MATEMATICA ED ARTE: L'ELICA

La matematica e l'arte sembrano, a prima vista, 2 mondi totalmente differenti, uno dominato dalla pura razionalità, l'altro dalla fantasia e dall'immaginazione.
In realtà, spesso e volentieri, la matematica risulta una disciplina assai creativa mentre l'arte tende ad utilizzare le regole rigorose della matematica, come nel caso del principio di proiezione e sezione alla base della prospettiva focale, di cui abbiamo parlato qui.
Per far percepire l'attività creativa della matematica, riporto un breve passo da Récoltes et semailles, opera scritta, tra il 1983 e il 1986, dal grandissimo matematico Alexander Grothendieck (1928-2014), passo che traggo da un bel libro intitolato Matematica ribelle, le due vite di Alexander Grothendieck:

"La maggior parte dei matematici...hanno la tendenza a confinarsi in un quadro concettuale, in un ≪Universo≫ fissato una volta per tutte — quello, sostanzialmente, che hanno trovato ≪bell'e pronto≫ quando hanno fatto i loro studi. Possono essere paragonati a chi abbia ereditato una grande e bella dimora, arredata con tutte le comodità, con i suoi saloni, le sue cucine e i suoi laboratori, e le sue casseruole e attrezzi per ogni evenienza, con i quali c'è modo certamente di cucinare e di fare tanti bei lavoretti...Per quel che mi riguarda, sento piuttosto di appartenere alla stirpe dei matematici la cui vocazione spontanea, e la cui gioia, è di costruire senza posa case nuove. Strada facendo, costoro non possono sottrarsi anche al compito di inventare e di forgiare man mano tutti gli arnesi, utensili, mobili e strumenti che sono necessari tanto per costruire la casa dalle fondamenta fino al colmo del tetto, quanto per rifornire in abbondanza le future cucine e i futuri laboratori, e arredare la casa per viverci con tutti gli agi. Ciò nonostante, non appena tutto è sistemato fino all'ultima grondaia e all'ultimo sgabello, è raro che l'operaio si trattenga a lungo nei luoghi in cui ogni pietra e ogni trave reca traccia della mano che l'ha lavorata e posata. Il suo posto non è nella quiete degli universi bell'e pronti, per quanto armoniosi e accoglienti possano essere — non importa se siano stati congegnati dalle sue proprie mani o da quelle dei suoi predecessori. Altri compiti già lo chiamano su nuovi cantieri, sotto la spinta imperiosa di bisogni che è forse il solo a provare chiaramente, o (ancora più spesso) anticipando bisogni che è il solo a presagire."

L'interessante commento a seguito del suddetto passo presente nel testo Matematica ribelle è quello che segue:

"Il profano che si accosti all'opera matematica di Grothendieck dovrà dunque abbandonare l'idea comune secondo cui il matematico è un problem solver e provare a considerarlo come un demiurgo, o piuttosto come un artista. In questa prospettiva, la matematica diventa un'arte, seppure del tutto particolare, nella quale l'arbitrarietà delle invenzioni si concilia con il rigore delle dimostrazioni, e l'immaginazione si accorda con la ragione: le sue opere sono teorie in un intreccio, un disegno, che permette sempre di cogliere un'unità nella molteplicità."

Questa premessa ci serve per introdurre un argomento che è a cavallo tra matematica ed arte, una forma geometrica che ha e ha avuto tante applicazioni in campo artistico ed architettonico: stiamo parlando dell'elica!
Un'elica cilindrica è semplicemente una curva nello spazio tridimensionale, la quale viene rappresentata alla stregua di una linea avvolta con un angolo costante intorno ad un cilindro (a sezione circolare).


















Un'immagine suggestiva che potremmo far scaturire nella nostra mente per fissare bene il concetto di elica in geometria è quello di un contenitore a forma di cilindro attorno al quale si è avvolto un lungo serpente (naturalmente assumendo un arrotolamento perfetto ad angolo costante del rettile)!

Se proprio vogliamo essere rigorosi, dovremmo dire che l'elica è caratterizzata da un vettore tangente, il quale forma un angolo costante con una direzione ben precisa, che è la direzione definita dal proprio asse di rotazione.
Il fatto di essere una linea della superficie cilindrica a pendenza costante rende palese l'utilità della costruzione di scale proprio a forma di elica, le cosiddette "scale a chiocciola".




















Da un punto di vista puramente matematico, un'elica può essere poi descritta parametricamente dalle seguenti equazioni:






ove r è il raggio del cilindro, t è un parametro numerico reale, c è una costante denominata ≪passo≫ dell'elica.
In particolare, il passo designa la distanza minima tra 2 punti dell'elica che giacciono sulla medesima verticale, ossia che hanno le stesse coordinate x ed y.














È interessante constatare che, quando c = 0, le equazioni vanno a descrivere nientemeno che un cerchio, che è quindi una forma degenere di elica, mentre un'ulteriore forma degenere si ha ovviamente quando r = 0, imposizione che riduce il tutto a una linea retta!
Tra le proprietà dell'elica cilindrica, di particolare interesse è la seguente: dati 2 punti qualsiasi su un cilindro, ma non sulla stessa retta generatrice, il cammino più breve (chiamato geodetica) sul cilindro per andare da un punto all'altro è proprio un'elica!
Il segno positivo o negativo del passo c determina pure se l'elica è destrogira o levogira.

Tutto ciò fa dell'elica un oggetto chirale (si veda qui)!
Le viti a elica sono quasi tutte destrogire.
Le eliche cilindriche condividono una peculiarità con le rette e le circonferenze: sono infatti le curve che ammettono un gruppo di isometrie in sé.
In altre parole, presi 2 punti della linea considerata, esiste un'isometria del gruppo che trasforma la linea in sé, portando il primo punto nel secondo!
In particolare, si perviene alle trasformazioni che portano un'elica su se stessa andando a combinare una rotazione intorno all'asse della superficie cilindrica con una traslazione nella direzione delle rette della superficie.
Il termine "elica" fa subito pensare pure ad applicazioni tecnologiche di rilievo: in meccanica, un'elica è uno strumento che trasforma un movimento rotatorio in una spinta di direzione perpendicolare al piano di rotazione.
La mente brillante di Leonardo da Vinci (di cui abbiamo parlato qui) condusse poi alle eliche degli elicotteri, delle navi e degli aerei.
Tuttavia, già in tempi più antichi le peculiarità delle eliche cilindriche vennero riconosciute e sfruttate.
Oltre al torchio di legno impiegato sin dal I secolo a.C. nel Mediterraneo per spremere uva ed olive, va ricordata la cosiddetta pompa (vite) senza fine di Archimede, chiamata anche coclea (termine latino che sta per "chiocciola").
Essa è generalmente costituita da un tubo in cui scorre una vite cilindrica; posta in rotazione la vite, ogni avvolgimento porta acqua o altro materiale incoerente all'avvolgimento seguente, fino a quando l'acqua o il materiale raggiungono l'altro estremo del tubo, nel quale vengono raccolti o fatti espandere.











Al giorno d'oggi la vite è considerata una macchina semplice (ovvero non scomponibile in parti che siano a loro volta macchine) capace di trasformare un moto circolare in un moto rettilineo.
Molti attribuiscono l'origine della vite al grande matematico greco Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Secondo lo storico e matematico Proclo di Costantinopoli (412-485 d.C.), le proprietà matematiche della vite sono dovute a un altro notevole esponente della matematica antica, cioè Apollonio di Perga (262-190 a.C), l'autore delle famose "coniche".
Successivamente, Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il II secolo d.C.) giunse ad un metodo per creare viti cilindriche con la propria madrevite.
Le prime viti erano naturalmente costitute da legno; le viti metalliche apparvero in Europa nel XV secolo, tuttavia per una produzione di massa bisognerà aspettare il XVIII secolo.
Infatti, nel 1797, il giovane ingegnere britannico Henry Maudslay (1771-1831) inventò un apposito tornio per costruire viti.
L'anno successivo ci fu una del tutto analoga invenzione da parte di David Wilkinson (1771-1852), negli Stati Uniti.
Il vero e proprio boom delle viti metalliche, come le conosciamo oggi, si manifestò durante la Seconda guerra mondiale.
Negli anni '30 fu peraltro ideata la vite con testa a croce.
Vi starete ormai impazientemente chiedendo: "Sì, ma cosa c'entra l'elica con l'arte?".
Andiamo dritti al nocciolo della questione!

LE SERIE NEL CAMPO COMPLESSO: SERIE DI TAYLOR E SERIE DI LAURENT

Di serie abbiamo già parlato in diverse occasioni in questo blog.
Per esempio, qui abbiamo dimostrato come 0,999999... = 1 sulla base della serie geometrica o, addirittura, qui ci siamo avventurati in un racconto immaginario ambientato in un bizzarro hotel con serie e integrali come protagonisti!
Riguardo le serie di funzioni di una variabile complessa, le definizioni e le considerazioni di carattere generale fatte nel caso delle serie di funzioni di una variabile reale vengono riprese e trasportate pari pari nel campo complesso, effettuando i necessari adeguamenti terminologici.
In tal modo, data una successione di funzioni, analitiche in una certa regione R del piano z

diremo che la serie






è convergente, per z appartenente ad un certo dominio D ⊂ R, ad una certa funzione f(z), se esiste il limite per n → ∞ della sua ridotta ennesima

e tal limite è uguale a f(z):





Un ruolo importante è assunto dal concetto di serie uniformemente convergente (in un certo dominio).
La serie

viene chiamata uniformemente convergente (o equiconvergente o anche convergente in ugual grado) per z ∈ D se, dato un numero ε > 0 arbitrario (lo si immagini piccolissimo), è possibile trovare un indice n₀ tale che, per ogni n > n₀, valga

ove R_n(z) designa il cosiddetto resto ennesimo, dato dalla seguente formula:

Vale a tal proposito il seguente teorema di Weierstrass:

"Se f_k(z), con k = 1, 2, ..., è una successione di funzioni analitiche e se la somma infinita






converge uniformemente a f(z) in qualsiasi regione R' ⊂ R, allora f(z) risulta analitica in R e vale

"

LA RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE DI CAUCHY

Eccoci giunti ad un nuovo appuntamento con l'analisi complessa.
Di seguito la lista delle "puntate" precedenti (al lettore non esperto è consigliabile recuperarle, se vuole seguire al meglio la narrazione che avrà qui luogo):

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";
- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa".

Bene, diciamo ora che dal teorema di Cauchy è possibile far scaturire una formula integrale assai rilevante per lo sviluppo della teoria delle funzioni analitiche.
Sia f(z) una funzione analitica e regolare in una certa regione R semplicemente connessa.
Sia poi γ ⊂ R una curva chiusa, allora vale per f(z) la seguente rappresentazione

per ogni z interno a γ (in termini rigorosi, z ∉ γ), nota come rappresentazione integrale di Cauchy.

Come sempre, il cerchietto presente sul simbolo dell'integrale sta ad indicare che l'integrazione avviene su un percorso chiuso (nel nostro caso la curva γ), ove la sua posizione iniziale e la sua posizione finale coincidono.
Specifichiamo che per ogni z appartenente a R esterno a γ, il 2° membro della suddetta equazione è nullo per via del teorema di Cauchy.
Infatti, la funzione integranda 





è in tal caso una funzione di z' olomorfa in tutta la regione racchiusa da γ.
Ora, siccome f(z) è per ipotesi analitica (e quindi continua nei punti della curva γ), ne segue che la derivata di f(z) può essere ottenuta a partire proprio dalla rappresentazione integrale di Cauchy, compiendo una derivazione del 2° membro (sotto il segno di integrale).
Si ha cioè:

Iterando il procedimento (ovvero compiendo derivazioni successive) si ottiene la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata ennesima di una funzione analitica:





Si vede così che una funzione analitica è infinitamente derivabile e che le sue derivate sono anch'esse note, una volta noti i valori assunti dalla funzione nei punti del contorno γ.
Vediamo un paio di semplici esempi.
Si consideri

ove l'integrazione è in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il fattore






è analitico entro la regione racchiusa dal contorno, quindi trattasi di un caso di formula integrale di Cauchy, con






e z = 0.
Il risultato è immediato:

Vediamo un secondo esempio:






dove l'integrazione è sempre in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il denominatore si può facilmente scomporre come

ed è chiaro che la regione d'integrazione contenga 2 fattori singolari (ove il denominatore si annulla).
Con una certa manipolazione possiamo, però, fare in modo che si possa utilizzare la rappresentazione integrale di Cauchy.
Infatti

da cui integriamo i 2 termini in maniera individuale:

Ciascun integrale è un caso della formula di Cauchy con f(z') = 1 e per entrambi gli integrali il punto z = ± 1/2 risulta entro il contorno, ergo ciascuno vale 2πi, e la loro somma è zero.
In definitiva, I = 0.

INTRODUZIONE ALL'INTEGRAZIONE COMPLESSA

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.

Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione

con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione




ponendo inoltre

All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi z_{k - 1} e z_k) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζ_k) e definiamo la somma

ove f_k = f(ζ_k).
Se esiste il limite I di I_n, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga




e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti z_k e ζ_k, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:





Riprendiamo ora la nostra formula






e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:

Abbiamo così:










Il limite |z_k - z_{k - 1}| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
 



Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come

Abbiamo così, per definizione, che:

 



In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.

PRIMI ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA: LE CONDIZIONI DI OLOMORFISMO DI CAUCHY-RIEMANN

In questo blog abbiamo già avuto modo di parlare di numeri complessi (in particolare qui) e abbiamo anche incontrato svariate volte gli strumenti fondamentali dell'analisi matematica nel campo dei numeri reali.
Ora è giunto il momento di fare un piccolo balzo in avanti, andando a scoprire gli strumenti basilari dell'analisi complessa.
Tralasceremo nella narrazione di questo articolo (e di quelli che seguiranno sull'argomento) molte dimostrazioni e tecnicismi esagerati; lo scopo primario qui è infatti di rendere accessibili e digeribili ad un lettore, con un minimo bagaglio di conoscenze dell'analisi matematica reale, le interessanti nozioni fondamentali dell'analisi complessa.
Diciamo innanzitutto che la parte dell'analisi matematica che si occupa dello studio delle funzioni di variabili complesse è generalmente chiamata teoria delle funzioni analitiche.
Premesso che una funzione è analitica nelle regioni dove essa è perfettamente definita (continua con tutte le sue derivate), la teoria delle funzioni analitiche è rivolta, in verità, specialmente allo studio dei punti (o delle regioni) di non analiticità delle funzioni stesse, essendo proprio tali punti, i cosiddetti punti singolari, quelli che determinano le caratteristiche fondamentali delle funzioni considerate.
Le uniche "funzioni" ovunque analitiche sono infatti banalmente costanti.
Una variabile complessa



vien detta funzione della variabile complessa

se esiste una corrispondenza prefissata fra i valori di z e quelli di w; se cioè ad ogni valore di z (fissato in modo qualsiasi in un certo insieme) corrispondono uno o più valori di w.
Nel primo caso la funzione sarà detta monodroma (o a un solo valore), nel secondo polidroma.
Ciò equivale a dire, in pratica, che le 2 funzioni u e v sono funzioni reali delle 2 variabili x e y.
Lo studio delle funzioni di una variabile complessa sembra quindi, a prima vista, potersi ricondurre a quello delle funzioni reali di 2 variabili reali.
In verità, le funzioni analitiche soddisfano a particolari condizioni restrittive che fan sì che queste godano di proprietà peculiari e possano essere studiate direttamente come funzioni di una variabile (complessa).
I concetti basilari della teoria delle funzioni di una variabile reale, come limite e continuità, risultano facilmente estendibili ad una generica funzione di variabile complessa

In tal modo, supposto che f(z) sia definita sui punti di un insieme E e che z₀ ∈ E sia un punto di accumulazione (limite) di E, diremo che f(z) tende ad un limite l per z → z₀ se, fissato un numero positivo ε arbitrario (piccolo quanto si vuole), è possibile trovare un numero positivo δ tale che:




con




Se una funzione f(z) è definita su un insieme continuo C di valori di z, essa risulta continua nel punto z₀ ∈ C se esiste ed è finito il limite di f(z) per z → z₀ e questo limite coincide con f(z₀).
Una sostanziale difficoltà si incontra invece quando si cerca di estendere alle funzioni di variabile complessa (in generale) il concetto di derivata.
La derivata di una funzione di variabile complessa non è infatti definita sempre in modo univoco.
Tuttavia le funzioni di maggiore rilevanza, ossia le funzioni analitiche, sono proprio quelle per cui la derivata è definita in maniera univoca.
Diciamo ora che f(z) è derivabile in senso complesso (o anche che f è olomorfa) in z₀ ∈ D, con D insieme di definizione di f(z), se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale quando z → z₀.
Tale limite si indicherà con f'(z₀) e verrà detto derivata di f in z₀.
In simboli:

La definizione è apparentemente "innocua", ma, come anticipato, è molto più restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista.
Essa richiede infatti che il limite del rapporto incrementale esista e sia lo stesso quale che sia il modo (la velocità, come grandezza vettoriale) con cui z tende a z₀.
Tutto ciò impone condizioni severe sulle derivate parziali delle funzioni u(x, y) e v(x, y).