IL PROBLEMA DELLA BRACHISTOCRONA

Uno dei problemi più celebri del calcolo delle variazioni è quello di determinare la curva congiungente 2 punti A e B assegnati (con il punto A posto a una quota superiore rispetto a B) e lungo la quale un punto materiale (possiamo anche immaginare un carrello) lasciato cadere (da fermo, sotto l'effetto di un campo gravitazionale e senza presenza di attrito) dal punto A raggiunga B nel minor tempo possibile.

Questo problema di determinare la suddetta curva (immaginabile come uno scivolo) viene chiamato problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, superlativo di brachýs, "breve", e chrónos, "tempo"), letteralmente "curva del tempo più corto".
Abbiamo già introdotto i rudimenti del calcolo delle variazioni qui.
Ricordiamo che trattasi di un campo dell'analisi matematica, il quale si occupa di trovare fra tutte le curve che soddisfano una determinata proprietà quella (o quelle) che minimizzano un certo criterio (ad esempio la lunghezza, il tempo o altre espressioni maggiormente complicate dipendenti dalla curva).
Il calcolo delle variazioni nacque proprio nel 1697 quando Johann Bernoulli (1667-1748) riuscì a risolvere il problema della brachistocrona, su cui si interrogava già Galileo nel 1638 nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai moti locali.
Tale branca venne sviluppata nell'arco di pochi decenni tanto che nel 1744 Eulero aveva già pubblicato il trattato Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes.
Successivamente, nel 1755, un giovane diciannovenne gli inviò un'epistola nella quale esponeva un metodo superiore al suo.
Si trattava di Joseph-Louis Lagrange, grande matematico (italiano) a cui abbiamo dedicato un post visualizzabile cliccando qui. 
Eulero, con un gesto tipico della sua personalità, rinviò la pubblicazione dei propri lavori in materia al fine di lasciare al giovane il primato di questo metodo, che battezzerà "calcolo delle variazioni".
Questi 2 straordinari matematici continuarono negli anni successivi ad occuparsene e a svilupparlo: Lagrange negli articoli pubblicati tra il 1758 e il 1761 negli "Atti" dell'Accademia delle Scienze di Torino, ed Eulero nella memoria datata 1766 dal titolo Elementa calculi variationum.
Ma veniamo al nocciolo della questione: come si risolve il problema?

Indicando con v la velocità del punto materiale lungo la curva, il tempo che occorre ad essa per percorrere un arco infinitesimo ds è semplicemente uguale a




Il problema si riduce quindi a determinare un minimo per l'integrale:





Consideriamo l'asse y rivolto verso il basso con lo zero alla quota del punto iniziale A di caduta. Assumiamo in pratica che il punto A abbia coordinate (0, 0).
Per il teorema di conservazione dell'energia del punto materiale, risulta valida l'uguaglianza:




da cui possiamo facilmente ricavare la velocità del punto alla quota generica y:




Abbiamo dunque trovato la velocità in funzione di y e pertanto conviene assumere y come variabile indipendente, per cui scriveremo il nostro cammino incognito come x = x(y).
Ricordiamo che la distanza infinitesima ds tra 2 punti vicini del cammino si può esprimere attraverso la relazione:




raccogliendo il dy² abbiamo:

dove





Sostituendo le espressioni ricavate di ds e v nel nostro integrale, abbiamo il tempo di percorrenza da A verso B pari a:

Questo è appunto l'integrale di cui dobbiamo determinare il minimo.
Esso è già nella cosiddetta forma standard





con l'eccezione che il ruolo di x e y risulta invertito.
La funzione integranda è pertanto:





Per trovare il minimo, è sufficiente applicare la fondamentale equazione di Eulero-Lagrange:





tuttavia va applicata scambiando i ruoli di x e y, dunque nella forma:





Notiamo che la funzione integranda risulta indipendente dalla x.
Ne consegue ovviamente che:




Non ci resta che calcolare la derivata




Per il numeratore della funzione integranda, dobbiamo applicare la nota regola della catena:

Ergo:

e quindi la derivata cercata è:

dato che, per quanto determinato prima, vale la relazione:





e solo la derivata di una costante può dare 0 come risultato.
Per comodità eleviamo al quadrato la derivata calcolata:





ove la costante è stata indicata come 1/2a per ragioni che vedremo tra poco.
Attraversi semplici passaggi si arriva alla soluzione di questa equazione:





Con la separazione delle variabili è facile ricavare che:





Per valutare il suddetto integrale risulta necessario effettuare una sostituzione (per una rinfrescata su tale metodo di integrazione, si guardi qui):



deriviamo tale espressione al fine di poter ricavare l'espressione del differenziale dy.



dunque



Andiamo ora a immettere la sostituzione effettuata nell'integrale:

Con qualche semplificazione si ottiene:





Quella radice altro non è che un modo di scrivere la tangente di θ/2, ma quest'ultima si può anche esprimere come:





pertanto abbiamo:

Adesso è banale risolvere tale integrale indefinito:



Abbiamo quindi determinato le 2 equazioni parametriche del cammino cercato, le quali forniscono x e y in funzione del parametro θ. 



Nel nostro caso, abbiamo scelto il punto iniziale A in maniera che x = y = 0.
Dunque dall'equazione esprimente la y si può constatare che il valore iniziale di θ è pari a 0.
Ciò implica che anche la costante di integrazione nell'equazione esprimente la x è nulla.
In definitiva, le equazioni parametriche della curva descritta dal punto materiale sono:

con la costante a scelta appositamente per far passare la curva proprio per il secondo punto dato, il punto B di coordinate (x₂, y₂).
L'andamento della curva viene raffigurato in modo simpatico nella seguente immagine:

Quest'altra immagine confronta invece il percorso costituito dalla brachistocrona con altri cammini:

Ma perché accontentarsi di un'immagine quando possiamo avere una splendida gif illustrativa sull'argomento (ringrazio la straordinaria prof. Annarita Ruberto per la segnalazione della gif seguente):

Sviluppando in serie la soluzione ottenuta (per y molto minore di a), la brachistocrona si può anche esprimere in questo modo:




La curva brachistocrona in fin dei conti altro non è che una cicloide.
Trattasi della curva percorsa da un punto di una circonferenza, quando il cerchio ruota senza strisciare lungo una retta ad esso tangente.

Se poi il punto, anziché essere situato sulla circonferenza, si trova all'interno del cerchio, si parla di cicloide accorciata, mentre se risulta situato all'esterno del cerchio, si ha a che fare con una cicloide allungata.

Concludiamo il post con un passo tratto dal libro Le curve celebri di Luciano Cresci relativo a Pascal, la cicloide e le dispute su di essa, curva che è stata definita non a caso "la bella Elena" della geometria:

"All'età di 31 anni, nella notte del 23 novembre 1654, Pascal, già famoso per le sue ricerche fisiche e matematiche, fece l'esperienza di un'estasi mistica, che lo indusse ad abbandonare i suoi studi portandolo quasi alla follia. Si dedicò soprattutto alla religione e scrisse Le Provinciali e I Pensieri. Qualche anno dopo, nel 1657, ancora di notte, ebbe un fortissimo mal di denti: e, nell'oscurità della sua stanza, quando il dolore era più forte, e non riusciva a prender sonno, concepì la soluzione di numerosi problemi matematici, fino ad allora irrisolti. Fu così che il provvidenziale mal di denti lo indusse a riprendere la sua attività di scienziato. I problemi, oggetto della sua meditazione notturna, erano relativi a una curva detta, in francese, roulette, in latino cycloidis o trochoidis (dal nome greco per "ruota"), che Pascal descrisse nella sua Histoire de la roulette (oltre un anno dopo, nell'ottobre 1658).

La roulette è una curva talmente comune, che dopo la retta e la circonferenza essa è quella più frequente; ed è spesso sotto gli occhi di tutti, tanto che c'è da stupirsi che non sia stata studiata dagli antichi, che non hanno tralasciato nulla al riguardo. La Roulette, infatti, non è altro che il percorso che fa nell'aria il punto di una ruota, quando essa rotola nel suo movimento normale, dal momento in cui il punto comincia a sollevarsi da terra, fino al momento in cui la rotazione continua della ruota l'abbia ricondotto a terra, dopo un giro completo: supposto che la ruota sia un cerchio perfetto, il punto preso in esame un punto della circonferenza, e la terra perfettamente piana.

Galileo era stato il primo ad occuparsene, cercando, sembra, di ottenerne empiricamente la quadratura. La studiarono poi padre Mersenne, Roberval, Torricelli, Fermat, Descartes, che ottennero dei risultati parziali. Ma nessuno era ancora riuscito a quadrare l'area totale della cicloide. Pascal studiò la cicloide generalizzata, arrivando, secondo le parole di Leibniz, a trovare per questa curva «delle verità profonde e straordinarie», e a dimostrare tutto ciò che sull'argomento era dimostrabile. La ripresa degli studi matematici non fu tuttavia così facile. Pascal, dopo la notte del mal di denti, non scrisse nulla delle scoperte fatte, perché, come dice un commentatore dell'epoca

le considerava vane ed inutili, e non voleva interrompere le sue opere religiose. Raccontando per caso l'accaduto al Duca di Roannez, questi gli fece notare che Dio aveva forse ordinato quell'incontro per dargli modo di stabilire e dare più forza all'opera che andava componendo contro gli atei e i libertini: infatti con la dimostrazione del suo genio avrebbe potuto smontare le solite obiezioni contro la religione, che sostengono essere soltanto gli spiriti deboli e creduloni a sostenere le prove, sulle quali si regge la religione cristiana.

Fatto sta che, dietro le pressioni dei suoi amici religiosi di Port-Royal, e del duca di Roannez, da lui gagné a Dio, Pascal fu indotto a comunicare al mondo di essere riuscito ad ottenere risultati importanti sulla roulette; ed anzi, sempre probabilmente per la maggior gloria di Dio, proclamò un concorso pubblico tra tutti i più famosi matematici dell'epoca. A chi avesse risolto il problema sarebbe stato dato un premio di 60 pistole. Questa faccenda di gare pubbliche, su questioni scientifiche, era tipica dell'epoca: ogni matematico era geloso assai delle sue scoperte, e la vittoria o la sconfitta in questo tipo di sfide poteva decidere nell'assegnazione o meno di cattedre universitarie. Naturalmente chi proponeva il problema era tenuto a conoscere la soluzione, pena l'essere svergognato e squalificato pubblicamente. Dunque nel giugno 1658 Pascal indirizzò una lettera circolare (in latino) con lo pseudonimo di Amos Dettonville (anagramma di Louis de Montalte, usato in un'opera precedente di Pascal, Le Provinciali), a tutti i geometri di fama, chiedendo di trovare

1. l'area di un segmento della roulette, compreso tra la curva, l'asse ed una corda parallela alla base;
2. il centro di gravità di tale segmento;
3. il volume generato da una rotazione attorno all'asse;
4. il volume generato da una rotazione attorno alla base;
5. i centri di gravità di tali solidi di rivoluzione;
6. i centri di gravità della metà di detti solidi tagliati da un piano passante per il loro asse.

Poco dopo però Pascal si accorse che i primi 4 problemi erano stati già risolti da Roberval e decise di ritirarli, stabilendo che le soluzioni sarebbero state giudicate solo sugli ultimi 2. La sfida di Pascal fu raccolta da numerosi sapienti: Wren, il costruttore della Cattedrale di St. Paul a Londra, il canonico de Sluse, di Liegi, l'olandese Huygens, Wallis d'Oxford, il padre Lalouère di Tolosa. Nessuno riuscì a trovare una risposta giusta e completa, anche se Wallis e Padre Lalouère contestarono vivacemente tale giudizio, sostenendo che la loro soluzione era corretta. Il 7 e 9 ottobre il concorso fu dichiarato chiuso da Dettonville con 2 lettere: la prima lettera in francese Réflexions sur les conditions des prix e la seconda in latino Annotata in quasdam solutiones, problematum de cycloide sono un vero e proprio trattato giuridico e potrebbero avere come titolo "Come cavillare per non assegnare i premi in palio". Il 24 novembre le soluzioni inviate furono esaminate da una giuria presieduta da Carcavi. Nel dicembre Pascal, con una lettera a Carcavi accompagnata da numerosi trattati geometrici, diede le sue soluzioni dei problemi.Così Pascal si tenne le 60 pistole ed è certo che la scoperta portò a Pascal l'ammirazione generale."