire a chiunque di poter usufruire della visione delle suddette opere. D'altro canto va pure constatato che è molto arduo rendere a pieno nel doppiaggio l'intensità delle interpretazioni dei film asiatici, oltre alle sfumature particolari dovute a peculiarità fonetico-culturali delle lingue, che difficilmente possono essere trasportate in modo totalmente convincente in una lingua diversa (discorso che si può estendere in svariati casi anche alle canzoni). Per capire meglio, i lettori italiani provino ad immaginarsi per esempio i film di Totò (1898-1967) doppiati in altre lingue e non sarà complicato intuire che sarebbe molto difficile rendere in modo efficace la comicità unica del leggendario attore napoletano. Per riassumere, si auspica sempre che il doppiaggio sia un'opzione presente ma si consiglia lo spettatore a non aver paura di affrontare, se possibile, la visione delle opere (il discorso vale anche per gli anime) in lingua originale con i sottotitoli per goderne a pieno.
Ma passiamo finalmente a parlare di Navillera.
La vicenda è quella di un giovane 23enne, Lee Chae Rok (interpretato da Song Kang), promessa della danza classica con alle spalle un passato piuttosto burrascoso, e di un signore di 70 anni, Shim Deok Chul (interpretato da Park In Hwan), che improvvisamente decide di provare a dedicare l'ultimo periodo della sua vita alla passione (la danza) che tanto avrebbe desiderato coltivare durante la sua vita, ma è stato impossibilitato a farlo. La premessa dunque già apre ad un tema delicato: la danza come disciplina praticata da uomini. Nei tempi recenti probabilmente il suddetto è un tabù abbastanza superato, ma per molto tempo dedicarsi alla danza per un uomo era qualcosa di completamente mal visto dalla società, anche perché si riteneva che fosse strettamente legato allo "sviluppo" dell'omosessualità (altro tabù, e siamo già a 2; proviamo a tener conto di quanti ne escono fuori da questa analisi). Il noto coreografo russo George Balanchine (1904-1983) una volta affermò a tal proposito che "Il balletto riguarda il mondo femminile". Nel 2000 uscì al cinema il celebre film Billy Elliot, basato sulla storia vera del ballerino Philip Mosley e rappresentò un grosso passo in avanti nel provare a sensibilizzare il grande pubblico nei confronti di tali spinose tematiche.
Adesso immaginatevi se a tutto questo aggiungessimo che un 70enne, il quale sino ad allora si era dedicato a tutt'altro e che aveva dato tutto per la propria famiglia, ad un certo punto incominciasse a studiare seriamente danza classica. Cosa succederebbe? Le prime reazioni sia delle persone vicine che della gente pettegola a cui piace sempre immischiarsi nella vita privata altrui sarebbero probabilmente di ritenerlo pazzo o comunque di pensare (in senso spregiativo) che non sia una "cosa normale"! Ecco il terzo tema tabù, forse quello chiave, da cui discendono tanti altri: la normalità.
In fisica un fenomeno assai rilevante è quello della diffusione o dispersione ottica, spesso indicata col termine inglese scattering, letteralmente "sparpagliamento". Trattasi sostanzialmente di quel fenomeno (o meglio, ampia classe di fenomeni) per cui onde o particelle vengono deflesse per via delle collisioni con altre onde o particelle. Esiste un variegato numero di fenomeni di scattering notevoli. In passato abbiamo visto brevemente per esempio lo scattering Compton (o effetto Compton)qui. In questo post presenteremo in modo (per quanto possibile) semplice e sintetico 2 tipi di scattering anch'essi molto importanti: lo scattering Rayleigh e lo scattering Thomson. Prima di far ciò dobbiamo tuttavia compiere qualche premessa. Innanzitutto ci serve capire l'importante concetto di sezione d'urto. Immaginiamo a tal proposito di sparare un fascio di particelle su un certo campione di materiale e di voler studiare l'interazione sussistente. Denotiamo con $N(x)$ il numero di particelle del fascio incidente (proiettili) che incidono nell’unità di tempo sulla unità di superficie del campione lungo l’asse $x$. Indichiamo poi con $\Delta x$ un piccolo spessore del campione.
Per capire meglio, prendiamo a riferimento l'esperimento di Rutherford (di cui abbiamo accennato qui).
Sappiamo da esso che il numero di particelle diminuisce una volta urtato il materiale, giacché alcune particelle vengono deviate e non riescono a giungere all'analizzatore. Nel nostro contesto generale ciò significa che
Notiamo immediatamente che
Inoltre il rapporto $\Delta N/N$ risulterà proporzionale allo spessore $\Delta x$ attraversato. Nel dettaglio:
Qui $\eta$ è una costante maggiore di 0 che rappresenta la probabilità di deviazione delle particelle. Il segno - mette in evidenza la diminuzione dei proiettili nell’attraversamento dello spessore $\Delta x$. Per giungere alla formula appena scritta si è assunta un’ipotesi semplificativa nota come condizione di urto singolo. Si assume infatti che lo spessore del campione in esame sia così sottile che dopo il primo urto tra proiettile e bersaglio non ce ne siano altri.
Si assume inoltre che i bersagli nel campione siano abbastanza lontani gli uni dagli altri in modo che ciascun proiettile ne intercetti uno solo. Va specificato che la costante $\eta$ dipende dal numero dei centri diffusori (bersagli) nell’unità di volume (cioè in pratica dalla loro densità). Possiamo infatti scrivere anche che
ove $n = \frac{N_{BERS}}{V}$ è appunto la densità dei bersagli, mentre la grandezza $\sigma$ è la sezione d'urto totale del processo.
Siamo riusciti dunque a introdurre matematicamente questo importante concetto di sezione d'urto, ma cosa rappresenta concretamente? Essa rappresenta semplicemente la probabilità, per singolo bersaglio, che ci sia l'interazione tra il proiettile e il bersaglio e ha le dimensioni fisiche di un'area! Infatti si può scrivere:
Detto in altri termini, la sezione d'urto può essere interpretata come l'area efficace per la diffusione.
Ogni bersaglio espone al flusso di particelle incidenti un'area (sferica) $\sigma$ e soltanto le particelle che intercettano quest'area vengono deviate.
La seguente immagine, tratta dal libro Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts di B. Pohv, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche e W. Rodejohann, dovrebbe ben chiarire il concetto.
Si potrebbe poi facilmente dimostrare che il numero di particelle $N(x)$, a seguito della penetrazione in uno spessore $x$, decresce in modo esponenziale con una costante di decadimento $n \sigma$. In simboli:
Inoltre, se andassimo nel dettaglio dello scattering Rutherford, dovremmo introdurre il concetto di sezione d'urto differenziale $\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}$, ove $\mathrm{d} \Omega$ denota un angolo solido (infinitesimo) intorno ad una certa direzione, il quale tiene conto dell'importante distribuzione angolare delle particelle deflesse. Questo discorso esula però dagli scopi del presente post; magari torneremo sulla questione in futuro. Abbiamo dunque capito in un contesto piuttosto generale cosa sia la sezione d'urto. Il prossimo importante step del nostro discorso è ricordare che l'elettrodinamica classica stabilisce che una particella carica (non relativistica) emette radiazione elettromagnetica quando subisce una variazione di velocità (ossia un'accelerazione); la potenza della radiazione così emessa viene descritta dalla nota formula di Larmor:
Nel contesto dello scattering Rayleigh e di quello Thomson si potrà parlare di una sezione d'urto dipendente dalla frequenza della radiazione incidente.
In particolare, la sezione d'urto $\sigma(\omega)$ va a rappresentare l'efficienza di emissione di radiazione da parte di un atomo, in funzione della frequenza incidente $\omega$.
Essa è strettamente legata alla potenza di Larmor dalla relazione
dove $I_0$ è l'intensità incidente e la notazione $<P_{\mathrm{Larmor}}>$ serve per denotare la potenza media. Specifichiamo che l'intensità di un'onda elettromagnetica rappresenta l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione dell'onda, nell'unità di tempo.
Nello specifico, essa corrisponde al modulo del fondamentale vettore di Poynting, ma non entriamo nei dettagli di tale discorso.
Grazie alla formula di Larmor, assumendo poi il cosiddetto modello di Thomson, ove immaginiamo l'elettrone alla stregua di un oscillatore armonico smorzato con forzante esterna (per capire meglio si rilegga magari qui), con un po' di passaggi matematici si arriva a scrivere che
Qui $X$ è un modo sintetico per denotare la quantità $\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}$, in cui $\omega_0$ è la pulsazione propria del sistema e $\gamma$ è il coefficiente di smorzamento. Inoltre $e$ è la carica dell'elettrone, $m$ la sua massa, $\varepsilon_0$ la costante dielettrica del vuoto e $c$ la velocità della luce.
Definiamo ora il raggio classico dell'elettrone $r_e$ come
Esso si ottiene molto facilmente uguagliando l'energia elettrostatica di una sfera di carica $e$, avente raggio $r_e$, cioè $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_e}$, con l'energia a riposo $mc^2$ dell'elettrone.
Per convenienza, scriviamo pure che
Manipolando un pochino l'espressione precedente data per $<P_{\mathrm{Larmor}}>$ e tenendo presente il valore delle quantità prima riportate, possiamo in definitiva scrivere
da cui è facile ricavare che
Trattasi dell'espressione generale della sezione d'urto di diffusione (incoerente).
A questo punto andiamo ad osservare cosa succede in 3 casi limite.
L'obiettivo del presente post è arrivare a derivare l'importante equazione di continuità.
Per far questo, cominciamo dicendo che, poiché $|\psi(\vec{r},t)|^2 \mathrm{d} \vec{r}$ rappresenta una probabilità, allora se noi andiamo ad integrare questa quantità su tutto lo spazio occorre che questa probabilità sia 1:
Non ha mai senso parlare infatti di una probabilità che superi 1, cioè il 100%.
Quella appena scritta prende il nome di condizione di normalizzazione. La condizione ci fa anche capire che le funzioni d’onda devono essere necessariamente funzioni a quadrato sommabile. Al tempo iniziale possiamo normalizzare all’unità la funzione d’onda, come appena detto. Rimane un fattore di fase arbitrario che possiamo fissare a piacere perché, se mantenuto coerentemente, non avrà conseguenze fisiche. Tuttavia, affinché tutto ciò sia coerente, è necessario che l’equazione di Schrödinger garantisca la normalizzazione nel futuro. Se dovessimo infatti rinormalizzare la funzione d’onda ad ogni istante, l’equazione non sarebbe più soddisfatta! Occorre pertanto che:
Andiamo a vedere se l’equazione di Schrödinger garantisce tale conservazione della norma. Partiamo dall’equazione di Schrödinger generale
e dalla sua forma complessa coniugata (quella dell'asterisco è un'altra notazione comune per indicarla)
Moltiplichiamo la prima per $\psi^*$ e la seconda per $\psi$, dopodiché sottraiamo. Ne risulta:
giacché
Adesso andiamo ad integrare quanto ottenuto su un volume $V$:
La norma risulta dunque conservata se vale
Se interpretiamo le funzioni $\psi$ come rappresentazioni di uno spazio vettoriale, questa relazione si può riscrivere come:
cioè la conservazione della norma viene assicurata se l’hamiltoniana è un operatore hermitiano. Scritta così potreste non aver capito molto, quindi cerchiamo di chiarire meglio cosa sia un operatore hermitiano, che è un concetto importantissimo ai fini della meccanica quantistica.
Fisico (con laurea magistrale in fisica teorica) e blogger scientifico. Mi piace divulgare la scienza e la matematica, e renderle il più possibile comprensibili e divertenti al lettore. Sono un vero appassionato di buona musica, in particolare classica e jazz. Ho anche una passione per alcune tipologie di videogames, dove ho detenuto alte posizioni nelle classifiche europee/mondiali, oltre che sviluppato miei innovativi "theorycrafts".
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