IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (1ª PARTE)

Drin, drin.
Erano le 6, la sveglia incominciò a suonare come programmato.
Il giovane Leo sobbalzò giù dal letto, risvegliato da quel suono squillante ed acuto.
Si preparò in fretta per recarsi a scuola; lo aspettava il suo primo giorno del 5° anno di liceo scientifico.
All'entrata dell'edificio scolastico ritrovò i suoi amici, leggermente agitati per quello che sarebbe stato probabilmente l'ultimo primo giorno di scuola.
Leo cercò di tranquillizarli e insieme si diressero all'interno della scuola, in cerca della loro aula.
Una decina di minuti dopo tutti gli alunni erano seduti sulle loro sedie, chiacchierando a voce alta, finché non comparve il preside Schiftino, uomo di statura bassa e dalla testa rasata, che i ragazzi avevano soprannominato il Tyrion Lannister calvo, ispirandosi alla nota serie televisiva Game of Thrones.

Il preside riportò la situazione all'ordine e dopo i classici convenevoli del primo giorno di scuola si premurò di presentare alla classe il nuovo professore di matematica, il prof. Trinciamucche.
All'improvviso attraversò la porta d'ingresso dell'aula un alto uomo di mezza età dalla folta capigliatura nera e dalla robusta corporatura; sembrava più un atleta che un insegnante.
Il suo sguardo penetrante e arcigno non prometteva nulla di buono!
"Ragazzi vi lascio nelle mani del vostro nuovo professore, sono sicuro che vi troverete bene" esclamò ad alta voce il preside, che abbandonò l'aula.
Mai parole furono più errate.
"Ragazzi, come vi ha già preannunciato il preside, sono il prof. Trinciamucche, il vostro nuovo professore di matematica. Partiamo subito con un test d'ingresso!" disse il professore.
"Avete soltanto un'ora e mezza per completarlo, poi ritirerò i fogli" puntualizzò.
Menomale che doveva essere solo un test d'ingresso: i ragazzi si trovarono di fronte argomenti mai affrontati in classe negli anni precedenti.
Ad un certo punto si udì la voce di un alunno: "Professore, ma noi le matrici non le abbiamo fatte in maniera approfondita. Come possiamo svolgere un test con argomenti fuori dal programma?".
"A me non interessa quello che avete fatto o no. Questi sono i prerequisiti da me richiesti, adattatevi. Vengo pagato per fare questi stupidi test d'ingresso, altrimenti dedicherei la mia brillante mente a ben altre cose. Ah, non aspettatevi che rispiegherò i suddetti argomenti per voi, ho un programma da seguire, non i capricci di ragazzini ignoranti. Se avete lacune e sicuramente le avete, colmatevele da soli. Studiate e state muti" asserì il prof.
I giovani ritornarono nelle loro case irritati e sconcertati dal comportamento del loro prof.
Leo in particolare era rimasto particolarmente scosso, giacché a lui la matematica piaceva davvero tanto e non riusciva a concepire perché venisse insegnata in quel modo barbarico, alimentando l'odio per la disciplina da parte dei suoi compagni.
I giorni seguirono e lezioni del prof. risultavano noiose, incomprensibili e perfino piene di minacce.
Ad esempio, al momento della riconsegna di un compito in classe, il professore si adirò perché un allievo aveva osato utilizzare un metodo diverso di risoluzione di un problema rispetto a quello da lui spiegato in classe.
"Voi dovete studiare e applicare solamente quello che illustro io. Non ammetto che vengano usati metodi alternativi. Ci siamo capiti? In caso contrario, la bocciatura è assicurata" disse il prof. con tono duro.
Leo non ne poteva più di questo atteggiamento; un giorno prese coraggio e mentre il prof. cercava di spiegare il teorema di Lagrange, il giovane domandò: "Mi scusi prof., ma chi è Lagrange? Sono certo che lei lo sappia bene".
"Ragazzino insolente, vi ho detto che c'è un programma da seguire e non ho tempo, né voglia di rispondere a queste banali domande" rispose l'insegnante.
"Mi permetto di contraddirla prof., ma non è un quesito banale. È una domande lecita e pertinente all'argomento trattato. I ragazzi sarebbero maggiormenti interessati se venisse spiegato loro com'è nato un certo teorema, quali sono le sue applicazioni, magari anche concrete, e non solo studiare a memoria l'enunciato e la dimostrazione. Così come lei sta illustrando, in modo peraltro non molto chiaro e comprensibile, sembra che quel teorema sia nato dal nulla, invece è frutto di una grande mente italiana, Giuseppe Lodovico Lagrangia, detto Lagrange." disse Leo.
"Basta, adesso le metto una bella nota sul registro e la mando dritto dal preside per la sua insolenza!" fu la risposta furiosa del prof. "Mi raccomanderò che lei riceva una punizione severa".
Il preside era un uomo tutt'altro che autoritario; si lasciava plagiare alla stregua di una marionetta dagli insegnanti, a maggior ragione se essi risultavano così imponenti.
"Ragazzo, ma cosa hai combinato? Perché rivolgersi in quel modo al gentile e disponibile prof. Trinciamucche? Purtroppo non ho altra scelta che sospenderti per 5 giorni. Tali comportamenti vanno puniti con forza, affinché siano di insegnamento a tutti gli altri alunni." esclamò il preside con voce tremante.
Il fato volle che durante quei 5 giorni accadde un avvenimento che cambiò le carte in tavola: il prof. rimase coinvolto in un incidente con la moto, fratturandosi seriamente una gamba.
Se umanamente poteva dispiacere che una persona avesse subito un incidente così grave, d'altro canto questo evento era stato provvidenziale per gli studenti.
L'assenza di Trinciamucche poteva rappresentare soltanto qualcosa di positivo, ma le buone novelle non si conclusero.
Un celebre modo di dire afferma che si può passare dalle stelle alle stalle; quello che invece accadde in tale occasione fu l'esatta antitesi.
Colui che venne prescelto per sostituire il prof. Trinciamucche fu il prof. Merlino.
Mai nome fu più azzecato, dato che con la sua lunga e fitta barba bianca poteva benissimo essere scambiato per un sosia di Albus Silente - preside della scuola di magia e stregoneria di Hogwarts della saga letteraria di Harry Potter - o mago Merlino.



Il nuovo stravagante prof. di matematica si presentò alla classe il medesimo giorno in cui il periodo di sospensione di Leo era terminato.
Il ricordo delle lezioni del prof. Trinciamucche era ancora vivo e vegeto nelle menti dei giovani studenti, ma l'atteggiamento calmo, dolce e pacato del nuovo insegnante conquistò subito i ragazzi.
Anche il suo modo di insegnare era completamente diverso rispetto a quello del suo acido collega.
La lezione inaugurale cominciò con una domanda che colse tutti di sorpresa: "Ragazzi, secondo voi c'è matematica nel gioco?".
"In che senso professore?" chiese un allievo sollevando una mano.
"Voglio dire, voi ragazzi di oggi adorate navigare su internet, gironzolare per i social network, giocare ai videogames, guardare le partite di calcio, ecc. ma vi rendete conto di cosa stia alla base delle vostre attività ludiche? Ebbene sì, proprio la Matematica. Non ci credete? Cercherò di dimostrarvelo e cercherò durante le mie lezioni di farvi scoprire la bellezza di tale disciplina, una bellezza incommensurabile. Forza, uno alla volta datemi qualche esempio di videogame che vi appassiona".
Incominciarono ad essere esclamati una serie di titoli di genere diverso, da FIFA 2014 a The Last of Us, da Mass Effect 3 a Ruzzle, da Candy Crush a Diablo 3.
"Ecco quest'ultimo è davvero ricco di matematica!" affermò il prof. 

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Questa è la prima parte di un racconto dedicato alla tematica "La matematica che vorreste vedere a scuola", tema portante del Carnevale della Matematica n.74, che sarà ospitato da Maurizio Codogno sulle Notiziole di .mau.

HERMITE: IL GENIALE MATEMATICO STORPIO

In questo post andremo a scoprire la vita e i contributi del più grande matematico francese della seconda metà del XIX secolo (se si esclude il suo allievo Poincaré, i cui imponenti apporti alla matematica appartengono in parte anche al XX secolo): Charles Hermite.
Charles Hermite nacque a Dieuze, nella Lorena, il 24 dicembre 1822.
Charles era il sesto di 7 figli, 5 maschi e 2 femmine.
Suo padre, Ferdinand Hermite, aveva compiuto degli studi per diventare ingegnere, ma non esercitò la professione, avendo trovato maggiormente conveniente entrare nell'amministrazione delle saline, che poi abbandonò per divenire commerciante di stoffe.
Probabilmente costui aveva scelto tale ultima professione grazie all'influenza della moglie, Madeleine Lallemand, figlia del suo datore di lavoro e donna dal carattere estremamente autoritario.
Charles venne alla luce con una deformità della gamba destra che lo rese zoppo tutta la vita.
Da un certo punto di vista, questa disgrazia fisica fu una fortuna, dato che in tali condizioni non poteva assolutamente perseguire una carriera militare.
Il piccolo ricevette la prima istruzione dai suoi genitori.
Siccome gli affari andavano a gonfie vele, questi, nel 1828, decisero di lasciare Dieuze per Nancy.
Il lavoro qui occupava troppo tempo per poter dedicare parte di esso all'educazione del figlio.
Lo mandarono in un primo momento in un college proprio a Nancy, ma poi decisero di iscriverlo a Parigi, ove proseguì gli studi prima al liceo Henri IV e poi, compiuti i 18 anni, al Louis-le-Grand, celebre e famigerato (il geniale Galois non trascorse un bel periodo in tale luogo) istituto per prepararsi al Politecnico.
Il primo periodo che Hermite passò in questo istituto rischiò di finire male come per il suo predecessore.
Infatti, egli nutriva un vero e proprio disgusto per la retorica e una totale indifferenza per la matematica elementare insegnata in classe.
Soltanto gli eccellenti corsi di fisica lo appassionarono, convincendolo a cooperare un minimo con l'istituzione scolastica.
Buffo il fatto che, liberatosi dai professori pedanti e incapaci di insegnare, Hermite divenne, oltre che uno straordinario matematico, anche un buon umanista dalla prosa magnificamente chiara.
Da liceale, Hermite, seguendo le orme di Galois, tralasciò in gran parte i noiosi studi scolastici, focalizzandosi invece su interessanti letture alla biblioteca di Sainte-Geneviève, tra cui uno studio di Lagrange sulla soluzione delle equazioni numeriche.
Con i suoi risparmi acquistò inoltre la traduzione francese delle magistrali Disquisitiones arithmeticae di Gauss (il primo testo sistematico di teoria dei numeri), divenendone ben presto padrone come pochi altri.
Anche le opere di Eulero e Laplace furono di suo interesse; la cosa bizzarra e sorprendente è che nonostante il giovane si immergesse in letture di altissimo livello matematico, agli esami era a dir poco mediocre.
Delle nullità in matematica conseguivano voti più elevati di un genio!
L'unico appiglio che ricondusse Hermite al mondo "reale" della scuola (e in particolare degli esami di ammissione all'École Polytechnique) era il buon professor Richard, ancora ossessionato dal ricordo dell'allievo Galois.
Il professore non poté però trattenersi nel dire al padre di Hermite che suo figlio Charles era "un giovane Lagrange".
Nel 1842 venne fondata la rivista Nouvelles annales de mathématique, rivolta agli interessi degli studenti delle scuole superiori.
Il primo tomo comprende 2 scritti redatti proprio da Hermite quando era ancora allievo al Louis-le-Grand.
Il primo scritto non presenta alcunché di originale, essendo un semplice esercizio di geometria analitica sulle sezioni coniche.
Tuttavia il secondo, di 6 pagine e mezzo, è molto più profondo.
Era intitolato Considerazioni sulla soluzione algebrica dell'equazione di quinto grado e iniziava così:

"Si sa che Lagrange ha fatto dipendere la risoluzione algebrica dell'equazione generale di quinto grado dalla determinazione di una radice di una particolare equazione del sesto grado che egli chiama ridotta [oggi si dice "risolvente"], di modo che se questa ridotta fosse scomponibile in fattori razionali del secondo o del terzo grado, si avrebbe la soluzione dell'equazione di quinto grado. Cercherò di dimostrare che questa scomposizione è impossibile."

Ebbene, non solo Hermite riuscì a dimostrare ciò in uno scritto di massima eleganza e semplicità, ma provò di essere un maestro nel campo dell'algebra.
Può sembrare strano che un giovane in difficoltà con la matematica scolastica possa riuscire a dimostrare un risultato matematico così profondo, ma c'è da dire che sussistono nozioni di matematica "elementare" non fondamentali da conoscere per compiere scoperte in certi ambiti.
Ad esempio, chi si occupava all'epoca di algebra ed aritmetica non aveva bisogno di conoscere per filo e per segno la "classica" geometria euclidea.
Non deve pertanto sorprendere che Hermite si trovasse simultaneamente nella situazione di diventare un grande matematico e di essere a rischio bocciatura a un esame di ammissione!

BOOMSTICK AWARDS 2014 DI SCIENZA E MUSICA

Da poche settimane è terminata la cerimonia degli Oscar 2014, ma anche nella blogosfera esistono dei riconoscimenti che vengono assegnati, secondo alcune semplici regole, dai blogger ai blogger.
Uno tra questi è il Boomstick Award.

Veniamo al fulcro della questione.
Le regole sono 4 e risultano vincolanti:

1 – i premiati sono 7. Non uno di più, non uno di meno. Non sono previste menzioni d’onore

2 – i post con cui viene presentato il premio non devono contenere giustificazioni di sorta da parte del premiante riservate agli esclusi a mo’ di consolazione

3 – i premi vanno motivati. Non occorre una tesi di laurea. È sufficiente addurre un pretesto

4 – È vietato riscrivere le regole. Dovete limitarvi a copiarle, così come Egli (e per Egli intendo Hell) le ha concepite.

Ho ricevuto (e ne sono lusingato) una nomination dal bravissimo Spartaco Mencaroni de Il coniglio Mannaro:

"con la scusa che ci ha spalancato più di un mondo, almeno due, da molti dei quali non è facile uscire. Potrebbe trascinarci dentro anche voi"

Ora tocca a me il simpatico compito di scegliere 7 blog, non uno di più, non uno di meno, da premiare.
Ed ecco i miei vincitori:

PI GRECO: I CALCOLI DI NEWTON

Di pi greco abbiamo già numerose volte parlato in questo blog.
L'ultima volta abbiamo persino cercato di ricostruire l'affascinante storia di questa costante matematica.
Cosa ci sarà allora di nuovo da dire su tal numero?
In questo post andremo a scoprire il particolare metodo utilizzato nientemeno che da Isaac Newton, uno dei padri dell'analisi matematica, per determinare le cifre del pi greco.
Nel suo studio sulla emblematica costante, Newton prese in considerazione una semicirconferenza di centro C (1/2, 0) e raggio r = 1/2.

Newton sapeva bene che, in un piano cartesiano, una circonferenza di centro (α, β) e raggio r fosse descritta dall'equazione:

la quale, tenendo presente la figura sopra riportata, diviene:

Sviluppando i quadrati:




da cui si ricava:



ovvero l'equazione della semicirconferenza superiore.
Essa si può anche riscrivere nel seguente modo:

Newton prese in considerazione l'area A sottesa alla curva (nella figura, evidenziata in verde) tra x = 0 e x = 1/4.
Come ben noto, l'area sottesa a una certa curva si può esprimere attraverso un integrale definito.
In tal caso si ha:





Newton applicò il proprio teorema binomiale al fine di rendere l'espressione più maneggevole.
Cos'è il teorema binomiale?
Il teorema binomiale, detto anche formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale, serve ad esprimere lo sviluppo della n-esima potenza (con n naturale) di un qualsivoglia binomio.
La formula è la seguente:

dove





è il cosiddetto coefficiente binomiale, che può essere esplicitato come segue:





Proviamo a sviluppare ad esempio (a + b)⁴ mediante il teorema binomiale:

Esplicitando i coefficienti binomiali:

Ma se invece di avere un esponente naturale avessimo un esponente reale?
No problem, la formula di Newton si può generalizzare!
Il coefficiente binomiale diventa:

dove α è un numero reale e k un naturale.
La formula generalizzata è invece:





L'ultimo termine è una quantità (precisamente un resto) piccolissima, infinitesima, chiamata o-piccolo, che viene fuori dallo sviluppo.

ARMONOGRAFI, CURVE DI LISSAJOUS E MUSICA!

In questo post parleremo di un particolare strumento meccanico, l'armonografo, il quale può rendere palese lo stretto legame sussistente tra musica e matematica, più volte sottolineato in questo blog.
Innanzitutto, cos'è precisamente un armonografo?
Trattasi di un'apparecchiatura che, attraverso dei pendoli, disegna singolari curve.

Armonografo

In una delle sue varianti, un pendolo muove una penna, mentre un altro sposta una superficie su cui è fissato un foglio di carta.
La combinazione degli effetti dei 2 pendoli produce un moto complesso (così come 2 note musicali danno vita insieme a un suono complesso), il quale, a causa dell'attrito, si riduce man mano degenerando in un singolo punto.
Il tratto che la penna lascia ad ogni oscillazione si trova molto vicino a quello tracciato nell'oscillazione precedente, tanto da conferire alla raffigurazione finale un aspetto ondulatorio simile a una ragnatela.
Variando il rapporto delle frequenze dei 2 pendoli e il loro sfasamento (angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase, per esempio il massimo oppure il minimo, da parte di 2 oscillazioni) si possono generare curve di molteplici aspetti, più o meno complesse.

Raffigurazione dello sfasamento tra 2 onde

Fu Galileo Galilei, osservando l'oscillazione di una lampada nella cattedrale di Pisa, a comprendere che la frequenza di un pendolo dipende dalla sua lunghezza: più è lungo, minore è la frequenza.
Infatti, per piccole oscillazioni, la frequenza f di un pendolo semplice (costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e da una massa puntiforme fissata a una sua estremità) si può definire attraverso la formula





dove g designa l'accelerazione di gravità sul pianeta Terra, mentre l la lunghezza del filo.
Di conseguenza, la frequenza può essere modificata a piacimento fissando il peso del pendolo a diverse altezze.
Ed ecco un magnifico video relativo all'armonografo in azione:



Nella versione più semplice, i tracciati realizzati dall'armonografo vengono catalogati come curve di Lissajous.
Le curve (o figure) di Lissajous, dette anche figure di Bowditch o curve del gioco di Alice, sono eleganti curve piane, costruite come composizione di 2 oscillazioni armoniche (abbiamo parlato di moto armonico nel post intitolato "Helmholtz e la dissonanza", che consiglio vivamente di rileggere a chi non ricordasse i dettagli di tale tipologia di moto) perpendicolari.
Esse presentano equazioni parametriche del tipo:





Potevano anche essere scritte attraverso la sola funzione coseno oppure mediante il solo seno, dato che è possibile passare dal seno al coseno in modo molto semplice, giacché la sinusoide altro non è che una cosinusoide sfasata di un angolo di 90°.

La forma di una curva di Lissajous dipende appunto da vari parametri:

• A, B rappresentano le ampiezze di tali moti;
• ωx, ωy ne rappresentano le frequenze angolari;
• φx, φy ne rappresentano le fasi.

Nel caso particolare in cui ωx = ωy la curva in questione è un'ellisse, la quale diviene una circonferenza nel caso in cui si abbiano anche le uguaglianze







La curva si riduce poi a un segmento se, oltre ad avere ωx = ωy, si ha anche



 


Un'altra semplice figura che è possibile ottenere è la parabola; ciò avviene quando
































Inoltre, una curva di Lissajous si chiude se e solo se il rapporto





è un numero razionale.

L'animazione appena riportata mostra l'adattamento della curva a un progressivo incremento di 0,01 del suddetto rapporto (nell'animazione chiamato a/b), a partire da 0 fino a 1.
Le suddette curve furono oggetto di studi da parte dell'astronomo e matematico statunitense Nathaniel Bowditch (1773-1838) e, successivamente, vennero ampiamente studiate pure dal matematico francese Jules Antoine Lissajous (1822-1880).
Andiamo a scoprire un po' meglio questi 2 personaggi; in particolare, la biografia del primo è davvero molto interessante e merita di essere approfondita per bene.