IL MERAVIGLIOSO HOTEL CALCULUS

Era una notte d'estate, calda, afosa.
Charlie non riusciva a prendere sonno; ogni minuto cambiava il suo fianco d'appoggio al letto, compiendo rotazioni di 180 gradi, e cercando disperatamente di avere accesso al mondo dei sogni. Niente da fare.
Inquieto, decise di alzarsi per bere un po' d'acqua fresca, al fine di rigenerare le sue membra sfiancate dal caldo e dall'insonnia.
D'un tratto un rumore curioso balenò alle sue orecchie. Il ragazzo decise di investigare.
Ancora in pigiama, uscì dalla sua stanza d'albergo, attirato da quel suono indecifrabile.
Percorse tutto il corridoio; ogni passo che compiva lo portava sempre più prossimo alla misteriosa meta, dato che il suono si faceva sempre più acuto, a causa dell'effetto Doppler.
Quando arrivò in fondo, Charlie non poté credere ai suoi occhi: le scale e l'ascensore erano scomparsi. Al loro posto era apparsa una grande parete, ma non una parete normale.
Nel suo baricentro si stava generando un cunicolo spazio-temporale, una sorta di wormhole che produceva nell'aria un suono troppo singolare per poter essere descritto da mente umana.

Charlie impiegò alcuni minuti per riprendere il senno di fronte a tale visione, la quale sembrava uscita da un libro di fantascienza.
La sua profonda curiosità prevalse però sulla paura; si gettò all'interno del fantasmagorico tunnel.
Una sensazione di vuoto, come quando si perdono i sensi, lo attanagliò per alcuni secondi.
Poco dopo si ritrovò, con suo grande stupore, di nuovo in hotel.
Era tutto identico a prima, o quasi. Sulle porte delle camere non apparivano più semplici numeri cardinali, bensì formule complesse e denominazioni di matematica avanzata.
Ogni porta aveva già inserita nella serratura la sua chiave di riferimento, come se aspettasse che qualcuno la aprisse e osservasse ciò che occultava alla vista.
Charlie rimase stupefatto dalla quantità di matematica che riempiva l'intero albergo. Decise fermamente di aprire una di quelle porte che lo avrebbero condotto chissà dove.

La sua attenzione fu catturata da quella in cui vi era una scritta viola, tutta maiuscola, che recitava: CRITERIO INTEGRALE.
Il giovanotto girò la chiave nella serratura e cautamente aprì la porta.
Era tutto buio all'interno. Charlie cercò ostinatamente un interruttore. Non appena lo trovò e lo schiacciò, una voce elettronica annunciò trionfalmente: "Benvenuti nella camera del criterio integrale".
Si trattava di una stanza piena zeppa di libri di matematica, sia nuovi che antichi, con mura bianche totalmente ricoperte di equazioni, le quali mutavano il loro colore incessantemente, dando luogo a un sublime spettacolo. Tuttavia, guardando verso est non si riusciva a scorgere nulla. La stanza sembrava non finire mai.
All'improvviso apparvero vicino al ragazzo tre strambi personaggi animati. Essi, sospesi in aria, stavano chiacchierando relativamente a teoremi matematici, complicate equazioni e concetti a dir poco pazzeschi. A Charlie sembrò in effetti di esser stato catapultato dentro un film d'animazione sulla matematica.
Due di loro, che parevano sorelle, quasi gemelle, avevano la forma di una a minuscola con una sorta di coda che assomigliava ad una n.
Cosa ancora più stramba era lo scudo - se così si può definire - nero come la pece che fluttuava alla loro sinistra. Non si trattava però del classico scudo circolare o, quantomeno, di una forma geometrica "normale". Aveva invece la conformazione di una montagna con due vette, ma tali vette erano rivolte verso il lato sinistro.
Il particolare che differenziava le due sorelle era ciò che fluttuava sotto questi scudi: una mini formula.
Una sorella possedeva la formuletta n = 1, mentre l'altra quella n = 2.
Sopra quella specie di montagna girata entrambe presentavano poi lo splendido simbolo dell'infinito, un 8 rovesciato, ovvero una lemniscata.

Prima sorella serie

Seconda sorella serie

 






E poi c'era il terzo tizio, l'amico delle due quasi gemelle. Quest'ultimo aveva la forma di un'espressione letterale alquanto singolare: f(x)dx.
Non solo, anch'egli possedeva il proprio scudo, che assomigliava ad una s allungata, accanto alla quale risultavano posizionati degli ulteriori simboli.

L'amico integrale

I 3 personaggi stavano ancora discutendo amichevolmente fra loro, quando si intromise lo stupito ragazzetto.
"Voi cosa cavolo siete?" domandò Charlie.
Al che l'individuo con lo scudo alla stregua di una s allungata prese la parola: "Ma sei proprio ignorante! Va bene, sarò gentile, risponderò alla tua domanda. Noi siamo simboli matematici, nello specifico, noi viviamo per soddisfare il criterio integrale".
"Cos'è questo criterio e a che diavolo serve?" domandò con curiosità Charlie.
"Ora ascoltami bene. Io sono un integrale definito (anzi, dovrei chiamarmi improprio o generalizzato), un oggetto matematico che definisce l'area che sta sotto una certa curva o funzione nel piano cartesiano. In particolare, i simboli che fluttuano vicino al mio scudo sono i miei estremi di integrazione, quelli che specificano in che intervallo dell'asse delle ascisse io agisco. Le mie amiche, invece, sono delle serie. Le serie non sono altro che delle somme infinite di numeri. Il cuore di una serie è il suo cosiddetto termine generale: la successione an. Una successione è una legge che ad un dato imput fornito da un numero naturale fa corrispondere un output, un numero reale. Una serie non fa altro che prendere tutti gli output della successione e sommarli insieme, a partire da un certo n, fino all'infinito. Ti faccio un esempio banale; immagina una successione del tipo:






Ogni volta che immetti un certo numero n naturale (1, 2, 3, 4, 5, ...) nella suddetta formula otterrai un certo numero reale, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 e così via. La serie che ha termine generale 1/n è detta serie armonica e non fa appunto altro che sommare tutti gli infiniti output della successione.

Le mie amiche, a differenza della serie armonica, sono serie generali, che possono dunque scegliere come loro termine generale qualunque successione desiderino, purché rispettino il criterio sotto cui siamo governati, quello integrale appunto".
"Interessante, ma non mi hai ancora detto che diavolo stabilisce questo fantomatico criterio?" asserì un po' inquieto il giovane Charlie.
"Con calma. Adesso ci arrivo. Immagina una certa curva - dovrei chiamarla funzione - che decresce. Questa funzione deve essere definita in un certo intervallo dell'asse delle ascisse, l'intervallo [1, +∞). Inoltre, tale funzione deve avere i suoi valori di output, cioè quelli sull'asse delle ordinate, compresi nell'intervallo [0, +∞). Adesso immagina di poter definire una certa successione an come f(n), cioè immagina che tale successione assuma gli stessi valori (gli output) della funzione per ogni n naturale. Sotto tali condizioni, il criterio integrale stabilisce che io e la mia prima amica

        



abbiamo lo stesso carattere".
"Lo stesso carattere? Praticamente, se tu sei gentile, lei è gentile; se sei egoista, lei è egoista e così via. Ho capito bene?" chiese Charlie.
"Non è del tutto sbagliato quello che affermi, solo che noi non condividiamo il carattere inteso nel senso comune del termine. Per noi, integrali e serie, il carattere è qualcosa di molto più importante. Il carattere rappresenta la nostra tendenza a convergere o a divergere, ossia a tendere ad un numero finito oppure all'affascinante infinito. È per questo motivo che chiunque venga a visitare questa stanza troverà sempre me, integrale, e le mie amiche, le serie, assieme. Finché restiamo sotto le stringenti regole imposte da questa camera, ossia dal criterio integrale, se uno di noi decide di divergere, allora anche gli altri devono divergere. La cosa positiva è che sono sempre in ottima compagnia. L'aspetto negativo è che non rimane nemmeno un po' di privacy, neanche al bagno!".
"Ma perché questa stanza vi costringe ad avere lo stesso carattere? Non vedo delle catene che vi legano." asserì il ragazzo.
"Ah, vuoi una dimostrazione? E dimostrazione sia! Dobbiamo preparare gli effetti speciali però. Dammi un minuto e sarai accontentato." rispose l'integrale.
"Siamo pronti". Ci fu un fragoroso boom e subito dopo sbucò dal nulla, in una sezione della camera, un maxi schermo davvero imponente e con una risoluzione video incredibile.
Sullo schermo era raffigurata in rosso una funzione, nel piano cartesiano, che decresceva continuamente avvicinandosi sempre più all'asse delle ascisse.
Pochi secondi dopo comparve sul piano cartesiano una schiera di rettangoli colorati in verde chiaro.
Si trattava di una funzione a gradino, la quale approssimava in difetto l'area sottesa alla curva rossa.

 












Charlie rimase ammirato da tale visione, ma questo era soltanto l'inizio.
Una delle serie e l'integrale con cui stava tenendo una conversazione si fiondarono dentro il maxi schermo!
Il loro giungere all'interno di quel colossale schermo li portò a mutare da strani esseri tridimensionali animati a semplici simboli matematici bidimensionali.
La voce dell'integrale riecheggiò per la stanza: "Io sono l'integrale e rappresento tutta l'area che c'è sotto la curva, dal punto x = 1 sino all'infinito. Ho portato con me la mia amica serie, la quale designa l'area definita dalla funzione a gradino a partire da x = 2, che è certamente minore o uguale all'area da me, integrale, rappresentata".
Ecco allora che i 2 simboli si sistemarono sopra la curva rossa, richiamando vicino a loro un ulteriore simbolo, un simbolo di diseguaglianza.

Dopo 15 secondi, lo schermo diventò totalmente bianco.
Poi però riapparve la curva rossa, ma questa volta venne accompagnata da una funzione a gradino che approssimava in eccesso l'area sottesa ad essa.
Ricomparve anche l'integrale, tuttavia in compagnia dell'altra amica serie, colei che partiva da n = 1.
La sua voce esclamò: "Purtroppo in cotal occasione non sono io il più grande. Devo schiettamente ammettere che la mia amica serie ha infatti un valore sempre maggiore o, se son fortunato, uguale a me".
Ed eccolo di nuovo il grazioso simbolo di disuguaglianza, non molto adorato dall'integrale, almeno in questo frangente.

"Come avrai forse capito, a me tocca stare sempre confinato in mezzo alle mie amiche. Non posso rimanere né davanti né dietro ad entrambe. Almeno mi consolo col celebre motto in medio stat virtus" disse l'integrale.

"C'è una curiosità che vorrei svelarti" aggiunse. "La serie che parte da n = 2 possiede un potere magico, o meglio, matematico stupefacente. Può letteralmente trasformarsi in sua sorella. Hai presente Mistica degli X-Men, colei che può trasformarsi in qualsiasi persona desideri?

Ebbene, la serie ha la medesima capacità, con le ovvie limitazioni e differenze. Amica mia, compi orsù la tua mutazione in modo che il ragazzo possa ammirarla!".
Lo schermo cominciò a brillare sempre più sino ad innescare un'esplosione di luce.
Quando tutto tornò tranquillo, ciò che Charlie poté ammirare fu una nuova, fondamentale diseguaglianza.

Subito pervenne il chiarimento dell'integrale: "Ora, a seguito di questa superlativa trasformazione, mi trovo in mezzo a 2 serie assolutamente identiche, con inoltre la compagnia di un nuovo simbolo, f(1), ovvero la funzione rossa calcolata nel punto x = 1. Mi piace però maggiormente stare nel mezzo della situazione, praticamente analoga, che vedrai fra un attimo.

Ecco, la formula che osservi adesso dimostra il criterio integrale, perché impone la regola inviolabile la quale stabilisce che io e la serie dobbiamo stare sempre assieme e dobbiamo avere lo stesso carattere. Non c'è modo di sfuggire a tale legge; è peggio di una prigione, da cui c'è, raramente, possibilità di evadere. Qui il motto è invece No way out, "nessuna via d'uscita".
"Ding dong, il tempo è scaduto. Abbandonare rapidamente l'albergo o vi saranno infauste conseguenze." fu l'annuncio di una voce elettronica che rimbombò per la camera.  
"Ho capito che devo andare via, ma devo farti assolutamente un'ultima domanda: perché i vostri simboli di integrale e serie sono degli scudi resistenti?" chiese Charlie all'integrale.
"Purtroppo non si sa mai chi può capitare nell'Hotel Calculus, è così che lo chiamiamo. Arriva anche gente che, diversamente da te, quando ci vede vuole farci fuori. Dobbiamo pure proteggerci in qualche modo, no? Tutto ciò succede perché l'amore per la matematica non è molto diffuso, l'odio e la repulsione decisamente di più. Addio ragazzo, magari un giorno sarai ancora una volta il prescelto per accedere qui e ci incontreremo di nuovo. Spero che la tua esperienza sia stata piacevole ed istruttiva" concluse l'integrale.
"È stato il più bel giorno della mia vita" dichiarò Charlie, triste di dover lasciare così presto quel posto denso di meraviglie matematiche da scoprire e di bizzarri personaggi da conoscere.
Un nuovo wormhole si manifestò al centro del maxi schermo. Charlie lo attraversò e fece ritorno nel corridoio d'albergo, un albergo che era tornato alla piena normalità.
Decise di rientrare nella sua camera e provare finalmente a dormire, con la speranza di far riaffiorare, almeno nei suoi sogni, il fantastico Hotel Calculus.


NOTA DELL'AUTORE:
Questo post, come avrete constatato, non è il solito articolo divulgativo su un dato argomento scientifico, ossia la classica tipologia di post presenti sul blog Scienza e Musica. Trattasi invece di un racconto, da me elaborato, che mette insieme elementi fantastici-fantascientifici e rigorose nozioni di analisi matematica. Il suddetto racconto partecipa al Carnevale della Letteratura n.2, che sarà ospitato da Spartaco Mencaroni, sul blog Il coniglio mannaro, con l'affascinante tema I luoghi di confine.

Leonardo Petrillo