0,99999999.... = 1, LA DIMOSTRAZIONE BASATA SULLA SERIE GEOMETRICA

Il fatto che un numero decimale illimitato periodico semplice, 0,99999999...., possa essere uguale ad un numero "puro", naturale, ovvero 1, è una questione alquanto curiosa ed interessante da approfondire.

Un approfondimento è stato compiuto di recente dalla prof. Annarita Ruberto, sul suo blog Matem@ticaMente, in uno splendido racconto matematico che vi consiglio vivamente di leggere (cliccate qui).
Lo scopo del presente post è quello di fornire un'ulteriore dimostrazione del fatto che 0,99999... sia effettivamente equivalente a 1, almeno in Matematica.
Tale dimostrazione si baserà sul concetto di serie geometrica.
Abbiamo già incontrato il concetto matematico di serie, anche in un racconto su un immaginario "Hotel Calculus".
Ricordo che una serie è una somma infinita di numeri e che il "cuore" di una serie è una certa successione, detta termine generale della serie, la quale precisa i numeri che vengono sommati.

Ad esempio, data la successione


 

La serie che presenta il suddetto termine generale è quella che segue:





Ma che cos'è la serie geometrica?
Niente di complicato! Ve la faccio vedere:

Come potete osservare, ogni termine della serie è multiplo del precedente di un fattore x, un numero chiamato ragione della serie geometrica.
Questa ragione x è importantissima perché fa capire il carattere della serie geometrica, cioè la sua tendenza a convergere a un numero finito o a divergere all'infinito.
Andiamo a scoprire i vari casi.

1° CASO:



allora la serie geometrica diverge.
In simboli:





Perché?
La risposta risiede nel fatto che se la ragione x è maggiore o uguale a 1, allora la successione



non tende a 0 (qualunque esponente n naturale inserite, non otterrete mai il risultato 0).
Esiste appunto un'importante condizione necessaria per la convergenza delle serie, la quale afferma che se una serie





è convergente, allora la successione (ossia il termine generale) an tende a 0 per n che tende a +∞.
Siccome, nel nostro caso, la successione non tende a 0, per la condizione appena enunciata, la serie geometrica non può convergere ma deve divergere, se x è maggiore o uguale a 1.

2° CASO:



allora la serie geometrica converge.
In particolare, essa converge al valore finito:




Questo perché:

Uguaglianza che si può provare tramite il metodo di induzione (lo abbiamo visto qui).
Dimostriamola!
Per n = 1 (base dell'induzione), il secondo membro dell'equazione precedente diventa:

 


ossia, ricordando un famoso prodotto notevole:




Quindi, l'uguaglianza




fermandosi ad n = 1, si può in definitiva riscrivere come:



ovvero abbiamo provato la base dell'induzione.
Ora dobbiamo procedere col passo induttivo.
Supponendo dunque che la nostra uguaglianza




sia vera, sommiamo ad entrambi i membri il termine



Otteniamo pertanto:

Ciò che abbiamo ricavato è la proposizione di partenza con n + 1 al posto di n.
Ergo, in base al principio di induzione, abbiamo verificato la veridicità dell'uguaglianza

Tutto ciò implica che possiamo scrivere senza problemi ciò che segue:

Trattasi però di una somma parziale.
A noi interessa invece la somma fino all'infinito.
Ciò significa che dobbiamo semplicemente calcolare il limite di tale somma per n tendente a +∞.
Ebbene:





Abbiamo dunque appurato che la serie geometrica converge al valore 1/(1-x) quando la ragione x si trova compresa tra -1 e 1.
Nel caso particolare in cui x risulti essere minore o uguale a -1, allora il carattere della serie è indeterminato.
Il caso che servirà a noi per provare l'uguaglianza 0,9999999... = 1 è quello in cui la serie geometrica converge.
Come procediamo allora per dimostrare questo curioso fatto?
Sappiamo bene che 0,9 è esprimibile attraverso il rapporto 9/10.
Come possiamo esprimere invece 0,99, oppure 0,999 e così via?
Oltre (banalmente) come 99/100, 999/1000, ecc., anche attraverso una semplice somma.
Infatti:







Generalizzando:





Quel 9 dentro la sommatoria possiamo inoltre portarlo fuori dalla stessa perché è una costante:





Possiamo ancora manipolare l'espressione dentro la sommatoria.
Riscriviamo pertanto l'uguaglianza in questa maniera equivalente:





Se osservate con attenzione noterete che adesso la nostra sommatoria è diventata una serie geometrica di ragione 1/10.
Siccome 1/10 = 0,1 ed è dunque compreso tra -1 e 1, allora la serie converge ad un valore finito.
Se una serie geometrica generale converge al valore 1/(1-x), ne consegue che:





ATTENZIONE!
L'UGUAGLIANZA CHE ABBIAMO APPENA SCRITTO È SBAGLIATA!
Perché?
Il motivo sta nel fatto che la serie geometrica parte da un indice n = 0, mentre qui stiamo considerando una sommatoria che parte da n = 1.
L'uguaglianza corretta è la seguente:





Praticamente abbiamo preso il valore (10/9) della somma che parte da n = 1 e gli abbiamo sottratto il valore 1, cioè quello che si ottiene al solo indice n = 0.
Se ricordate, avevamo nella nostra uguaglianza





un 9 fuori dalla sommatoria.
Quindi, in definitiva:




La dimostrazione è finita! :)