venerdì 11 marzo 2016

PI GRECO: FORMULA DI STIRLING E TORTE NUZIALI

Come ogni anno, si avvicina il giorno in cui si festeggia la famosa costante matematica pi greco, ovvero il pi day (14 marzo).
Per celebrare questo magico numero in questo post parleremo di un'importante formula in cui fa capolino pi greco.
Iniziamo la sua presentazione riportando un interessante passo da "Le grandi domande, Matematica" di Tony Crilly:

"L'onnipresenza dei computer nella vita moderna ha fatto sì che occorra un gran numero di formule nell'ambito della «combinatoria», la branca della matematica che calcola le possibili combinazioni di oggetti. Tre oggetti, diciamo a, b e c, danno luogo a 3 × 2 × 1 = 6 «permutazioni» (abc, acb, bac, bca, cab, cba) e fin qui non serve una formula. Ma se, ad esempio, stessimo considerando dieci oggetti, il numero di possibili permutazioni salirebbe a 3.628.800, e a un valore formidabile di 9,33 × 10¹⁵⁷ oggetti? Adesso chiaramente una formula ci risparmierebbe molta fatica. Ed è qui che viene in nostro aiuto la «formula di Stirling», così chiamata dal nome del matematico scozzese James Stirling. Che nella formula compaiano anche la costante π e la costante di eulero e è una sorpresa. La presenza di π, che in genere ha a che fare con le circonferenze, e di e, che ha a che fare con la crescita, ci ricorda i nessi sorprendenti che ci offre la matematica, a maggior ragione considerando che il problema originario riguarda solo la moltiplicazione di numeri interi. Eppure la formula è notevole anche per la bontà della sua approssimazione al valore effettivo: nel caso di 100 oggetti se ne discosta appena dello 0,083%."

Dunque, tirando le fila del discorso incominciato da Crilly, la formula di Stirling (detta anche approssimazione di Stirling o formula approssimata di Stirling o formula di Moivre-Stirling, giacché fu il francese de Moivre il primo a stabilirla, anche se con una costante diversa) fornisce la valutazione approssimata del fattoriale di un numero n › 0.