martedì 7 novembre 2017

DI ELEMENTI E PONTI DEGLI ASINI

In questo post andremo ad osservare le origini della geometria deduttiva, concentrandoci sulla maestosa opera Elementi di Euclide e, in particolare, su un qualcosa all'interno di quest'opera che viene spesso chiamato pons asinorum, ovvero "ponte degli asini".
Incominciamo il nostro viaggio dicendo che la storia della geometria, ovvero lo sviluppo nel tempo del concetto di spazio, parte all’incirca 4000 anni fa con le antiche civiltà degli Egizi e degli Indiani.
È interessante notare come i concetti geometrici si sviluppano nel bambino e nell’adolescente in maniera incredibilmente differente da quanto è avvenuto nel corso della storia.
Infatti, in tal campo pionieristico risulta il lavoro dello svizzero Jean Piaget, che per 60 anni ha studiato a fondo lo sviluppo della concezione logica, matematica e fisica del mondo, dalla nascita dell’individuo alla sua maturità.
Nel 1948 egli ha “riassunto” i risultati geometrici delle sue ricerche in 2 ponderosi volumi, intitolati rispettivamente La rappresentazione dello spazio nel bambino e La geometria spontanea del bambino.
La sorpresa nella suddetta analisi è stata che l’individuo giunge alle nozioni geometriche seguendo un percorso che procede in direzione esattamente opposta a quella delle scoperte effettuate nel corso della storia.
Più precisamente, agli inizi il bambino piccolo è in grado di distinguere fra loro le forme, e riesce presto a disegnare diversamente oggetti che hanno forme diverse: ad esempio, una persona e una casa.
Ci vogliono però alcuni anni perché egli sviluppi la capacità di disegnare gli oggetti nella corretta relazione spaziale: ad esempio, una persona al livello del terreno, invece che sul tetto o per aria, alla maniera di Chagall.
E devono passare ancora altri anni affinché si acquisti infine l’abilità di disegnare in scala, con le corrette relazioni fra le dimensioni: ad esempio, facendo una persona più piccola di una casa e più grande di un cane.
I 3 stadi corrispondono sostanzialmente a 3 tipi di geometria (topologica ottocentesca, proiettiva rinascimentale e metrica greca), ma appunto in ordine inverso.
Detto ciò, cominciamo ad avventurarci nella storia della geometria in modo da introdurre al meglio l’argomento centrale della nostra analisi, ovvero gli Elementi di Euclide.
Intorno al 600 a.C. Talete di Mileto inaugurò quella che chiamiamo “scienza”.
Prima di costui i filosofi non pensavano in termini astratti: invece di cercare i princìpi celati dietro gli eventi insoliti che la natura poneva loro di fronte, cercavano dei personaggi.
Ecco come nacquero i miti e le leggende, storie di dei e dee, i cui rapporti reciproci e con gli uomini davano origine ai fenomeni naturali, come la primavera, il tuono, le eclissi e così via.
Talete (640 a.C/625 a.C. - 547 a.C circa) riteneva al contrario che la natura, lungi dall’operare per capriccio, o in seguito alle vicende fantastiche degli dei, agisse secondo princìpi intellegibili agli uomini; fu lui a introdurre l’astrazione nello studio della natura.
In particolare, Talete portò l’astrazione nella geometria.
Prima del suo avvento, “geometria” (dal greco geo, “terra”, e metrein, “misurare”) significava “agrimensura”, e le figure geometriche erano oggetti particolari, come recinti o campi.
Il filosofo invece le concepì alla stregua di forme astratte, e analizzando alla luce di tale intuizione tutto il “corpus” di indicazioni geometriche, regole pratiche e formule empiriche, tramandato da Babilonesi ed Egizi, vi scoprì un ordine.
Notò cioè che alcuni fatti geometrici erano deducibili a partire da altri.
Esortò così a fare della geometria, per quanto possibile, un’attività puramente speculativa.
Poco distante da Mileto (situata sulla costa occidentale dell’Asia Minore, attualmente Turchia) vi è l’isola di Samo, in cui nacque nientemeno che Pitagora (all’incirca quando Talete aveva 50 anni).
Pitagora (nato tra il 580 e il 570 a.C. - morto nel 495 a.C.) si nutrì delle teorie scientifiche di Talete e abbracciò in particolare la sua concezione della geometria.
I pitagorici ritenevano che tutta la geometria fosse immanente in natura, in altri termini pensavano che i concetti geometrici dovessero essere dotati di una consistenza effettiva nel mondo materiale.
L’eredità della scuola pitagorica risiede in ciò che i matematici odierni chiamano “rigore”, un modo di pensare caratteristico che mira a separare il più possibile la matematica dalle sue origini concrete e pratiche.
I termini vengono definiti e i princìpi vengono formulati avendo la massima cura di non introdurre surrettiziamente ipotesi non esplicitate, e i teoremi sono dimostrati usando la sola logica.
Nel V secolo a.C., quando ancora la matematica non era una disciplina rigorosa, i matematici avevano già elaborato lunghe serie di teoremi geometrici in cui ogni teorema veniva dedotto, in modo non formale, da quelli precedenti; ogni serie iniziava da generalizzazioni dell’esperienza che naturalmente non erano dimostrate.
Con l’ampliarsi della portata di tali catene deduttive, emerse la proposta di grande audacia che forse sarebbe stato possibile unirle tutte in un unico sistema basato su un ristretto numero di generalizzazioni dell’esperienza, che avrebbe potuto contenere una vasta gamma di conoscenze geometriche elementari.
Verso la fine del suddetto secolo, più o meno all’epoca della dimostrazione della non-razionalità di √2, Ippocrate di Chio stabilì questo risultato in un libro denominato Elementi, ovvero il primissimo tentativo di esposizione sistematica della geometria.
Successivamente, mentre si procedeva a rendere rigorosa la matematica, vennero formulati altri sistemi geometrici completi.
Un libro di Elementi fu scritto da un matematico di nome Leone, di cui non sappiamo nient’altro se non il nome e che fu attivo attorno al 380 a.C.
Un altro Elementi, di poco posteriore, fu opera di Teudio di Magnesia, membro dell’Accademia platonica.
Ergo, ad ognuno di questi sistemi ci si riferiva come agli Elementi e probabilmente ognuno, avendo assiomi più semplici, logica più rigorosa o più teoremi, si presentava come un miglioramento dei precedenti.
La suddetta serie culminò con i celebri Elementi di Euclide, opera ultimata all’incirca nel 300 a.C.
Gli Elementi di Euclide costituiscono un unico sistema deduttivo di 465 teoremi che contiene non solo una enorme quantità di geometria elementare ma pure numerosi elementi di algebra e di teoria dei numeri.
La loro organizzazione e il loro livello ne fecero il testo di riferimento di geometria; in effetti ben presto eclissarono ogni tentativo di sistemazione precedente.
Gli Elementi di Euclide rappresentano il libro di testo di maggior successo mai scritto.
Hanno avuto infatti più di 1000 edizioni e sono stati adottati fino all’avvento dei “textbook” nel XX secolo.
Ancora più significativo è il fatto che, sin da loro primo apparire, siano divenuti per gli scienziati una pietra di paragone: essi costituiscono l’archetipo del trattato scientifico.
Considerando l’importanza di tal opera, è sorprendente quanto poco si sappia del suo autore: gli studiosi hanno persino dubbi nel datare la vita di Euclide, e si sa solo che fiorì attorno al 300 a.C, quando il centro degli studi matematici e filosofici si stava spostando da Atene ad Alessandria d’Egitto, fondata da Alessandro Magno alle foci del Nilo.
In questo luogo Euclide fondò, presso il Museo, “Tempio delle Muse” (centro dello sviluppo umanistico e scientifico della cultura ellenistica), una scuola matematica ma, a parte questo, tutto ciò che si conosce di lui si deve a 2 aneddoti:

1) Il primo racconta di uno studente che iniziando a studiare geometria gli chiede: “Cosa ci guadagno a imparare queste cose?”, al che Euclide, per tutta risposta, chiama un servo e gli ordina: “Dagli una moneta, poiché vuol lucrare dalla conoscenza”.

2) Nel secondo si racconta del re Tolomeo I (un generale di Alessandro Magno) che gli chiede: “Esiste in geometria una strada più breve degli Elementi?” ed Euclide risponde: “Non esiste via regia alla geometria”.


STRUTTURA DEGLI ELEMENTI

I 13 volumi degli Elementi sono tutti strutturati nel seguente modo:

- TERMINI o DEFINIZIONI: servono per introdurre gli oggetti del nostro studio, in particolare le figure geometriche;
- POSTULATI o ASSIOMI: proposizioni alla base della teoria, assunte vere senza dimostrazione;
- PROBLEMI e TEOREMI: proposizioni dimostrate a partire da definizioni e postulati con un procedimento logico. I problemi si risolvono mediante una costruzione geometrica fatta con riga e compasso (strumenti euclidei) e si concludono con C.V.F (“come volevasi fare”); i teoremi si concludono con C.V.D (“come volevasi dimostrare”);
- NOZIONI COMUNI: postulati di portata più generale.

TERMINI

Euclide apre gli Elementi con l’elenco di 23 termini: definizioni dei concetti geometrici fondamentali, mirate a caratterizzare, almeno intuitivamente, gli oggetti di studio della geometria, le cui proprietà saranno analizzate nel libro I.
Nei primi 7 termini si introducono i concetti di punto, linea, retta e superficie:

1) Punto è ciò che non ha parti;
2) Linea è lunghezza senza larghezza;
3) Estremi di una linea sono punti;
4) Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa;
5) Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza;
6) Estremi di una superficie sono linee;
7) Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su essa.

I termini dall’ottavo al dodicesimo riguardano gli angoli.
Elenchiamo i primissimi, sottolineando l’importanza del termine n.10, in quanto rappresenta la definizione di perpendicolarità:

8) Angolo piano è l’inclinazione reciproca di 2 linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano in linea retta;
9) Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si dice rettilineo;
10) Quando una retta innalzata su una [altra] retta forma gli angoli adiacenti uguali tra loro, ciascuno dei 2 angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Vediamo qualche altro termine importante, con particolare riferimento al n.23 che può essere considerato alla stregua di definizione di rette parallele:

15) Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette, le quali cadano sulla [stessa] linea, [cioè sulla circonferenza del cerchio], a partire da un punto [il centro] fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro;
19) Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire:

figure trilatere: quelle comprese da 3 rette (triangoli);
figure quadrilatere: quelle comprese da 4 rette (quadrilateri);
figure multilatere: quelle comprese da più di 4 rette.

23) Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle 2 parti.

POSTULATI

I postulati della geometria euclidea sono 5.
Risulti postulato, scrive infatti Euclide:

1) Che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto (ovvero per 2 punti distinti passa una e una sola retta);
2) Che una retta terminata [finita] si possa prolungare indefinitamente in linea retta (tale postulato non è valido nella geometria sferica, ove le rette sono invece finite);
3) Che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza [raggio];
4) Che gli angoli retti siano congruenti fra loro;
5) Che, se una retta venendo a cadere su 2 rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di 2 retti [tali che la loro somma sia minore di 2 retti], le 2 rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di 2 retti [la cui somma è minore di 2 retti].


Quest’ultimo è denominato postulato delle parallele o 5° postulato di Euclide.
La geometria che prescinde dal 5° postulato viene chiamata geometria neutrale (o assoluta).

NOZIONI COMUNI

Le nozioni comuni sono 8 e fanno le veci delle nostre regole logiche e regole dell’uguaglianza.
Elenchiamo le fondamentali:

1) Cose che sono uguali (o congruenti) a una stessa cosa sono uguali anche tra loro;
2) Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali;
3) Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali;
7) Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro;
8)  Il tutto è maggiore della parte.

TEOREMI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

 Elenchiamo di seguito i teoremi chiave presenti negli Elementi di Euclide:

- Criteri di congruenza dei triangoli (libro I);
- Criteri di similitudine (libro VI);
- Teorema sull'esistenza e l'unicità della bisettrice, e teorema relativo alla mediana di un triangolo isoscele (libro I);
- Teorema di Pitagora (libro IV);
- Primo Teorema di Euclide (libro IV);
- Secondo Teorema di Euclide (libro IV);
- Teorema di Talete (libro VI);
- Teorema di Pappo (libro VI).

LA PROPOSIZIONE N.5 DEL LIBRO I DEGLI ELEMENTI

Presentati i protagonisti del discorso e specificate tutte le regole, Euclide inizia a dimostrare le proposizioni che costituiscono la somma della conoscenza geometrica del tempo e che prenderà dall’autore il nome di geometria euclidea.
Ne dimostra, nel primo libro, ben 48.
In particolare, le proposizioni dalla 1 alla 28 sono vere nella geometria neutrale.
È a partire dalla proposizione n.29 che Euclide fa uso del postulato delle parallele.
In tal occasione ci focalizzeremo sulla proposizione n.5, riguardante una singolare proprietà dei triangoli isosceli.
Osserviamo innanzitutto l'enunciato:

"Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono congruenti tra loro"

e la relativa dimostrazione:

- step 1: sia ABC un triangolo isoscele con AB ≅ AC (ipotesi: definizione di “isoscele”). Vogliamo dimostrare che ABC ≅ ACB;
- step 2: prolunghiamo AB fino a D (postulato 2);
- step 3: prolunghiamo AC fino a E in modo che CE > BD (postulato 2);
- step 4: su CE segniamo C‟F” ≅ BD (cioè è permesso dalla proposizione n.3, la quale ci dice che: “Date 2 rette disuguali, è possibile staccare sulla maggiore una retta uguale alla minore);
- step 5: tracciamo DC e FB (postulato 1);
- step 6: AD ≅ AF (per gli step 1 e 4 e per la nozione comune n.2);
- step 7: A ≅ A (nozione comune n.7);
- step 8: i triangoli ABF e ADC sono congruenti (per il primo criterio di congruenza dei triangoli);
- step 9:8 ≅ 1, BF ≅ DC (per gli step 1, 7, 6 e per la definizione di “congruente”);
- step 10: i triangoli BCF e DBC sono congruenti (per gli step 4, 9 e per il primo criterio di congruenza dei triangoli);
- step 11: 4 + 3 ≅ 5 + 6 (per lo step 8 e la definizione di “congruente”);
- step 12: 3 ≅ 6 (per lo step 10 e la definizione di “congruente”);
- step 13:4 ≅ 5 (per gli step 11, 12 e la nozione comune n.3);
- step 14: nel triangolo ABC gli angoli alla base sono uguali. C.V.D.


dove il simbolo designa il fatto che ci si sta riferendo ad un angolo.
Piccola nota: questo risultato non è valido in geometria sferica.
Bene, dopo la parte più tecnica della trattazione (la dimostrazione), concludiamo il post con un excursus storico relativo alla proposizione n.5, anche perché dobbiamo ancora capire cosa c'entrino gli asini!
















La proposizione n.5 del libro I è attribuita a Talete, ma la sua dimostrazione era stata sicuramente diversa: negli Analitici primi di Aristotele vi è ampia evidenza che la dimostrazione comunemente data ancora 50 anni prima di Euclide non fosse così rigorosa, e quindi probabilmente la dimostrazione appena presentata risultava abbastanza nuova ai tempi in cui gli Elementi vennero scritti, e forse è dovuta a Euclide stesso.
Nel tardo Medioevo la proposizione n.5, completa di dimostrazione e di figura, era denominata appunto pons asinorum, il “ponte degli asini”, a quanto pare con riferimento alle difficoltà che si incontravano nel dimostrarlo.
La figura ricorda un ponte pericolante: “asino” era, a seconda dell’interpretazione, chi l’avesse baldanzosamente attraversato come chi, titubante, fosse stato incapace di procedere.



La causa delle difficoltà risiede nel modo in cui Euclide presenta le proprie dimostrazioni.
La geometria euclidea viene infatti detta “sintetica”, in contrapposizione a quella “analitica”, introdotta da Cartesio nel 1637 nel saggio intitolato Geometria, incluso nel suo noto libro Discorso sul metodo.
Nella geometria analitica, rette e cerchi vengono rappresentati da equazioni algebriche, il che tuttavia non deve portare alla conclusione che “analitico” sia sinonimo di “algebrico”.
Infatti, nonostante sia vero che la geometria di Cartesio sia analitica per il suo metodo algebrico, il termine “analitico”, come è usato in matematica, ha un significato molto più generale riferendosi a un metodo dimostrativo in uso quasi 2000 anni prima dell’avvento dell’algebra cartesiana.
Trattasi del metodo del procedere a ritroso, risolvendo un dato enunciato nei suoi antecedenti logici.
Il termine “sintetico” si riferisce invece a dimostrazioni ove elementi separati vengono combinati in una catena di deduzioni che culmina con l’enunciato da dimostrare.
Pappo, geometra greco attivo ad Alessandria circa 600 anni dopo Euclide ed estensore di una vastissima antologia di geometria superiore, spiega magnificamente la differenza in questo modo:

“Nell’analisi, si prende come punto di partenza ciò a cui si vuole arrivare, come se lo si fosse [già] ottenuto, e ci si chiede da quale risultato possa conseguire, e ancora si cercano le cause a monte di questo e così via finché retrocedendo non si raggiunge qualcosa che sia già noto o che appartenga alla classe dei princìpi primi. Tale metodo viene chiamato analisi, in quanto risolve procedendo a ritroso.
Nella sintesi invece si rovescia il procedimento e, partendo da ciò a cui si era arrivati con l’analisi, si dispongono le argomentazioni nel loro ordine naturale con i conseguenti che seguono gli antecedenti; congiungendole in successione alla fine si arriva alla costruzione desiderata; e questa viene detta sintesi.”


Al giorno d’oggi la matematica usata nelle scienze e in ingegneria è principalmente analitica, essendo quasi tutta espressa in forma algebrica.
Al contrario, nella matematica greca era la sintesi a dominare, poiché la matematica era sostanzialmente geometrica, e in tale contesto l’analisi è meno attendibile non procedendo automaticamente, con passi tutti reversibili come accade quando si risolvono le equazioni algebriche.
Indubbiamente i Greci usavano una qualche forma di analisi (presumibilmente) non algebrica per “scoprire” le dimostrazioni - nessun matematico può procedere sempre in avanti - ma non consideravano una dimostrazione completa finché non fosse riorganizzata in forma sintetica.
Ecco pertanto la grande difficoltà delle dimostrazioni di Euclide: esse sono puramente sintetiche, e tutta l’analisi è omessa.
L’impalcatura è stata rimossa ed esse si ergono come piramidi di cui non conosciamo il metodo di costruzione.
E a proposito di Egitto, terminiamo in musica con lo spiritual "Go Down Moses" intonato dal grande Louis Armstrong:


---------------------------------------------------------------------------------
Fonte fondamentale:

- La rivoluzione non euclidea di Richard Trudeau.

Nessun commento:

Posta un commento