Esse infatti sono fondamentali per il calcolo delle cosiddette funzioni di correlazione di campi fermionici e, in particolare, per la definizione degli integrali funzionali per i fermioni.
Per inciso ricordiamo che i fermioni sono quelle particelle (tra cui, per esempio, l'elettrone) che, in base al teorema spin-statistica, presentano spin semi-intero e obbediscono al principio di esclusione di Pauli.
Non abbiate troppa paura, il post non richiederà prerequisiti di teoria quantistica dei campi per la comprensione, ma "solo" il generico background matematico tipico dei post un po' più tecnici presenti in questo blog.
Possiamo però cominciare molto dolcemente anche per il lettore totalmente a digiuno di matematica avanzata, inquadrando in primis l'interessante biografia del matematico, fisico e linguista tedesco Hermann Günther Grassmann, che sono sicuro vi sorprenderà notevolmente.
Terzo di dodici figli, Grassmann nacque il 15 aprile 1809 a Stettino da Justus Günter Grassmann (consacrato ministro del culto, ma poi divenuto docente di matematica e fisica presso il liceo di Stettino) e Johanne Luise Friederike Medenwald (figlia di un ministro del culto di Klein-Schönfeld).
Justus scrisse diversi libri scolastici di fisica e matematica e intraprese anche ricerche inerenti alla cristallografia.
Anche il fratello di Hermann, Robert, divenne un matematico e i due collaborarono a svariati progetti.
Ma focalizziamo la nostra attenzione su Hermann.
L'istruzione primaria di Hermann si dovette alla madre, donna decisamente saggia e colta.
Dopodiché frequentò una scuola privata prima di entrare nel ginnasio di Stettino dove insegnava suo padre.Ecco, molti sono abituati a pensare ai grandi matematici e scienziati della storia come studenti brillantissimi, geni, "mostri", "alieni" in grado di ridicolizzare anche i propri insegnanti.
Questo non fu assolutamente il caso di Grassmann, quantomeno inizialmente!
Infatti costui, nonostante avesse eccellenti opportunità di coltivare la sua istruzione in una famiglia con un'ampia mentalità educativa, non eccelse durante i suoi primi anni di ginnasio.
Magari non ci crederete, ma suo padre ad un certo punto pensò addirittura che il figlio dovesse indirizzarsi più su un lavoro manuale (come per esempio fare il giardiniere o l'artigiano) piuttosto che focalizzarsi su studi difficili apparentemente non alla sua portata.
Hermann si appassionò alla musica e imparò a suonare il pianoforte.
Man mano che progredì nella scuola, migliorò a piccoli passi e nel momento degli esami finali di scuola secondaria, all'età di diciotto anni, si classificò al secondo posto nella scuola.
Insomma un bruco diventato farfalla!
Questa vicenda dovrebbe far riflettere sul fatto che un brutto voto scolastico o un periodo di rendimento negativo non definiscono in toto l'intelligenza e le capacità di una persona. Sarebbe bello che imparassimo tutti quanti a non giudicare un libro dalla copertina o dalle prime pagine.
Tornando al nostro racconto biografico, Hermann decise che avrebbe studiato teologia e si recò a Berlino nel 1827 con il fratello maggiore per studiare nella prestigiosa Università ivi presente.
Seguì corsi di teologia, lingue classiche, filosofia e letteratura, ma pare che non abbia mai seguito corsi di matematica o fisica.
Sebbene non possedesse una preparazione universitaria formale in matematica, fu tale argomento che lo interessò al suo ritorno a Stettino nell'autunno del 1830 dopo aver completato gli studi universitari a Berlino.
L'influenza del padre risultò determinante nel portarlo sulla strada della matematica; Hermann decise che sarebbe diventato un insegnante di scuola, ma era determinato a intraprendere ricerche matematiche per conto proprio.
Dopo un anno di ricerca matematica e di studio utile nella preparazione degli esami necessari per insegnare nei ginnasi, si recò a Berlino nel dicembre 1831 per sostenere i suddetti esami.
Le sue prove scritte non ebbero tuttavia una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo.
Le sue prove scritte non ebbero tuttavia una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo.
Gli fu in particolare detto che, prima di poter insegnare ai livelli superiori, avrebbe dovuto sostenere nuovamente gli esami e dimostrare una maggiore conoscenza degli argomenti per cui si era presentato. Nella primavera del 1832 fu nominato insegnante assistente al liceo di Stettino.
Come racconta Grassmann stesso nella prefazione della sua fondamentale opera, pubblicata nel 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ("Teoria dell'estensione lineare, un nuovo ramo della matematica"), fu in questo periodo (cioè a partire dal 1832 circa) che fece le sue prime significative scoperte matematiche che lo avrebbero condotto alle rilevanti idee che avrebbe sviluppato pochi anni dopo.
Nel 1834 Grassmann sostenne gli esami di teologia (di primo livello) fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino ma, sebbene questo potesse rappresentare il suo primo passo per diventare ministro nella Chiesa luterana, decise di recarsi invece a Berlino nell'autunno di quell'anno per accettare un incarico come insegnante di matematica alla Gewerbeschule.
Era infatti rimasto vacante un posto da quando il precedente insegnante, Jakob Steiner (1796-1863), sì proprio quello del celebre teorema di Huygens-Steiner inerente al calcolo del momento di inerzia di un corpo rigido, era stato nominato ad una cattedra di matematica all'Università di Berlino.
Grassmann trascorse solo un anno alla Gewerbeschule prima che si presentasse una nuova opportunità nella sua città natale di Stettino.
Una nuova scuola, la Otto Schule, era infatti appena stata aperta e Grassmann fu incaricato di insegnare matematica, fisica, tedesco, latino e religione. Si era qualificato solo per insegnare a un livello basso, e ciò fa ben capire l'ampia varietà di argomenti che insegnava.
Nei 4 anni successivi il nostro studioso prese molto sul serio il suo insegnamento, ma non trascurò per questo la ricerca matematica, oltre a concentrarsi sulla preparazione di ulteriori esami.
Nel 1839 superò gli esami di teologia, di secondo livello, fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino, e nel 1840 si recò a Berlino per sostenere gli esami che gli avrebbero permesso di insegnare alcune materie al più alto livello di ginnasio. Da quel momento poté finalmente insegnare matematica, fisica, chimica e mineralogia a tutti i livelli delle scuole secondarie.
Interessante notare come gli esami che Grassmann sostenne nel 1840 furono per lui significativi anche in un altro senso.
Nello specifico, tra le richieste dell'esame vi era la presentazione di un saggio sulla teoria delle maree. Egli prese allora la teoria di base dalle celebri Méchanique céleste di Laplace e Méchanique analytique di Lagrange, tuttavia si rese presto conto di poter applicare i metodi vettoriali che aveva sviluppato fin dal 1832 per dar vita ad un approccio non solo originale ma pure semplificato.
Il suo saggio Theorie der Ebbe und Flut era lungo 200 pagine e introduceva per la prima volta un'analisi basata sui vettori, tra cui addizione e sottrazione di vettori, differenziazione di vettori e teoria delle funzioni vettoriali.
Sebbene il suo saggio venne accettato dagli esaminatori, questi non furono assolutamente in grado di comprendere l'importanza delle innovazioni introdotte da Grassmann.
In altre parole, Grassmann, senza aver ricevuto alcuna educazione matematica di tipo universitario, aveva gettato le basi della moderna algebra lineare e dell'importantissimo concetto di spazio vettoriale, ma i suoi esaminatori non seppero riconoscere un vero "diamante matematico" pur avendolo di fronte agli occhi. Cliccando qui gli interessati potranno leggere lo splendido testo Linear Algebra Done Right di Sheldon Axler, molto utile per rinfrescare i fondamentali concetti e scoprire un approccio piuttosto originale rispetto ai tipici libri presenti sull'argomento.
Riporto inoltre a tal proposito un interessante passo tratto dal libro Dio è un matematico di Mario Livio:
‘La geometria non può in alcun modo essere considerata [...] una branca della matematica; la geometria riguarda invece qualcosa che è già dato in natura, ovverosia lo spazio. Mi ero inoltre reso conto del fatto che deve esserci una branca della matematica che produce in modo puramente astratto leggi simili a quelle della geometria.’
Era una concezione radicalmente nuova della natura della matematica. Per Grassmann la geometria tradizionale - eredità degli antichi greci - riguarda lo spazio fisico e pertanto non può essere considerata una vera branca della matematica astratta. Per lui la matematica era infatti una creazione astratta della mente umana che non necessariamente ha applicazioni nel mondo reale.
È affascinante seguire il filo di pensieri apparentemente banali che mise Grassmann sulla strada che l'avrebbe condotto alla sua teoria di un'algebra lineare.
Egli prese spunto dalla semplice formula $AB + BC = AC$, che compare in ogni manuale di geometria in riferimento alle lunghezze dei segmenti di retta (figura 46a).
Grassmann notò però qualcosa di nuovo nella formula. Scoprì che essa resta valida indipendentemente dall'ordine di $A$, $B$ e $C$, a condizione che non si interpretino $AB$, $CD$ e $AC$ come mere lunghezze, ma si assegni loro anche una «direzione», cosicché risulti, per esempio, $BA = -AB$. In tal caso, se $C$ sta tra $A$ e $B$ (figura 46 b), risulterà $AB = AC + CB$; ma poiché $CB = -BC$, avremo $AB = AC - BC$ e la formula iniziale potrà essere ripristinata semplicemente aggiungendo $BC$ a destra e a sinistra del segno d'uguaglianza.
Ciò era piuttosto interessante di per sé, ma l'intuizione di Grassmann conteneva altre sorprese. Notate che se fossimo nell'ambito dell'algebra invece che in quello della geometria, allora un'espressione come $AB$ denoterebbe in genere il prodotto $A \times B$. In questo caso, la proposta di Grassmann di porre $AB = -BA$ violerebbe una delle leggi fondamentali dell'aritmetica, ovvero che due quantità moltiplicate tra loro producono lo stesso risultato indipendentemente dall'ordine dei termini. Grassmann affrontò di petto quest'inquietante possibilità inventando una nuova algebra dotata di coerenza interna (chiamata «algebra esterna») che consentiva di utilizzare diversi procedimenti di moltiplicazione e al contempo di manipolare la geometria in un numero qualsiasi di dimensioni."
"Cominciando con una collezione di 'unità' $e_1, e_2, e_3$,...effettivamente definisce lo spazio lineare libero che essi generavano; in altri termini, egli considera la combinazione lineare formale $a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 +...$, dove $a_j$ sono numeri reali, definisce l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali [nel modo attualmente in uso] e dimostra formalmente le proprietà di spazio lineare per queste operazioni. ... Sviluppa poi la teoria dell'indipendenza lineare in un modo straordinariamente simile alla presentazione che si trova nei moderni testi di algebra lineare. Definisce la nozione di sottospazio vettoriale, indipendenza, lunghezza, span, dimensione, unione e intersezione di sottospazi, e proiezione di elementi nei sottospazi.
Tra gli altri risultati, mostra che ogni insieme finito ha un sottoinsieme indipendente con lo stesso span e che ogni insieme indipendente si estende a una base, e dimostra l'importante identità [oggi chiamata formula di Grassmann]
$\mathrm{dim} (U+W) = \mathrm{dim} (U) + \mathrm{dim} (W) - \mathrm{dim} (U \cap W)$."
D'altra parte le ricerche (poi raccolte nel saggio del 1844) avevano dimostrato a Grassmann che la sua teoria risultava ampiamente applicabile, pertanto egli decise che avrebbe dedicato d'ora in avanti tutto il tempo che poteva risparmiare al fine di sviluppare ulteriormente le sue idee innovative sugli spazi vettoriali.
Si noti tuttavia che tale tempo non poteva essere molto giacché Grassmann era un insegnante scrupoloso che mirava a svolgere quel lavoro al meglio delle sue capacità. Scrisse numerosi libri di testo, due dei quali furono pubblicati nel 1842: uno era sul tedesco parlato, l'altro sul latino.
Dopo aver scritto questi libri di testo, rivolse tutta la sua attenzione alla stesura della già citata Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik.
Cominciò nella primavera del 1842 e completò il manoscritto nell'autunno del 1843.
Esso, come già più volte detto, venne pubblicato l'anno successivo. Nella suddetta opera, un vero e proprio capolavoro di originalità, ha sviluppato l'idea di un'algebra in cui i simboli che rappresentano entità geometriche come punti, linee e piani, risultano manipolati secondo determinate regole.
Ha rappresentato i sottospazi di uno spazio mediante coordinate che portano alla mappatura dei punti di una varietà algebrica ora chiamata, non a caso, Grassmanniana.
Grassmann era un po' risentito del fatto stesse producendo matematica decisamente innovativa ed importante, ma fosse ancora costretto ad insegnare nelle scuole secondarie.
Infatti, sebbene fosse stato a Stettino sin dalla prima nomina alla Otto Schule, era stato trasferito prima al Ginnasio di Stettino, poi alla Friedrich Wilhelm Schule a causa della riorganizzazione scolastica della città.
Nel maggio 1847 ricevette il titolo di Oberlehrer alla Friedrich Wilhelm Schule e nello stesso mese scrisse al Ministero dell'Istruzione prussiano chiedendo di essere inserito in un elenco di quelli da considerare per posizioni universitarie. Il Ministero dell'Istruzione chiese a Kummer la sua opinione su Grassmann, che lesse il suo premiato saggio Geometrische Analyse e riferì che conteneva:
"materiale lodevolmente buono espresso in una forma carente".
È davvero curioso constatare quanti eminenti matematici non siano riusciti a riconoscere che la matematica presentata da Grassmann sarebbe diventata il fondamento di base della materia nei 100 anni successivi.
Il 12 aprile 1849 Grassmann sposò Therese Knappe, la figlia di un proprietario terriero.
La coppia ebbe la bellezza di 11 figli di cui sette raggiunsero l'età adulta. Uno dei loro figli, Hermann Ernst Grassmann, ricevette un dottorato nel 1893 per la sua tesi Anwendung der Ausdehnungslehre auf die Allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen scritta sotto la supervisione di Albert Wangerin presso l'Università di Halle-Wittenberg. Questi diventò successivamente professore di matematica presso l'Università di Giessen.
Nel marzo 1852 il padre di Grassmann, Justus, morì e nello stesso anno Grassmann fu nominato per ricoprire la precedente posizione di suo padre allo Stettin Gymnasium.
Ciò significava che, pur insegnando ancora in una scuola secondaria, ora possedeva il titolo di professore. Non essendo riuscito a ottenere un vero riconoscimento per la sua matematica innovativa, Grassmann si dedicò poi a un'altra delle sue materie preferite, lo studio del sanscrito e del gotico.
Ebbe un buon riconoscimento come linguista per aver dimostrato che il germanico in realtà risultava "più antico" in un modello fonologico rispetto al sanscrito.Neanche la fisica venne trascurata dallo studioso. Nello specifico, egli pubblicò nel 1853 una teoria della mescolanza dei colori che contraddiceva quella proposta da Helmholtz.
Entro la metà dell'anno successivo, tuttavia, fece ritorno alla matematica e alla sua teoria dell'estensione decidendo che, invece di scrivere un secondo volume, come aveva originariamente previsto, avrebbe riscritto completamente l'opera nel tentativo di farne riconoscere il significato.
Infatti, sebbene abbia scritto un'opera che oggi ci appare nello stile di un moderno libro di testo, Grassmann non riuscì mai a convincere i matematici del suo tempo.
Forse era così sicuro dell'importanza dell'argomento da non riuscire a decidersi a venderlo a lettori scettici.
Certamente il libro Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, da lui pubblicato nel 1862, non se la cavò meglio della prima versione del 1844.
Certamente il libro Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, da lui pubblicato nel 1862, non se la cavò meglio della prima versione del 1844.
Le delusioni provocate dal mancato apprezzamento del suo contributo matematico lo spinsero a dedicarsi nuovamente alla ricerca in linguistica. Qui se la cavò davvero molto meglio (almeno per il pubblico dell'epoca) e fu onorato per i suoi contributi filologici con l'elezione all'American Oriental Society e con il conferimento, nel 1876, di una laurea honoris causa da parte dell'Università di Tubinga.
Tornò ancora una volta a concentrarsi sulla matematica negli ultimi due anni della sua vita e, nonostante la salute cagionevole, preparò un'altra edizione dell'Ausdehnungslehre per la pubblicazione. Questa apparve, ma soltanto postuma.
Grassmann esalò l'ultimo respiro il 26 settembre 1877 a Stettino, una morte dovuta a problemi cardiaci presentatisi dopo un periodo di lenta decaduta della salute.
A conclusione di questa biografia, riportiamo il seguente emblematico e riassuntivo pensiero di Fearnley-Sander:Passiamo ora finalmente ad illustrare le variabili di Grassmann.
La prima cosa da dire sulle variabili (o numeri) di Grassmann è il fatto che esse sono variabili anticommutanti.
In un certo senso, esse rappresentano l'analogo classico degli operatori quantistici che anticommutano (si legga per esempio qui per capirne di più).
Attenzione: sebbene talvolta ci si riferisca ad esse come "numeri", le variabili di Grassmann non sono rappresentabili come scalari (ad esempio numeri reali o numeri complessi).
Una variabile di Grassmann può essere rappresentata per esempio da una matrice nilpotente (la più piccola delle quali $2 \times 2$).
Ma andiamo al nocciolo della questione. Immaginiamo di avere due numeri di Grassmann che denotiamo con $\theta_{1}$ ed $\theta_{2}$. La relazione sussistente fra tali numeri è la seguente: $\theta_1 \theta_{2} = - \theta_{2} \theta_{1}$.
Ecco, notate bene che l'espressione precedente potrebbe essere riscritta come $\theta_{1} \theta_{2} + \theta_{2} \theta_{1} = 0$, cioè appunto una tipica relazione di anticommutazione!
Tutto ciò inoltre implica che, dato un numero di Grassmann $\theta$, si ha: ${\theta}^2 = - {\theta}^2 \Rightarrow$ ${\theta}^2 = 0$.
L'ultima relazione ci ricorda proprio la statistica di Fermi-Dirac ed il principio di esclusione di Pauli, che impedisce a 2 o più fermioni di occupare lo stesso stato quantico.
Generalizzando, prendendo un set di variabili di Grassmann $\theta_{i}$, con $i = 1,...,N$, si ha: $\left \{ \theta_{i}, \theta_{j} \right \} = 0$.
Lo spazio lineare spannato dai $\theta_{i}$ è proprio l'algebra di Grassmann (o algebra esterna), introdotta, come visto, da Grassmann nel 1844.
Nel dettaglio, le variabili di Grassmann sono vettori di base di uno spazio vettoriale avente dimensione $N$.
Essi formano un'algebra sopra un campo (in particolare, un'algebra unitaria, cioè che ammette l'identità $I$ per ogni elemento $x$ nell'algebra tale che $Ix = x = xI$) e i generatori risultano anticommutanti.
Inoltre, giacché $\theta_{i}$ sono elementi di uno spazio vettoriale sui numeri complessi, allora essi, per definizione, commutano con i numeri complessi.
In simboli: $\theta_{i} x = x \theta_{i}$, ove $x$ denota un generico numero complesso.
Essenzialmente, da un punto di vista fisico, l'algebra di Grassmann svolge la controparte nel caso fermionico di ciò che l'usuale campo complesso rappresenta nel caso bosonico.
Come anticipato, l'algebra di Grassmann con $N$ generatori ammette una rappresentazione in termini di matrici $2^N \times 2^N$.
Per esempio, quando $N = 2$, possiamo avere i seguenti numeri di Grassmann:
Ricordando ora che
si possono derivare svariate proprietà.
Per esempio
$(\theta_{1} \theta_{2}) \theta_{3} = - \theta_{1} \theta_{3} \theta_{2} = + \theta_{3} (\theta_{1} \theta_{2})$.
Questo significa che il prodotto di due numeri di Grassmann commuta con un altro numero di Grassmann.
La più generale tra le espansioni per una generica funzione di una variabile di Grassmann $\theta$ può essere rappresentata come: $f(\theta) = A + B \theta$, ovvero uno sviluppo di Taylor troncato al termine lineare.
Sottolineiamo che $A$ e $B$ sono 2 costanti regolari (o numeri di Grassmann pari), mentre $\theta$ è ovviamente una variabile di Grassmann (che possiamo anche definire in tal contesto numero di Grassmann dispari).
INTEGRAZIONE DELLE VARIABILI DI GRASSMANN
Quando parliamo di integrazione delle variabili di Grassmann dobbiamo stare molto attenti perché quello che andiamo a definire non è un integrale vero e proprio (cioè non è un integrale nel senso di Lebesgue).
Si può definire infatti una mappa lineare (che agisce su funzioni di variabile di Grassmann), la quale, nella maggior parte delle situazioni, si comporta alla stregua di un integrale.
Essa è chiamata nello specifico integrale di Berezin, dal matematico sovietico Felix Berezin (1931-1980), ma talvolta anche integrale di Grassmann.
Nello specifico trattasi del seguente oggetto:
$\int \mathrm{d} \theta \, f(\theta) = \int \mathrm{d} \theta (A+B \theta)$.
Esso deve soddisfare 2 assiomi basilari:
1) Linearità
$\int \mathrm{d} \theta \, \alpha f(\theta) = \alpha \int \mathrm{d} \theta \, f(\theta)$
con $\alpha$ numero complesso.
2) L'integrale di una derivata totale deve essere 0.
In simboli: $\int \mathrm{d} \theta \, \partial_{\theta} f(\theta) = 0$, dove $\partial_{\theta}$ denota la derivata totale.
L'unica definizione consistente con i suddetti requisiti è $\int \mathrm{d}\theta \, f(\theta) = B$, con $B$ numero complesso, a meno di un fattore complessivo che deve essere il medesimo per tutte le funzioni.
Possiamo aggiungere che, nel contesto delle variabili di Grassmann, i processi di integrazione e derivazione sono sostanzialmente la stessa cosa.
Un altro importante dettaglio è il fatto che l'integrazione debba essere invariante rispetto ad uno shift costante, ossia deve rimanere la stessa anche se effettuiamo il cambiamento di variabile $\theta \rightarrow \theta + \eta$, dove $\eta$ è un'altra variabile di Grassmann.
Ne segue che: $\int \mathrm{d} \theta (A+B \theta) \rightarrow \int \mathrm{d} \theta (A+ B \theta + B \eta)$.
È ovvio che per avere l'invarianza dobbiamo imporre $\int \mathrm{d} \theta \, B \eta = 0$, che corrisponde semplicemente alla rilevante condizione
$\int \mathrm{d} \theta = 0$.
Inoltre vale anche la seguente fondamentale relazione:
$\int \mathrm{d} \theta \, \theta = 1$.
È possibile definire pure le variabili di Grassmann complesse come segue:
$ \theta = \frac{\theta_{1} + i \theta_{2}}{\sqrt{2}}$
$\theta^{*} = \frac{\theta_{1}-i \theta_{2}}{\sqrt{2}}$
Possiamo poi introdurre la coniugazione complessa di un prodotto di variabili di Grassmann:
$(\theta \eta)^{*} \equiv \eta^{*} \theta^{*} = - \theta^{*} \eta^{*}$.
Il lettore esperto avrà sicuramente notato che quanto appena visto ricorda moltissimo l'aggiunto di un prodotto di operatori.
Molto interessante è anche il fatto che valga la relazione $\mathrm{d} \theta_{1} \mathrm{d} \theta_{2} = i \mathrm{d} \theta \mathrm{d}\theta^{*}$, il che implica la possibilità di utilizzare $\theta$ e $\theta^{*}$ come variabili indipendenti.
Per concludere, vediamo cosa succede agli integrali gaussiani espressi in termini di variabili di Grassmann.
Immaginate di voler calcolare $\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, e^{- \theta^{*} b \theta}$, con $b$ costante.
La prima cosa da fare è procedere all'espansione di Taylor dell'esponenziale, ergo l'integrale diventa:
$\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta (1- \theta^{*} b \theta) = \int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta (1+ \theta \theta^{*} b)$.
Ora riscriviamo l'espressione nel seguente modo:
$\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, e^{- \theta^{*} b \theta} = \int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta + b \int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, \theta \theta^{*} $
Ricordando le relazioni viste sopra, è facile constatare che
$\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta = 0$
$\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, \theta \theta^{*} = 1$.
In definitiva: $\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, e^{- \theta^{*} b \theta} = b$.
Si noti che se $\theta$ fosse un tradizionale numero complesso (e quindi non una variabile di Grassmann) il risultato dell'integrazione sarebbe invece $\frac{2 \pi}{b}$.
Un altro significativo integrale gaussiano è il seguente:
$\int \mathrm{d} \theta^{*} \mathrm{d} \theta \, \theta \theta^{*} \, e^{- \theta^{*}b \theta} = 1$.
Il lettore può divertirsi per esercizio a provare la veridicità di tale relazione utilizzando passaggi simili a quelli visti nel caso precedente.
Ovviamente è possibile generalizzare la trattazione al caso di integrali multidimensionali come
$I = \left ( \prod_{i}^{} \int \mathrm{d} \theta_{i}^{*}\, \mathrm{d} \theta_{i} \right ) e^{- \theta_{i}^{*} B_{ij} \theta_{j}}$,
in cui $B_{ij}$ denota la matrice hermitiana con autovalori $b_i$. Si noti inoltre che le somme $\sum_{i}$, $\sum_{j}$ sono qui implicite.
Il risultato dell'integrale gaussiano multidimensionale è semplicemente: $I = \mathrm{det} \, B$.
Per ulteriori dettagli e chiarimenti sull'argomento numeri di Grassmann vi riporto di seguito la videolezione di Nabil Iqbal.
Una curiosità conclusiva: il moderno concetto fisico di supersimmetria (si legga anche qui) dipende in modo significativo dalle algebre di Grassmann.
Rimpiazzando i numeri ordinari con quelli di Grassmann è possibile infatti costruire nuove strutture matematiche come supergruppi, supervarietà, ecc., concetti intimamente legati alla nozione di supersimmetria.
Terminiamo il post con un meraviglioso video di circa 15 minuti sulla supersimmetria tratto dal canale ScienceClick English.
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Fonti essenziali:
- Dio è un matematico di Mario Livio
- Quantum Field Theory. From Basics to Modern Topics di François Gelis.
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